[{"data":1,"prerenderedAt":27066},["ShallowReactive",2],{"locale-switcher-blog-es-null":3,"blog-series-page-es-random-walks":4,"series-page-authors":27054},null,{"meta":5,"members":18},{"id":6,"title":7,"_locale":8,"date":9,"description":10,"extension":11,"meta":12,"slug":15,"stem":16,"__hash__":17},"series\u002Fseries\u002Frandom-walks.es.yml","Paseos aleatorios","es","2026-06-06T01:00:00Z","Donde los lanzamientos de moneda se encuentran con las matemáticas más profundas: analizar caminos con el triángulo de Tartaglia y los números de Catalan, y por qué una moneda justa puede parecer injusta, procesos estocásticos y la ley del arcoseno.","yml",{"path":13,"body":14},"\u002Fseries\u002Frandom-walks.es",{"slug":15,"title":7,"description":10,"date":9,"_locale":8},"random-walks","series\u002Frandom-walks.es","fvJfpEcqQrFEsTSR7lYOhanjioXVXM3RJFt2xyKpqeA",[19,10745,14119],{"id":20,"title":21,"_locale":8,"author":3,"body":22,"date":10722,"description":10723,"excerpt":10724,"extension":10730,"level":10731,"meta":10732,"navigation":10733,"path":10734,"published":10733,"seo":10735,"series":15,"seriesOrder":10736,"slug":10737,"stem":10738,"tags":10739,"__hash__":10744},"blog\u002Fblog\u002Fpascals-triangle-and-probability.es.md","¿Qué tienen en común el triángulo de Tartaglia y una moneda?",{"type":23,"value":24,"toc":10705},"minimal",[25,29,33,38,55,58,64,68,71,95,98,109,119,394,399,406,542,665,828,831,1088,1392,1839,1871,2274,2278,2288,2498,2505,2571,2632,2773,2776,2786,2790,2876,2882,2889,2943,3019,3238,3242,3248,3384,3416,3856,3859,4566,4752,4755,5027,5031,5034,5118,5202,5334,5340,5472,5475,6267,6270,6276,6279,6299,6307,6311,6318,6413,6416,6612,6644,6649,6879,6938,6943,7265,7335,7340,7846,7943,7953,8329,8565,8569,8634,8946,8949,9917,10292,10295,10561,10656,10660,10663,10681,10687,10690,10693,10696],[26,27,21],"h1",{"id":28},"qué-tienen-en-común-el-triángulo-de-tartaglia-y-una-moneda",[30,31,32],"p",{},"Existe un triángulo de números que lleva siglos fascinando a matemáticos y matemáticas de todo el mundo. Su construcción es tan sencilla que un niño o niña podría dibujarlo en un cuaderno. Y sin embargo, dentro de sus filas se esconde una conexión profunda entre tres ramas de las matemáticas que, a primera vista, no parecen tener nada que ver entre sí: la combinatoria, el álgebra y la probabilidad. Lo más sorprendente es que esa conexión se revela con algo tan cotidiano como lanzar una moneda.",[34,35,37],"h2",{"id":36},"un-poco-de-historia","Un poco de historia",[30,39,40,41,45,46,49,50,54],{},"En muchos países de habla hispana este patrón se conoce como ",[42,43,44],"strong",{},"triángulo de Tartaglia",", en honor al matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557), que lo estudió en el contexto de la resolución de ecuaciones cúbicas. En el mundo anglosajón se le llama ",[42,47,48],{},"triángulo de Pascal",", porque Blaise Pascal publicó en 1654 un tratado — el ",[51,52,53],"em",{},"Traité du triangle arithmétique"," — donde formalizó sus propiedades y, lo que es más importante, lo conectó por primera vez con los problemas de azar que le planteaba el caballero de Méré.",[30,56,57],{},"Pero la historia real de este triángulo es mucho más antigua. En la China del siglo XI, el matemático Jia Xian ya describía el mismo patrón para calcular coeficientes de potencias. Más tarde, en el siglo XIII, Yang Hui lo reprodujo en un diagrama que ha llegado hasta nuestros días. En Persia, Omar Jayyam trabajó con las mismas ideas en el siglo XII. Y en la India, Pingala exploró patrones combinatorios similares siglos antes de nuestra era.",[30,59,60,61],{},"Que civilizaciones tan distantes en el tiempo y el espacio descubrieran el mismo triángulo de forma independiente nos dice algo importante: no se trata de una invención humana arbitraria, sino de una estructura que emerge de forma natural cada vez que alguien se pregunta ",[51,62,63],{},"¿de cuántas maneras puedo organizar esto?",[34,65,67],{"id":66},"cómo-construir-el-triángulo","Cómo construir el triángulo",[30,69,70],{},"La regla de construcción es elegantemente simple:",[72,73,74,82,88],"ol",{},[75,76,77,78,81],"li",{},"Empieza colocando un ",[42,79,80],{},"1"," en la cima.",[75,83,84,85,87],{},"En cada fila nueva, coloca un ",[42,86,80],{}," en cada extremo.",[75,89,90,91,94],{},"Cada número interior es la ",[42,92,93],{},"suma de los dos números"," que tiene justo encima.",[30,96,97],{},"Las primeras filas quedan así:",[99,100,106],"pre",{"className":101,"code":103,"language":104,"meta":105},[102],"language-text","            1\n          1   1\n        1   2   1\n      1   3   3   1\n    1   4   6   4   1\n  1   5  10  10   5   1\n","text","",[107,108,103],"code",{"__ignoreMap":105},[30,110,111,112,114,115,118],{},"La primera fila (el ",[42,113,80],{}," solitario de la cima) se llama ",[42,116,117],{},"fila 0",". La siguiente es la fila 1, y así sucesivamente. Esto no es un capricho: numerar desde cero hará que todo encaje mejor cuando conectemos el triángulo con las fórmulas.",[30,120,121,122,226,227,256,257,226,313,341,342,393],{},"Fíjate en la fila 4: ",[123,124,127,170],"span",{"className":125},[126],"katex",[123,128,131],{"className":129},[130],"katex-mathml",[132,133,135],"math",{"xmlns":134},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F1998\u002FMath\u002FMathML",[136,137,138,165],"semantics",{},[139,140,141,144,149,152,154,157,159,161,163],"mrow",{},[142,143,80],"mn",{},[145,146,148],"mo",{"separator":147},"true",",",[142,150,151],{},"4",[145,153,148],{"separator":147},[142,155,156],{},"6",[145,158,148],{"separator":147},[142,160,151],{},[145,162,148],{"separator":147},[142,164,80],{},[166,167,169],"annotation",{"encoding":168},"application\u002Fx-tex","1, 4, 6, 4, 1",[123,171,174],{"className":172,"ariaHidden":147},[173],"katex-html",[123,175,178,183,187,191,196,199,202,205,208,211,214,217,220,223],{"className":176},[177],"base",[123,179],{"className":180,"style":182},[181],"strut","height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;",[123,184,80],{"className":185},[186],"mord",[123,188,148],{"className":189},[190],"mpunct",[123,192],{"className":193,"style":195},[194],"mspace","margin-right:0.1667em;",[123,197,151],{"className":198},[186],[123,200,148],{"className":201},[190],[123,203],{"className":204,"style":195},[194],[123,206,156],{"className":207},[186],[123,209,148],{"className":210},[190],[123,212],{"className":213,"style":195},[194],[123,215,151],{"className":216},[186],[123,218,148],{"className":219},[190],[123,221],{"className":222,"style":195},[194],[123,224,80],{"className":225},[186],". El ",[123,228,230,243],{"className":229},[126],[123,231,233],{"className":232},[130],[132,234,235],{"xmlns":134},[136,236,237,241],{},[139,238,239],{},[142,240,156],{},[166,242,156],{"encoding":168},[123,244,246],{"className":245,"ariaHidden":147},[173],[123,247,249,253],{"className":248},[177],[123,250],{"className":251,"style":252},[181],"height:0.6444em;",[123,254,156],{"className":255},[186]," del centro viene de sumar los dos números que tiene encima: ",[123,258,260,280],{"className":259},[126],[123,261,263],{"className":262},[130],[132,264,265],{"xmlns":134},[136,266,267,277],{},[139,268,269,272,275],{},[142,270,271],{},"3",[145,273,274],{},"+",[142,276,271],{},[166,278,279],{"encoding":168},"3 + 3",[123,281,283,304],{"className":282,"ariaHidden":147},[173],[123,284,286,290,293,297,301],{"className":285},[177],[123,287],{"className":288,"style":289},[181],"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;",[123,291,271],{"className":292},[186],[123,294],{"className":295,"style":296},[194],"margin-right:0.2222em;",[123,298,274],{"className":299},[300],"mbin",[123,302],{"className":303,"style":296},[194],[123,305,307,310],{"className":306},[177],[123,308],{"className":309,"style":252},[181],[123,311,271],{"className":312},[186],[123,314,316,329],{"className":315},[126],[123,317,319],{"className":318},[130],[132,320,321],{"xmlns":134},[136,322,323,327],{},[139,324,325],{},[142,326,151],{},[166,328,151],{"encoding":168},[123,330,332],{"className":331,"ariaHidden":147},[173],[123,333,335,338],{"className":334},[177],[123,336],{"className":337,"style":252},[181],[123,339,151],{"className":340},[186]," de la izquierda viene de ",[123,343,345,363],{"className":344},[126],[123,346,348],{"className":347},[130],[132,349,350],{"xmlns":134},[136,351,352,360],{},[139,353,354,356,358],{},[142,355,80],{},[145,357,274],{},[142,359,271],{},[166,361,362],{"encoding":168},"1 + 3",[123,364,366,384],{"className":365,"ariaHidden":147},[173],[123,367,369,372,375,378,381],{"className":368},[177],[123,370],{"className":371,"style":289},[181],[123,373,80],{"className":374},[186],[123,376],{"className":377,"style":296},[194],[123,379,274],{"className":380},[300],[123,382],{"className":383,"style":296},[194],[123,385,387,390],{"className":386},[177],[123,388],{"className":389,"style":252},[181],[123,391,271],{"className":392},[186],". Siempre la misma regla.",[395,396,398],"h3",{"id":397},"los-coeficientes-binomiales","Los coeficientes binomiales",[30,400,401,402,405],{},"Cada número del triángulo tiene un nombre formal: es un ",[42,403,404],{},"coeficiente binomial",". Se escribe así:",[30,407,410],{"className":408},[409],"math-block",[123,411,413,442],{"className":412},[126],[123,414,416],{"className":415},[130],[132,417,418],{"xmlns":134},[136,419,420,439],{},[139,421,422,425,436],{},[145,423,424],{"fence":147},"(",[426,427,429,433],"mfrac",{"linethickness":428},"0px",[430,431,432],"mi",{},"n",[430,434,435],{},"k",[145,437,438],{"fence":147},")",[166,440,441],{"encoding":168},"\\binom{n}{k}",[123,443,445],{"className":444,"ariaHidden":147},[173],[123,446,448,452],{"className":447},[177],[123,449],{"className":450,"style":451},[181],"height:1.2em;vertical-align:-0.35em;",[123,453,455,466,535],{"className":454},[186],[123,456,461],{"className":457,"style":460},[458,459],"mopen","delimcenter","top:0em;",[123,462,424],{"className":463},[464,465],"delimsizing","size1",[123,467,469],{"className":468},[426],[123,470,474,526],{"className":471},[472,473],"vlist-t","vlist-t2",[123,475,478,521],{"className":476},[477],"vlist-r",[123,479,483,506],{"className":480,"style":482},[481],"vlist","height:0.7454em;",[123,484,486,491],{"style":485},"top:-2.355em;",[123,487],{"className":488,"style":490},[489],"pstrut","height:2.7em;",[123,492,498],{"className":493},[494,495,496,497],"sizing","reset-size6","size3","mtight",[123,499,501],{"className":500},[186,497],[123,502,435],{"className":503,"style":505},[186,504,497],"mathnormal","margin-right:0.0315em;",[123,507,509,512],{"style":508},"top:-3.144em;",[123,510],{"className":511,"style":490},[489],[123,513,515],{"className":514},[494,495,496,497],[123,516,518],{"className":517},[186,497],[123,519,432],{"className":520},[186,504,497],[123,522,525],{"className":523},[524],"vlist-s","​",[123,527,529],{"className":528},[477],[123,530,533],{"className":531,"style":532},[481],"height:0.345em;",[123,534],{},[123,536,539],{"className":537,"style":460},[538,459],"mclose",[123,540,438],{"className":541},[464,465],[30,543,544,545,606,607,635,636,664],{},"y se lee \"",[42,546,547,576,577],{},[123,548,550,563],{"className":549},[126],[123,551,553],{"className":552},[130],[132,554,555],{"xmlns":134},[136,556,557,561],{},[139,558,559],{},[430,560,432],{},[166,562,432],{"encoding":168},[123,564,566],{"className":565,"ariaHidden":147},[173],[123,567,569,573],{"className":568},[177],[123,570],{"className":571,"style":572},[181],"height:0.4306em;",[123,574,432],{"className":575},[186,504]," sobre ",[123,578,580,593],{"className":579},[126],[123,581,583],{"className":582},[130],[132,584,585],{"xmlns":134},[136,586,587,591],{},[139,588,589],{},[430,590,435],{},[166,592,435],{"encoding":168},[123,594,596],{"className":595,"ariaHidden":147},[173],[123,597,599,603],{"className":598},[177],[123,600],{"className":601,"style":602},[181],"height:0.6944em;",[123,604,435],{"className":605,"style":505},[186,504],"\". Su significado es directo: representa el número de formas de elegir ",[123,608,610,623],{"className":609},[126],[123,611,613],{"className":612},[130],[132,614,615],{"xmlns":134},[136,616,617,621],{},[139,618,619],{},[430,620,435],{},[166,622,435],{"encoding":168},[123,624,626],{"className":625,"ariaHidden":147},[173],[123,627,629,632],{"className":628},[177],[123,630],{"className":631,"style":602},[181],[123,633,435],{"className":634,"style":505},[186,504]," elementos de un conjunto de ",[123,637,639,652],{"className":638},[126],[123,640,642],{"className":641},[130],[132,643,644],{"xmlns":134},[136,645,646,650],{},[139,647,648],{},[430,649,432],{},[166,651,432],{"encoding":168},[123,653,655],{"className":654,"ariaHidden":147},[173],[123,656,658,661],{"className":657},[177],[123,659],{"className":660,"style":572},[181],[123,662,432],{"className":663},[186,504],", sin