¿Qué es una distribución de probabilidad?

Lanza una moneda una vez y el resultado es solo un lanzamiento. Lánzala cien veces y aparece algo más interesante: una forma. Cuenta con qué frecuencia ocurre cada resultado y ya no estarás mirando la suerte, sino una distribución de probabilidad. Este breve artículo explica qué significa eso, presenta la distribución más famosa nacida de los lanzamientos de moneda y te deja verla construirse, bola a bola, en un tablero de Galton interactivo.

Una distribución es solo un mapa de "qué tan probable"

Una distribución de probabilidad es la respuesta completa a la pregunta "¿qué puede pasar y qué tan probable es cada cosa?". Empareja cada resultado posible con su probabilidad.

Para un único lanzamiento de una moneda justa, la distribución es diminuta:

$P(\text{cara}) = \tfrac{1}{2}, \qquad P(\text{cruz}) = \tfrac{1}{2}$

Dos resultados, cada uno con probabilidad un medio. Hay una regla que una distribución nunca puede romper: todas las probabilidades tienen que sumar 1, porque algo siempre ocurre.

$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$

Esa es toda la idea. Las distribuciones se vuelven interesantes no cuando ocurre un solo suceso, sino cuando repetimos un experimento muchas veces y nos preguntamos cómo se reparten los resultados. (Si las palabras probabilidad y verosimilitud todavía te resultan resbaladizas, empieza por Fundamentos de probabilidad.)

La distribución binomial

Ahora lanza una moneda justa $n$ veces y cuenta las caras. El número de caras puede ser cualquier valor entre $0$ y $n$, y las probabilidades de cada conteo forman la distribución binomial: la distribución de "cuántos éxitos hay en $n$ pruebas independientes de sí/no".

Para una moneda justa, su fórmula es:

$P(k \text{ caras en } n \text{ lanzamientos}) = \binom{n}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

y, de forma más general, cuando "cara" tiene probabilidad $p$ (no necesariamente un medio):

$P(k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}$

Lo interesante es la forma. Los resultados extremos —todo caras o todo cruces— son raros, porque solo hay una manera de obtener cada uno. Los resultados intermedios son frecuentes, porque hay muchas ordenaciones distintas que caen ahí. Si dibujas las probabilidades obtienes una joroba alta en el centro y fina en los bordes: el comienzo de la famosa campana de Gauss.

Por qué aparecen exactamente esos conteos $\binom{n}{k}$ —y por qué son las filas del triángulo de Tartaglia— es una historia en sí misma, contada en ¿Qué tienen en común el triángulo de Tartaglia y una moneda?. Aquí solo necesitamos la conclusión: suma suficientes elecciones justas e independientes y los resultados se acumulan formando una campana.

¿Quién fue Francis Galton?

La forma más encantadora de ver una distribución binomial la ideó Sir Francis Galton (1822–1911), un inquieto erudito victoriano y pariente de Charles Darwin (compartían abuelo, Erasmus Darwin). De joven exploró el suroeste de África y luego dedicó el resto de su vida a medir y contar casi todo lo que podía: el tiempo atmosférico (dibujó el primer mapa meteorológico de un periódico), las huellas dactilares e incluso la supuesta "eficacia" de la oración. Por el camino fue pionero de ideas estadísticas que seguimos usando a diario, como la correlación y la regresión a la media.

Para demostrar cómo el orden surge del azar, Galton construyó un aparato que llamó quincunce; hoy lo llamamos tablero de Galton. Deja caer una bola en una red triangular de clavijas. En cada clavija rebota a izquierda o derecha, más o menos al azar, exactamente como un lanzamiento de moneda. Tras muchas filas de clavijas, cada bola cae en una casilla del fondo. Una sola bola es impredecible. Pero vierte cientos y las casillas se llenan formando la inconfundible campana de la distribución binomial. Galton había convertido una fórmula abstracta en algo que puedes observar con tus propios ojos.

Míralo suceder

Pulsa Soltar bolas y observa cómo crece el montón. Cada bola es un pequeño experimento; las pilas que se elevan son la distribución dibujándose a sí misma. Pulsa Reiniciar para empezar de nuevo.

Fíjate en que ninguna bola "sabe" a dónde debería ir y, sin embargo, el conjunto traza con fiabilidad la misma campana una y otra vez. Esa es la tranquila magia de las distribuciones de probabilidad: los sucesos individuales siguen siendo impredecibles, pero su comportamiento colectivo es notablemente ordenado.

Entonces, ¿cómo se conecta esto con una sola moneda? Cada rebote a izquierda o derecha del tablero es un lanzamiento de moneda, y cada bola que llega al fondo es un experimento completo de varios lanzamientos, que cae en la casilla correspondiente a cuántas veces salió "cara". Por eso un único lanzamiento nunca puede revelar una curva: una curva es un patrón que vive en muchos resultados, no en uno. Lanza una vez y simplemente obtienes cara o cruz. Lanza una y otra vez, lleva la cuenta, y esos recuentos van trazando poco a poco la misma campana que ves arriba.

Lanza una moneda online y observa cómo crece tu propio historial de lanzamientos: la distribución solo toma forma cuando los lanzamientos se acumulan, igual que las bolas.