Glosario

Glosario de probabilidad y estadística

Definiciones breves y en lenguaje sencillo de los conceptos que aparecen una y otra vez en el blog: desde la probabilidad y la distribución binomial hasta los paseos aleatorios y el Teorema Central del Límite.

Coeficiente binomial: Un recuento de cuántas maneras hay de elegir k elementos de un conjunto de n cuando el orden no importa. Se lee como "n sobre k" y responde preguntas como de cuántas formas distintas se pueden obtener exactamente k caras en n lanzamientos. Para 10 lanzamientos hay 252 maneras de sacar exactamente cinco caras, y por eso ese resultado es el más frecuente.
Combinatoria: La rama de las matemáticas que se ocupa de contar, ordenar y combinar objetos. Es la caja de herramientas que hay detrás de la probabilidad: antes de decir cómo de probable es un patrón de lanzamientos, a menudo hay que contar de cuántas maneras puede ocurrir. La combinatoria responde preguntas como cuántas secuencias distintas de caras y cruces existen, o cuántas de ellas contienen exactamente tres caras.
Desviación estándar: Una medida de cuán dispersos están los valores de un conjunto en torno a su media. Una desviación estándar pequeña indica que la mayoría de los valores están cerca de la media; una grande, que están muy repartidos. En los lanzamientos de moneda indica cuánto suele alejarse el número de caras del valor esperado: por ejemplo, en 100 lanzamientos justos el recuento de caras suele quedar a unas 5 unidades de cincuenta.
Distribución binomial: La distribución de probabilidad del número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes de sí/no, cada uno con la misma probabilidad de éxito. El ejemplo clásico es el número de caras en 10 lanzamientos de una moneda justa: obtener cero o diez caras es raro, mientras que los recuentos cercanos a cinco son los más probables. Su forma es simétrica y acampanada cuando la probabilidad de éxito es un medio.
Distribución de probabilidad: Una descripción que asigna una probabilidad a cada resultado posible de un proceso aleatorio, de modo que todas las probabilidades suman 1. Para el lanzamiento de una sola moneda justa la distribución es simplemente cara 0,5 y cruz 0,5. En situaciones más ricas, como el número de caras en muchos lanzamientos, reparte la probabilidad entre muchos resultados y revela cuáles son frecuentes y cuáles raros.
Ensayo de Bernoulli: Un único experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles, normalmente llamados éxito y fracaso. El lanzamiento de una sola moneda es el ejemplo de manual: cara o cruz, con una probabilidad fija para cada uno. Si encadenas muchos ensayos de Bernoulli independientes, construyes ideas más ricas como la distribución binomial, que cuenta los éxitos en todo un conjunto de lanzamientos.
Exponente: Un pequeño número elevado que indica cuántas veces hay que multiplicar una base por sí misma. Dos con exponente tres significa dos por dos por dos, que es ocho. Los exponentes explican por qué las posibilidades se disparan con los lanzamientos: el número de resultados igualmente probables de n lanzamientos es dos elevado a n, así que diez lanzamientos dan 1024 secuencias distintas de caras y cruces.
La falacia del jugador: La creencia errónea de que los resultados pasados, siendo independientes, cambian las probabilidades de lo que viene después. Tras una racha de caras, parece que la cruz "ya toca", pero una moneda justa no tiene memoria: cada lanzamiento sigue siendo un 50/50 exacto. Las rachas surgen por azar y no hacen más probable el resultado contrario en el siguiente lanzamiento.
La ley de los grandes números: A medida que repites un experimento aleatorio más y más veces, el promedio observado se acerca al valor esperado. Lanza una moneda justa muchas veces y la proporción de caras tiende a 0,5. Es clave que no "compensa" las rachas cortas: una racha de caras nunca se corrige con lanzamientos futuros. Solo la proporción a largo plazo se estabiliza, mientras el recuento de caras puede seguir desviándose.
Movimiento browniano: El movimiento aleatorio y tembloroso de partículas diminutas suspendidas en un fluido, causado por los choques constantes con las moléculas que las rodean. Matemáticamente es el límite en tiempo continuo de un paseo aleatorio: si haces los pasos del lanzamiento cada vez más pequeños y das muchos más, la trayectoria irregular se suaviza hasta convertirse en movimiento browniano. Sustenta modelos de difusión y de mercados financieros.
Números de Catalan: Una famosa sucesión de números enteros (1, 1, 2, 5, 14, 42 y así sucesivamente) que cuenta una sorprendente variedad de estructuras equilibradas o recursivas. Aparecen en problemas de lanzamientos y de votos, por ejemplo al contar trayectorias de caras y cruces en las que un lado nunca queda por detrás del otro. Surgen de forma natural en los paseos aleatorios y en muchos problemas de combinatoria.
Paseo aleatorio: Una trayectoria construida a partir de una sucesión de pasos al azar. Un ejemplo sencillo usa una moneda: das un paso a la derecha si sale cara y a la izquierda si sale cruz, y observas dónde acabas tras muchos lanzamientos. Aunque cada paso es justo, el caminante puede alejarse mucho del punto de partida. Los paseos aleatorios modelan desde partículas que se difunden hasta precios de bolsa.
Probabilidad: Un número entre 0 y 1 que mide cómo de probable es que ocurra un evento. 0 significa imposible, 1 significa seguro y 0,5 (o 50 %) significa igual de probable en ambos sentidos, como que una moneda justa caiga en cara. Puede leerse como una frecuencia a largo plazo: lanza una moneda justa muchas veces y aproximadamente la mitad de los lanzamientos saldrán cara.
Teorema Central del Límite: Un resultado fundamental que afirma que, al sumar o promediar muchas variables aleatorias independientes, el resultado tiende a una distribución normal con forma de campana, sin importar cómo fuera la distribución original. Es la razón por la que el número de caras en muchos lanzamientos se acumula de forma simétrica en torno al valor esperado y dibuja una suave curva de campana a medida que crece el número de lanzamientos.
Triángulo de Pascal: Una disposición triangular de números en la que cada entrada es la suma de las dos que tiene justo encima, partiendo de un único 1 en la cúspide. Cada fila enumera los coeficientes binomiales, que cuentan las combinaciones de caras y cruces para un número dado de lanzamientos: la fila cuatro, por ejemplo, dice 1, 4, 6, 4, 1, es decir, las formas de obtener cero, una, dos, tres o cuatro caras en cuatro lanzamientos.