importar el orden.",[30,666,667,668,798,799,827],{},"Por ejemplo, ",[123,669,671,701],{"className":670},[126],[123,672,674],{"className":673},[130],[132,675,676],{"xmlns":134},[136,677,678,698],{},[139,679,680,693,696],{},[139,681,682,684,691],{},[145,683,424],{"fence":147},[426,685,686,688],{"linethickness":428},[142,687,151],{},[142,689,690],{},"2",[145,692,438],{"fence":147},[145,694,695],{},"=",[142,697,156],{},[166,699,700],{"encoding":168},"\\binom{4}{2} = 6",[123,702,704,789],{"className":703,"ariaHidden":147},[173],[123,705,707,711,778,782,786],{"className":706},[177],[123,708],{"className":709,"style":710},[181],"height:1.2451em;vertical-align:-0.35em;",[123,712,714,720,772],{"className":713},[186],[123,715,717],{"className":716,"style":460},[458,459],[123,718,424],{"className":719},[464,465],[123,721,723],{"className":722},[426],[123,724,726,764],{"className":725},[472,473],[123,727,729,761],{"className":728},[477],[123,730,733,747],{"className":731,"style":732},[481],"height:0.8951em;",[123,734,735,738],{"style":485},[123,736],{"className":737,"style":490},[489],[123,739,741],{"className":740},[494,495,496,497],[123,742,744],{"className":743},[186,497],[123,745,690],{"className":746},[186,497],[123,748,749,752],{"style":508},[123,750],{"className":751,"style":490},[489],[123,753,755],{"className":754},[494,495,496,497],[123,756,758],{"className":757},[186,497],[123,759,151],{"className":760},[186,497],[123,762,525],{"className":763},[524],[123,765,767],{"className":766},[477],[123,768,770],{"className":769,"style":532},[481],[123,771],{},[123,773,775],{"className":774,"style":460},[538,459],[123,776,438],{"className":777},[464,465],[123,779],{"className":780,"style":781},[194],"margin-right:0.2778em;",[123,783,695],{"className":784},[785],"mrel",[123,787],{"className":788,"style":781},[194],[123,790,792,795],{"className":791},[177],[123,793],{"className":794,"style":252},[181],[123,796,156],{"className":797},[186]," significa que hay 6 formas de elegir 2 objetos de entre 4. Y efectivamente, si miras la fila 4 del triángulo, la posición 2 (contando desde 0) es precisamente ",[123,800,802,815],{"className":801},[126],[123,803,805],{"className":804},[130],[132,806,807],{"xmlns":134},[136,808,809,813],{},[139,810,811],{},[142,812,156],{},[166,814,156],{"encoding":168},[123,816,818],{"className":817,"ariaHidden":147},[173],[123,819,821,824],{"className":820},[177],[123,822],{"className":823,"style":252},[181],[123,825,156],{"className":826},[186],".",[30,829,830],{},"La fórmula para calcularlo es:",[30,832,834],{"className":833},[409],[123,835,837,895],{"className":836},[126],[123,838,840],{"className":839},[130],[132,841,842],{"xmlns":134},[136,843,844,892],{},[139,845,846,858,860],{},[139,847,848,850,856],{},[145,849,424],{"fence":147},[426,851,852,854],{"linethickness":428},[430,853,432],{},[430,855,435],{},[145,857,438],{"fence":147},[145,859,695],{},[426,861,862,870],{},[139,863,864,866],{},[430,865,432],{},[145,867,869],{"stretchy":868},"false","!",[139,871,872,874,876,879,881,883,886,888,890],{},[430,873,435],{},[145,875,869],{"stretchy":868},[145,877,878],{},"⋅",[145,880,424],{"stretchy":868},[430,882,432],{},[145,884,885],{},"−",[430,887,435],{},[145,889,438],{"stretchy":868},[145,891,869],{"stretchy":868},[166,893,894],{"encoding":168},"\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k! \\cdot (n-k)!}",[123,896,898,979],{"className":897,"ariaHidden":147},[173],[123,899,901,904,970,973,976],{"className":900},[177],[123,902],{"className":903,"style":451},[181],[123,905,907,913,964],{"className":906},[186],[123,908,910],{"className":909,"style":460},[458,459],[123,911,424],{"className":912},[464,465],[123,914,916],{"className":915},[426],[123,917,919,956],{"className":918},[472,473],[123,920,922,953],{"className":921},[477],[123,923,925,939],{"className":924,"style":482},[481],[123,926,927,930],{"style":485},[123,928],{"className":929,"style":490},[489],[123,931,933],{"className":932},[494,495,496,497],[123,934,936],{"className":935},[186,497],[123,937,435],{"className":938,"style":505},[186,504,497],[123,940,941,944],{"style":508},[123,942],{"className":943,"style":490},[489],[123,945,947],{"className":946},[494,495,496,497],[123,948,950],{"className":949},[186,497],[123,951,432],{"className":952},[186,504,497],[123,954,525],{"className":955},[524],[123,957,959],{"className":958},[477],[123,960,962],{"className":961,"style":532},[481],[123,963],{},[123,965,967],{"className":966,"style":460},[538,459],[123,968,438],{"className":969},[464,465],[123,971],{"className":972,"style":781},[194],[123,974,695],{"className":975},[785],[123,977],{"className":978,"style":781},[194],[123,980,982,986],{"className":981},[177],[123,983],{"className":984,"style":985},[181],"height:1.4001em;vertical-align:-0.52em;",[123,987,989,993,1085],{"className":988},[186],[123,990],{"className":991},[458,992],"nulldelimiter",[123,994,996],{"className":995},[426],[123,997,999,1076],{"className":998},[472,473],[123,1000,1002,1073],{"className":1001},[477],[123,1003,1006,1044,1055],{"className":1004,"style":1005},[481],"height:0.8801em;",[123,1007,1009,1013],{"style":1008},"top:-2.655em;",[123,1010],{"className":1011,"style":1012},[489],"height:3em;",[123,1014,1016],{"className":1015},[494,495,496,497],[123,1017,1019,1022,1025,1028,1031,1034,1037,1040],{"className":1018},[186,497],[123,1020,435],{"className":1021,"style":505},[186,504,497],[123,1023,869],{"className":1024},[538,497],[123,1026,878],{"className":1027},[300,497],[123,1029,424],{"className":1030},[458,497],[123,1032,432],{"className":1033},[186,504,497],[123,1035,885],{"className":1036},[300,497],[123,1038,435],{"className":1039,"style":505},[186,504,497],[123,1041,1043],{"className":1042},[538,497],")!",[123,1045,1047,1050],{"style":1046},"top:-3.23em;",[123,1048],{"className":1049,"style":1012},[489],[123,1051],{"className":1052,"style":1054},[1053],"frac-line","border-bottom-width:0.04em;",[123,1056,1058,1061],{"style":1057},"top:-3.394em;",[123,1059],{"className":1060,"style":1012},[489],[123,1062,1064],{"className":1063},[494,495,496,497],[123,1065,1067,1070],{"className":1066},[186,497],[123,1068,432],{"className":1069},[186,504,497],[123,1071,869],{"className":1072},[538,497],[123,1074,525],{"className":1075},[524],[123,1077,1079],{"className":1078},[477],[123,1080,1083],{"className":1081,"style":1082},[481],"height:0.52em;",[123,1084],{},[123,1086],{"className":1087},[538,992],[30,1089,1090,1091,1125,1126,1129,1130,1158,1159,1187,1188,1334,1335,827],{},"Aquí, el