Paseos aleatorios

Existe un triángulo de números que lleva siglos fascinando a matemáticos y matemáticas de todo el mundo. Su construcción es tan sencilla que un niño o niña podría dibujarlo en un cuaderno. Y sin embargo, dentro de sus filas se esconde una conexión profunda entre tres ramas de las matemáticas que, a primera vista, no parecen tener nada que ver entre sí: la combinatoria, el álgebra y la probabilidad. Lo más sorprendente es que esa conexión se revela con algo tan cotidiano como lanzar una moneda.

Aquí va una pregunta que suena sencilla y no lo es. Imagina que dos amigos, Alicia y Bruno, juegan a un juego. Se lanza una moneda justa una vez por segundo. Si sale cara, Alicia gana un punto; si sale cruz, lo gana Bruno. Siguen jugando durante un año entero — más de treinta millones de lanzamientos. En cada instante, uno de los dos va «en cabeza» (tiene más puntos hasta ese momento). ¿Qué es más probable?

Matt Parker, del canal Stand-up Maths, publicó recientemente un vídeo con una premisa tan simple de enunciar como difícil de creer: si lanzamos una moneda repetidamente hasta que haya más caras que cruces, y calculamos la proporción media de caras respecto al total de lanzamientos... el resultado es $\frac{\pi}{4}$.

Sí, $\pi$. El número de los círculos. Escondido dentro de lanzamientos de moneda.

En nuestro artículo anterior sobre el triángulo de Tartaglia vimos cómo un triángulo de sumas sencillas contenía, en su interior, la combinatoria, el álgebra y la probabilidad. Hoy vamos a tirar del mismo hilo. Y nos va a llevar a un lugar que nadie esperaba.