símbolo ",[123,1092,1094,1110],{"className":1093},[126],[123,1095,1097],{"className":1096},[130],[132,1098,1099],{"xmlns":134},[136,1100,1101,1107],{},[139,1102,1103,1105],{},[430,1104,432],{},[145,1106,869],{"stretchy":868},[166,1108,1109],{"encoding":168},"n!",[123,1111,1113],{"className":1112,"ariaHidden":147},[173],[123,1114,1116,1119,1122],{"className":1115},[177],[123,1117],{"className":1118,"style":602},[181],[123,1120,432],{"className":1121},[186,504],[123,1123,869],{"className":1124},[538]," se llama ",[42,1127,1128],{},"factorial"," y significa multiplicar todos los números enteros desde ",[123,1131,1133,1146],{"className":1132},[126],[123,1134,1136],{"className":1135},[130],[132,1137,1138],{"xmlns":134},[136,1139,1140,1144],{},[139,1141,1142],{},[142,1143,80],{},[166,1145,80],{"encoding":168},[123,1147,1149],{"className":1148,"ariaHidden":147},[173],[123,1150,1152,1155],{"className":1151},[177],[123,1153],{"className":1154,"style":252},[181],[123,1156,80],{"className":1157},[186]," hasta ",[123,1160,1162,1175],{"className":1161},[126],[123,1163,1165],{"className":1164},[130],[132,1166,1167],{"xmlns":134},[136,1168,1169,1173],{},[139,1170,1171],{},[430,1172,432],{},[166,1174,432],{"encoding":168},[123,1176,1178],{"className":1177,"ariaHidden":147},[173],[123,1179,1181,1184],{"className":1180},[177],[123,1182],{"className":1183,"style":572},[181],[123,1185,432],{"className":1186},[186,504],". Por ejemplo, ",[123,1189,1191,1229],{"className":1190},[126],[123,1192,1194],{"className":1193},[130],[132,1195,1196],{"xmlns":134},[136,1197,1198,1226],{},[139,1199,1200,1202,1204,1206,1208,1211,1213,1215,1217,1219,1221,1223],{},[142,1201,151],{},[145,1203,869],{"stretchy":868},[145,1205,695],{},[142,1207,151],{},[145,1209,1210],{},"×",[142,1212,271],{},[145,1214,1210],{},[142,1216,690],{},[145,1218,1210],{},[142,1220,80],{},[145,1222,695],{},[142,1224,1225],{},"24",[166,1227,1228],{"encoding":168},"4! = 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 24",[123,1230,1232,1253,1271,1289,1307,1325],{"className":1231,"ariaHidden":147},[173],[123,1233,1235,1238,1241,1244,1247,1250],{"className":1234},[177],[123,1236],{"className":1237,"style":602},[181],[123,1239,151],{"className":1240},[186],[123,1242,869],{"className":1243},[538],[123,1245],{"className":1246,"style":781},[194],[123,1248,695],{"className":1249},[785],[123,1251],{"className":1252,"style":781},[194],[123,1254,1256,1259,1262,1265,1268],{"className":1255},[177],[123,1257],{"className":1258,"style":289},[181],[123,1260,151],{"className":1261},[186],[123,1263],{"className":1264,"style":296},[194],[123,1266,1210],{"className":1267},[300],[123,1269],{"className":1270,"style":296},[194],[123,1272,1274,1277,1280,1283,1286],{"className":1273},[177],[123,1275],{"className":1276,"style":289},[181],[123,1278,271],{"className":1279},[186],[123,1281],{"className":1282,"style":296},[194],[123,1284,1210],{"className":1285},[300],[123,1287],{"className":1288,"style":296},[194],[123,1290,1292,1295,1298,1301,1304],{"className":1291},[177],[123,1293],{"className":1294,"style":289},[181],[123,1296,690],{"className":1297},[186],[123,1299],{"className":1300,"style":296},[194],[123,1302,1210],{"className":1303},[300],[123,1305],{"className":1306,"style":296},[194],[123,1308,1310,1313,1316,1319,1322],{"className":1309},[177],[123,1311],{"className":1312,"style":252},[181],[123,1314,80],{"className":1315},[186],[123,1317],{"className":1318,"style":781},[194],[123,1320,695],{"className":1321},[785],[123,1323],{"className":1324,"style":781},[194],[123,1326,1328,1331],{"className":1327},[177],[123,1329],{"className":1330,"style":252},[181],[123,1332,1225],{"className":1333},[186],". Por convención, ",[123,1336,1338,1359],{"className":1337},[126],[123,1339,1341],{"className":1340},[130],[132,1342,1343],{"xmlns":134},[136,1344,1345,1356],{},[139,1346,1347,1350,1352,1354],{},[142,1348,1349],{},"0",[145,1351,869],{"stretchy":868},[145,1353,695],{},[142,1355,80],{},[166,1357,1358],{"encoding":168},"0! = 1",[123,1360,1362,1383],{"className":1361,"ariaHidden":147},[173],[123,1363,1365,1368,1371,1374,1377,1380],{"className":1364},[177],[123,1366],{"className":1367,"style":602},[181],[123,1369,1349],{"className":1370},[186],[123,1372,869],{"className":1373},[538],[123,1375],{"className":1376,"style":781},[194],[123,1378,695],{"className":1379},[785],[123,1381],{"className":1382,"style":781},[194],[123,1384,1386,1389],{"className":1385},[177],[123,1387],{"className":1388,"style":252},[181],[123,1390,80],{"className":1391},[186],[30,1393,1394,1395,1838],{},"Comprobemos: ",[123,1396,1398,1470],{"className":1397},[126],[123,1399,1401],{"className":1400},[130],[132,1402,1403],{"xmlns":134},[136,1404,1405,1467],{},[139,1406,1407,1419,1421,1441,1443,1455,1457,1463,1465],{},[139,1408,1409,1411,1417],{},[145,1410,424],{"fence":147},[426,1412,1413,1415],{"linethickness":428},[142,1414,151],{},[142,1416,690],{},[145,1418,438],{"fence":147},[145,1420,695],{},[426,1422,1423,1429],{},[139,1424,1425,1427],{},[142,1426,151],{},[145,1428,869],{"stretchy":868},[139,1430,1431,1433,1435,1437,1439],{},[142,1432,690],{},[145,1434,869],{"stretchy":868},[145,1436,878],{},[142,1438,690],{},[145,1440,869],{"stretchy":868},[145,1442,695],{},[426,1444,1445,1447],{},[142,1446,1225],{},[139,1448,1449,1451,1453],{},[142,1450,690],{},[145,1452,1210],{},[142,1454,690],{},[145,1456,695],{},[426,1458,1459,1461],{},[142,1460,1225],{},[142,1462,151],{},[145,1464,695],{},[142,1466,156],{},[166,1468,1469],{"encoding":168},"\\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2! \\cdot 2!} = \\frac{24}{2 \\times 2} = \\frac{24}{4} = 6",[123,1471,1473,1554,1653,1745,1829],{"className":1472,"ariaHidden":147},[173],[123,1474,1476,1479,1545,1548,1551],{"className":1475},[177],[123,1477],{"className":1478,"style":710},[181],[123,1480,1482,1488,1539],{"className":1481},[186],[123,1483,1485],{"className":1484,"style":460},[458,459],[123,1486,424],{"className":1487},[464,465],[123,1489,1491],{"className":1490},[426],[123,1492,1494,1531],{"className":1493},[472,473],[123,1495,1497,1528],{"className":1496},[477],[123,1498,1500,1514],{"className":1499,"style":732},[481],[123,1501,1502,1505],{"style":485},[123,1503],{"className":1504,"style":490},[489],[123,1506,1508],{"className":1507},[494,495,496,497],[123,1509,1511],{"className":1510},[186,497],[123,1512,690],{"className":1513},[186,497],[123,1515,1516,1519],{"style":508},[123,1517],{"className":1518,"style":490},[489],[123,1520,1522],{"className":1521},[494,495,496,497],[123,1523,1525],{"className":1524},[186,497],[123,1526,151],{"className":1527},[186,497],[123,1529,525],{"className":1530},[524],[123,1532,1534],{"className":1533},[477],[123,1535,1537],{"className":1536,"style":532},[481],[123,1538],{},[123,1540,1542],{"className":1541,"style":460},[538,459],[123,1543,438],{"className":1544},[464,465],[123,1546],{"className":1547,"style":781},[194],[123,1549,695],{"className":1550},[785],[123,1552],{"className":1553,"style":781},[194],[123,1555,1557,1561,1644,1647,1650],{"className":1556},[177],[123,1558],{"className":1559,"style":1560},[181],"height:1.2251em;vertical-align:-0.345em;",[123,1562,1564,1567,1641],{"className":1563},[186],[123,1565],{"className":1566},[458,992],[123,1568,1570],{"className":1569},[426],[123,1571,1573,1633],{"className":1572},[472,473],[123,1574,1576,1630],{"className":1575},[477],[123,1577,1579,1605,1613],{"className":1578,"style":1005},[481],[123,1580,1581,1584],{"style":1008},[123,1582],{"className":1583,"style":1012},[489],[123,1585,1587],{"className":1586},[494,495,496,497],[123,1588,1590,1593,1596,1599,1602],{"className":1589},[186,497],[123,1591,690],{"className":1592},[186,497],[123,1594,869],{"className":1595},[538,497],[123,1597,878],{"className":1598},[300,497],[123,1600,690],{"className":1601},[186,497],[123,1603,869],{"className":1604},[538,497],[123,1606,1607,1610],{"style":1046},[123,1608],{"className":1609,"style":1012},[489],[123,1611],{"className":1612,"style":1054},[1053],[123,1614,1615,1618],{"style":1057},[123,1616],{"className":1617,"style":1012},[489],[123,1619,1621],{"className":1620},[494,495,496,497],[123,1622,1624,1627],{"className":1623},[186,497],[123,1625,151],{"className":1626},[186,497],[123,1628,869],{"className":1629},[538,497],[123,1631,525],{"className":1632},[524],[123,1634,1636],{"className":1635},[477],[123,1637,1639],{"className":1638,"style":532},[481],[123,1640],{},[123,1642],{"className":1643},[538,992],[123,1645],{"className":1646,"style":781},[194],[123,1648,695],{"className":1649},[785],[123,1651],{"className":1652,"style":781},[194],[123,1654,1656,1660,1736,1739,1742],{"className":1655},[177],[123,1657],{"className":1658,"style":1659},[181],"height:1.2484em;vertical-align:-0.4033em;",[123,1661,1663,1666,1733],{"className":1662},[186],[123,1664],{"className":1665},[458,992],[123,1667,1669],{"className":1668},[426],[123,1670,1672,1724],{"className":1671},[472,473],[123,1673,1675,1721],{"className":1674},[477],[123,1676,1679,1699,1707],{"className":1677,"style":1678},[481],"height:0.8451em;",[123,1680,1681,1684],{"style":1008},[123,1682],{"className":1683,"style":1012},[489],[123,1685,1687],{"className":1686},[494,495,496,497],[123,1688,1690,1693,1696],{"className":1689},[186,497],[123,1691,690],{"className":1692},[186,497],[123,1694,1210],{"className":1695},[300,497],[123,1697,690],{"className":1698},[186,497],[123,1700,1701,1704],{"style":1046},[123,1702],{"className":1703,"style":1012},[489],[123,1705],{"className":1706,"style":1054},[1053],[123,1708,1709,1712],{"style":1057},[123,1710],{"className":1711,"style":1012},[489],[123,1713,1715],{"className":1714},[494,495,496,497],[123,1716,1718],{"className":1717},[186,497],[123,1719,1225],{"className":1720},[186,497],[123,1722,525],{"className":1723},[524],[123,1725,1727],{"className":1726},[477],[123,1728,1731],{"className":1729,"style":1730},[481],"height:0.4033em;",[123,1732],{},[123,1734],{"className":1735},[538,992],[123,1737],{"className":1738,"style":781},[194],[123,1740,695],{"className":1741},[785],[123,1743],{"className":1744,"style":781},[194],[123,1746,1748,1752,1820,1823,1826],{"className":1747},[177],[123,1749],{"className":1750,"style":1751},[181],"height:1.1901em;vertical-align:-0.345em;",[123,1753,1755,1758,1817],{"className":1754},[186],[123,1756],{"className":1757},[458,992],[123,1759,1761],{"className":1760},[426],[123,1762,1764,1809],{"className":1763},[472,473],[123,1765,1767,1806],{"className":1766},[477],[123,1768,1770,1784,1792],{"className":1769,"style":1678},[481],[123,1771,1772,1775],{"style":1008},[123,1773],{"className":1774,"style":1012},[489],[123,1776,1778],{"className":1777},[494,495,496,497],[123,1779,1781],{"className":1780},[186,497],[123,1782,151],{"className":1783},[186,497],[123,1785,1786,1789],{"style":1046},[123,1787],{"className":1788,"style":1012},[489],[123,1790],{"className":1791,"style":1054},[1053],[123,1793,1794,1797],{"style":1057},[123,1795],{"className":1796,"style":1012},[489],[123,1798,1800],{"className":1799},[494,495,496,497],[123,1801,1803],{"className":1802},[186,497],[123,1804,1225],{"className":1805},[186,497],[123,1807,525],{"className":1808},[524],[123,1810,1812],{"className":1811},[477],[123,1813,1815],{"className":1814,"style":532},[481],[123,1816],{},[123,1818],{"className":1819},[538,992],[123,1821],{"className":1822,"style":781},[194],[123,1824,695],{"className":1825},[785],[123,1827],{"className":1828,"style":781},[194],[123,1830,1832,1835],{"className":1831},[177],[123,1833],{"className":1834,"style":252},[181],[123,1836,156],{"className":1837},[186],". Correcto.",[30,1840,1841,1842,1870],{},"Así, la fila ",[123,1843,1845,1858],{"className":1844},[126],[123,1846,1848],{"className":1847},[130],[132,1849,1850],{"xmlns":134},[136,1851,1852,1856],{},[139,1853,1854],{},[430,1855,432],{},[166,1857,432],{"encoding":168},[123,1859,1861],{"className":1860,"ariaHidden":147},[173],[123,1862,1864,1867],{"className":1863},[177],[123,1865],{"className":1866,"style":572},[181],[123,1868,432],{"className":1869},[186,504]," del triángulo contiene los valores:",[30,1872,1874],{"className":1873},[409],[123,1875,1877,1958],{"className":1876},[126],[123,1878,1880],{"className":1879},[130],[132,1881,1882],{"xmlns":134},[136,1883,1884,1955],{},[139,1885,1886,1898,1900,1904,1916,1918,1920,1932,1934,1936,1939,1941,1943],{},[139,1887,1888,1890,1896],{},[145,1889,424],{"fence":147},[426,1891,1892,1894],{"linethickness":428},[430,1893,432],{},[142,1895,1349],{},[145,1897,438],{"fence":147},[145,1899,148],{"separator":147},[1901,1902,1903],"mtext",{},"  ",[139,1905,1906,1908,1914],{},[145,1907,424],{"fence":147},[426,1909,1910,1912],{"linethickness":428},[430,1911,432],{},[142,1913,80],{},[145,1915,438],{"fence":147},[145,1917,148],{"separator":147},[1901,1919,1903],{},[139,1921,1922,1924,1930],{},[145,1923,424],{"fence":147},[426,1925,1926,1928],{"linethickness":428},[430,1927,432],{},[142,1929,690],{},[145,1931,438],{"fence":147},[145,1933,148],{"separator":147},[1901,1935,1903],{},[145,1937,1938],{},"…",[145,1940,148],{"separator":147},[1901,1942,1903],{},[139,1944,1945,1947,1953],{},[145,1946,424],{"fence":147},[426,1948,1949,1951],{"linethickness":428},[430,1950,432],{},[430,1952,432],{},[145,1954,438],{"fence":147},[166,1956,1957],{"encoding":168},"\\binom{n}{0},\\; \\binom{n}{1},\\; \\binom{n}{2},\\; \\ldots,\\; \\binom{n}{n}",[123,1959,1961],{"className":1960,"ariaHidden":147},[173],[123,1962,1964,1967,2033,2036,2039,2042,2108,2111,2114,2117,2183,2186,2189,2192,2196,2199,2202,2205,2208],{"className":1963},[177],[123,1965],{"className":1966,"style":451},[181],[123,1968,1970,1976,2027],{"className":1969},[186],[123,1971,1973],{"className":1972,"style":460},[458,459],[123,1974,424],{"className":1975},[464,465],[123,1977,1979],{"className":1978},[426],[123,1980,1982,2019],{"className":1981},[472,473],[123,1983,1985,2016],{"className":1984},[477],[123,1986,1988,2002],{"className":1987,"style":482},[481],[123,1989,1990,1993],{"style":485},[123,1991],{"className":1992,"style":490},[489],[123,1994,1996],{"className":1995},[494,495,496,497],[123,1997,1999],{"className":1998},[186,497],[123,2000,1349],{"className":2001},[186,497],[123,2003,2004,2007],{"style":508},[123,2005],{"className":2006,"style":490},[489],[123,2008,2010],{"className":2009},[494,495,496,497],[123,2011,2013],{"className":2012},[186,497],[123,2014,432],{"className":2015},[186,504,497],[123,2017,525],{"className":2018},[524],[123,2020,2022],{"className":2021},[477],[123,2023,2025],{"className":2024,"style":532},[481],[123,2026],{},[123,2028,2030],{"className":2029,"style":460},[538,459],[123,2031,438],{"className":2032},[464,465],[123,2034,148],{"className":2035},[190],[123,2037],{"className":2038,"style":781},[194],[123,2040],{"className":2041,"style":195},[194],[123,2043,2045,2051,2102],{"className":2044},[186],[123,2046,2048],{"className":2047,"style":460},[458,459],[123,2049,424],{"className":2050},[464,465],[123,2052,2054],{"className":2053},[426],[123,2055,2057,2094],{"className":2056},[472,473],[123,2058,2060,2091],{"className":2059},[477],[123,2061,2063,2077],{"className":2062,"style":482},[481],[123,2064,2065,2068],{"style":485},[123,2066],{"className":2067,"style":490},[489],[123,2069,2071],{"className":2070},[494,495,496,497],[123,2072,2074],{"className":2073},[186,497],[123,2075,80],{"className":2076},[186,497],[123,2078,2079,2082],{"style":508},[123,2080],{"className":2081,"style":490},[489],[123,2083,2085],{"className":2084},[494,495,496,497],[123,2086,2088],{"className":2087},[186,497],[123,2089,432],{"className":2090},[186,504,497],[123,2092,525],{"className":2093},[524],[123,2095,2097],{"className":2096},[477],[123,2098,2100],{"className":2099,"style":532},[481],[123,2101],{},[123,2103,2105],{"className":2104,"style":460},[538,459],[123,2106,438],{"className":2107},[464,465],[123,2109,148],{"className":2110},[190],[123,2112],{"className":2113,"style":781},[194],[123,2115],{"className":2116,"style":195},[194],[123,2118,2120,2126,2177],{"className":2119},[186],[123,2121,2123],{"className":2122,"style":460},[458,459],[123,2124,424],{"className":2125},[464,465],[123,2127,2129],{"className":2128},[426],[123,2130,2132,2169],{"className":2131},[472,473],[123,2133,2135,2166],{"className":2134},[477],[123,2136,2138,2152],{"className":2137,"style":482},[481],[123,2139,2140,2143],{"style":485},[123,2141],{"className":2142,"style":490},[489],[123,2144,2146],{"className":2145},[494,495,496,497],[123,2147,2149],{"className":2148},[186,497],[123,2150,690],{"className":2151},[186,497],[123,2153,2154,2157],{"style":508},[123,2155],{"className":2156,"style":490},[489],[123,2158,2160],{"className":2159},[494,495,496,497],[123,2161,2163],{"className":2162},[186,497],[123,2164,432],{"className":2165},[186,504,497],[123,2167,525],{"className":2168},[524],[123,2170,2172],{"className":2171},[477],[123,2173,2175],{"className":2174,"style":532},[481],[123,2176],{},[123,2178,2180],{"className":2179,"style":460},[538,459],[123,2181,438],{"className":2182},[464,465],[123,2184,148],{"className":2185},[190],[123,2187],{"className":2188,"style":781},[194],[123,2190],{"className":2191,"style":195},[194],[123,2193,1938],{"className":2194},[2195],"minner",[123,2197],{"className":2198,"style":195},[194],[123,2200,148],{"className":2201},[190],[123,2203],{"className":2204,"style":781},[194],[123,2206],{"className":2207,"style":195},[194],[123,2209,2211,2217,2268],{"className":2210},[186],[123,2212,2214],{"className":2213,"style":460},[458,459],[123,2215,424],{"className":2216},[464,465],[123,2218,2220],{"className":2219},[426],[123,2221,2223,2260],{"className":2222},[472,473],[123,2224,2226,2257],{"className":2225},[477],[123,2227,2229,2243],{"className":2228,"style":482},[481],[123,2230,2231,2234],{"style":485},[123,2232],{"className":2233,"style":490},[489],[123,2235,2237],{"className":2236},[494,495,496,497],[123,2238,2240],{"className":2239},[186,497],[123,2241,432],{"className":2242},[186,504,497],[123,2244,2245,2248],{"style":508},[123,2246],{"className":2247,"style":490},[489],[123,2249,2251],{"className":2250},[494,495,496,497],[123,2252,2254],{"className":2253},[186,497],[123,2255,432],{"className":2256},[186,504,497],[123,2258,525],{"className":2259},[524],[123,2261,2263],{"className":2262},[477],[123,2264,2266],{"className":2265,"style":532},[481],[123,2267],{},[123,2269,2271],{"className":2270,"style":460},[538,459],[123,2272,438],{"className":2273},[464,465],[34,2275,2277],{"id":2276},"la-combinatoria-el-arte-de-contar-sin-enumerar","La combinatoria: el arte de contar sin enumerar",[30,2279,2280,2281,2284,2285,827],{},"La ",[42,2282,2283],{},"combinatoria"," es la rama de las matemáticas que estudia cuántas maneras distintas existen de organizar, agrupar o elegir elementos. Su poder reside en que nos permite conocer el número de posibilidades ",[51,2286,2287],{},"sin tener que listarlas una por una",[30,2289,2290,2291,2294,2295,2298,2299,2327,2328,2401,2402,827],{},"Para entender por qué esto es útil, pensemos en lanzar una moneda. Cada lanzamiento tiene dos resultados posibles: ",[42,2292,2293],{},"cara"," (O) o ",[42,2296,2297],{},"cruz"," (X). Si lanzamos la moneda una vez, hay ",[123,2300,2302,2315],{"className":2301},[126],[123,2303,2305],{"className":2304},[130],[132,2306,2307],{"xmlns":134},[136,2308,2309,2313],{},[139,2310,2311],{},[142,2312,690],{},[166,2314,690],{"encoding":168},[123,2316,2318],{"className":2317,"ariaHidden":147},[173],[123,2319,2321,2324],{"className":2320},[177],[123,2322],{"className":2323,"style":252},[181],[123,2325,690],{"className":2326},[186]," resultados. Si la lanzamos dos veces, cada uno de los 2 resultados del primer lanzamiento se combina con los 2 del segundo, dando ",[123,2329,2331,2353],{"className":2330},[126],[123,2332,2334],{"className":2333},[130],[132,2335,2336],{"xmlns":134},[136,2337,2338,2350],{},[139,2339,2340,2342,2344,2346,2348],{},[142,2341,690],{},[145,2343,1210],{},[142,2345,690],{},[145,2347,695],{},[142,2349,151],{},[166,2351,2352],{"encoding":168},"2 \\times 2 = 4",[123,2354,2356,2374,2392],{"className":2355,"ariaHidden":147},[173],[123,2357,2359,2362,2365,2368,2371],{"className":2358},[177],[123,2360],{"className":2361,"style":289},[181],[123,2363,690],{"className":2364},[186],[123,2366],{"className":2367,"style":296},[194],[123,2369,1210],{"className":2370},[300],[123,2372],{"className":2373,"style":296},[194],[123,2375,2377,2380,2383,2386,2389],{"className":2376},[177],[123,2378],{"className":2379,"style":252},[181],[123,2381,690],{"className":2382},[186],[123,2384],{"className":2385,"style":781},[194],[123,2387,695],{"className":2388},[785],[123,2390],{"className":2391,"style":781},[194],[123,2393,2395,2398],{"className":2394},[177],[123,2396],{"className":2397,"style":252},[181],[123,2399,151],{"className":2400},[186]," resultados. Con tres lanzamientos, ",[123,2403,2405,2432],{"className":2404},[126],[123,2406,2408],{"className":2407},[130],[132,2409,2410],{"xmlns":134},[136,2411,2412,2429],{},[139,2413,2414,2416,2418,2420,2422,2424,2426],{},[142,2415,690],{},[145,2417,1210],{},[142,2419,690],{},[145,2421,1210],{},[142,2423,690],{},[145,2425,695],{},[142,2427,2428],{},"8",[166,2430,2431],{"encoding":168},"2 \\times 2 \\times 2 = 8",[123,2433,2435,2453,2471,2489],{"className":2434,"ariaHidden":147},[173],[123,2436,2438,2441,2444,2447,2450],{"className":2437},[177],[123,2439],{"className":2440,"style":289},[181],[123,2442,690],{"className":2443},[186],[123,2445],{"className":2446,"style":296},[194],[123,2448,1210],{"className":2449},[300],[123,2451],{"className":2452,"style":296},[194],[123,2454,2456,2459,2462,2465,2468],{"className":2455},[177],[123,2457],{"className":2458,"style":289},[181],[123,2460,690],{"className":2461},[186],[123,2463],{"className":2464,"style":296},[194],[123,2466,1210],{"className":2467},[300],[123,2469],{"className":2470,"style":296},[194],[123,2472,2474,2477,2480,2483,2486],{"className":2473},[177],[123,2475],{"className":2476,"style":252},[181],[123,2478,690],{"className":2479},[186],[123,2481],{"className":2482,"style":781},[194],[123,2484,695],{"className":2485},[785],[123,2487],{"className":2488,"style":781},[194],[123,2490,2492,2495],{"className":2491},[177],[123,2493],{"className":2494,"style":252},[181],[123,2496,2428],{"className":2497},[186],[30,2499,2500,2501,2504],{},"Ese patrón se expresa con un ",[42,2502,2503],{},"exponente",":",[30,2506,2508],{"className":2507},[409],[123,2509,2511,2530],{"className":2510},[126],[123,2512,2514],{"className":2513},[130],[132,2515,2516],{"xmlns":134},[136,2517,2518,2527],{},[139,2519,2520],{},[2521,2522,2523,2525],"msup",{},[142,2524,690],{},[430,2526,432],{},[166,2528,2529],{"encoding":168},"2^n",[123,2531,2533],{"className":2532,"ariaHidden":147},[173],[123,2534,2536,2540],{"className":2535},[177],[123,2537],{"className":2538,"style":2539},[181],"height:0.6644em;",[123,2541,2543,2546],{"className":2542},[186],[123,2544,690],{"className":2545},[186],[123,2547,2550],{"className":2548},[2549],"msupsub",[123,2551,2553],{"className":2552},[472],[123,2554,2556],{"className":2555},[477],[123,2557,2559],{"className":2558,"style":2539},[481],[123,2560,2562,2565],{"style":2561},"top:-3.063em;margin-right:0.05em;",[123,2563],{"className":2564,"style":490},[489],[123,2566,2568],{"className":2567},[494,495,496,497],[123,2569,432],{"className":2570},[186,504,497],[30,2572,2573,2574,2602,2603,2631],{},"donde ",[123,2575,2577,2590],{"className":2576},[126],[123,2578,2580],{"className":2579},[130],[132,2581,2582],{"xmlns":134},[136,2583,2584,2588],{},[139,2585,2586],{},[430,2587,432],{},[166,2589,432],{"encoding":168},[123,2591,2593],{"className":2592,"ariaHidden":147},[173],[123,2594,2596,2599],{"className":2595},[177],[123,2597],{"className":2598,"style":572},[181],[123,2600,432],{"className":2601},[186,504]," es el número de lanzamientos. El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base (",[123,2604,2606,2619],{"className":2605},[126],[123,2607,2609],{"className":2608},[130],[132,2610,2611],{"xmlns":134},[136,2612,2613,2617],{},[139,2614,2615],{},[142,2616,690],{},[166,2618,690],{"encoding":168},[123,2620,2622],{"className":2621,"ariaHidden":147},[173],[123,2623,2625,2628],{"className":2624},[177],[123,2626],{"className":2627,"style":252},[181],[123,2629,690],{"className":2630},[186],") por sí misma. Así:",[2633,2634,2635,2735],"table",{},[2636,2637,2638],"thead",{},[2639,2640,2641,2674],"tr",{},[2642,2643,2645,2646,438],"th",{"align":2644},"center","Lanzamientos (",[123,2647,2649,2662],{"className":2648},[126],[123,2650,2652],{"className":2651},[130],[132,2653,2654],{"xmlns":134},[136,2655,2656,2660],{},[139,2657,2658],{},[430,2659,432],{},[166,2661,432],{"encoding":168},[123,2663,2665],{"className":2664,"ariaHidden":147},[173],[123,2666,2668,2671],{"className":2667},[177],[123,2669],{"className":2670,"style":572},[181],[123,2672,432],{"className":2673},[186,504],[2642,2675,2676,2677,438],{"align":2644},"Resultados posibles (",[123,2678,2680,2697],{"className":2679},[126],[123,2681,2683],{"className":2682},[130],[132,2684,2685],{"xmlns":134},[136,2686,2687,2695],{},[139,2688,2689],{},[2521,2690,2691,2693],{},[142,2692,690],{},[430,2694,432],{},[166,2696,2529],{"encoding":168},[123,2698,2700],{"className":2699,"ariaHidden":147},[173],[123,2701,2703,2706],{"className":2702},[177],[123,2704],{"className":2705,"style":2539},[181],[123,2707,2709,2712],{"className":2708},[186],[123,2710,690],{"className":2711},[186],[123,2713,2715],{"className":2714},[2549],[123,2716,2718],{"className":2717},[472],[123,2719,2721],{"className":2720},[477],[123,2722,2724],{"className":2723,"style":2539},[481],[123,2725,2726,2729],{"style":2561},[123,2727],{"className":2728,"style":490},[489],[123,2730,2732],{"className":2731},[494,495,496,497],[123,2733,432],{"className":2734},[186,504,497],[2736,2737,2738,2745,2751,2757,2765],"tbody",{},[2639,2739,2740,2743],{},[2741,2742,80],"td",{"align":2644},[2741,2744,690],{"align":2644},[2639,2746,2747,2749],{},[2741,2748,690],{"align":2644},[2741,2750,151],{"align":2644},[2639,2752,2753,2755],{},[2741,2754,271],{"align":2644},[2741,2756,2428],{"align":2644},[2639,2758,2759,2762],{},[2741,2760,2761],{"align":2644},"5",[2741,2763,2764],{"align":2644},"32",[2639,2766,2767,2770],{},[2741,2768,2769],{"align":2644},"10",[2741,2771,2772],{"align":2644},"1.024",[30,2774,2775],{},"Con solo 10 lanzamientos ya hay más de mil combinaciones posibles. La combinatoria nos ayuda a manejar esas cantidades sin perder la cabeza.",[30,2777,2778,2779,827],{},"Si necesitas repasar qué es la probabilidad y cómo se mide, echa un vistazo a ",[2780,2781,2785],"a",{"href":2782,"rel":2783},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fblog\u002Ffundamentos-de-probabilidad\u002F",[2784],"nofollow","Fundamentos de probabilidad",[34,2787,2789],{"id":2788},"caso-práctico-3-lanzamientos","Caso práctico: 3 lanzamientos",[30,2791,2792,2793,2875],{},"Vamos a conectar todo con un ejemplo concreto. Lanzamos una moneda 3 veces. Sabemos que hay ",[123,2794,2796,2818],{"className":2795},[126],[123,2797,2799],{"className":2798},[130],[132,2800,2801],{"xmlns":134},[136,2802,2803,2815],{},[139,2804,2805,2811,2813],{},[2521,2806,2807,2809],{},[142,2808,690],{},[142,2810,271],{},[145,2812,695],{},[142,2814,2428],{},[166,2816,2817],{"encoding":168},"2^3 = 8",[123,2819,2821,2866],{"className":2820,"ariaHidden":147},[173],[123,2822,2824,2828,2857,2860,2863],{"className":2823},[177],[123,2825],{"className":2826,"style":2827},[181],"height:0.8141em;",[123,2829,2831,2834],{"className":2830},[186],[123,2832,690],{"className":2833},[186],[123,2835,2837],{"className":2836},[2549],[123,2838,2840],{"className":2839},[472],[123,2841,2843],{"className":2842},[477],[123,2844,2846],{"className":2845,"style":2827},[481],[123,2847,2848,2851],{"style":2561},[123,2849],{"className":2850,"style":490},[489],[123,2852,2854],{"className":2853},[494,495,496,497],[123,2855,271],{"className":2856},[186,497],[123,2858],{"className":2859,"style":781},[194],[123,2861,695],{"className":2862},[785],[123,2864],{"className":2865,"style":781},[194],[123,2867,2869,2872],{"className":2868},[177],[123,2870],{"className":2871,"style":252},[181],[123,2873,2428],{"className":2874},[186]," resultados posibles. Aquí están todos:",[99,2877,2880],{"className":2878,"code":2879,"language":104,"meta":105},[102],"OOO    OOX    OXO    XOO    OXX    XOX    XXO    XXX\n",[107,2881,2879],{"__ignoreMap":105},[30,2883,2884,2885,2888],{},"Ahora agrupemos estos resultados según el ",[42,2886,2887],{},"número de caras"," obtenidas:",[2633,2890,2891,2905],{},[2636,2892,2893],{},[2639,2894,2895,2898,2902],{},[2642,2896,2897],{"align":2644},"Caras",[2642,2899,2901],{"align":2900},"left","Combinaciones",[2642,2903,2904],{"align":2644},"Cantidad",[2736,2906,2907,2916,2925,2934],{},[2639,2908,2909,2911,2914],{},[2741,2910,1349],{"align":2644},[2741,2912,2913],{"align":2900},"XXX",[2741,2915,80],{"align":2644},[2639,2917,2918,2920,2923],{},[2741,2919,80],{"align":2644},[2741,2921,2922],{"align":2900},"OXX, XOX, XXO",[2741,2924,271],{"align":2644},[2639,2926,2927,2929,2932],{},[2741,2928,690],{"align":2644},[2741,2930,2931],{"align":2900},"OOX, OXO, XOO",[2741,2933,271],{"align":2644},[2639,2935,2936,2938,2941],{},[2741,2937,271],{"align":2644},[2741,2939,2940],{"align":2900},"OOO",[2741,2942,80],{"align":2644},[30,2944,2945,2946,3014,3015,3018],{},"Mira la columna de cantidades: ",[123,2947,2949,2975],{"className":2948},[126],[123,2950,2952],{"className":2951},[130],[132,2953,2954],{"xmlns":134},[136,2955,2956,2972],{},[139,2957,2958,2960,2962,2964,2966,2968,2970],{},[142,2959,80],{},[145,2961,148],{"separator":147},[142,2963,271],{},[145,2965,148],{"separator":147},[142,2967,271],{},[145,2969,148],{"separator":147},[142,2971,80],{},[166,2973,2974],{"encoding":168},"1, 3, 3, 1",[123,2976,2978],{"className":2977,"ariaHidden":147},[173],[123,2979,2981,2984,2987,2990,2993,2996,2999,3002,3005,3008,3011],{"className":2980},[177],[123,2982],{"className":2983,"style":182},[181],[123,2985,80],{"className":2986},[186],[123,2988,148],{"className":2989},[190],[123,2991],{"className":2992,"style":195},[194],[123,2994,271],{"className":2995},[186],[123,2997,148],{"className":2998},[190],[123,3000],{"className":3001,"style":195},[194],[123,3003,271],{"className":3004},[186],[123,3006,148],{"className":3007},[190],[123,3009],{"className":3010,"style":195},[194],[123,3012,80],{"className":3013},[186],". ¿Te suena? Es exactamente la ",[42,3016,3017],{},"fila 3"," del triángulo de Tartaglia.",[30,3020,3021,3022,3050,3051,3079,3080,3179,3180,3208,3209,3237],{},"Y no es casualidad. El número de formas de obtener exactamente ",[123,3023,3025,3038],{"className":3024},[126],[123,3026,3028],{"className":3027},[130],[132,3029,3030],{"xmlns":134},[136,3031,3032,3036],{},[139,3033,3034],{},[430,3035,435],{},[166,3037,435],{"encoding":168},[123,3039,3041],{"className":3040,"ariaHidden":147},[173],[123,3042,3044,3047],{"className":3043},[177],[123,3045],{"className":3046,"style":602},[181],[123,3048,435],{"className":3049,"style":505},[186,504]," caras en ",[123,3052,3054,3067],{"className":3053},[126],[123,3055,3057],{"className":3056},[130],[132,3058,3059],{"xmlns":134},[136,3060,3061,3065],{},[139,3062,3063],{},[430,3064,432],{},[166,3066,432],{"encoding":168},[123,3068,3070],{"className":3069,"ariaHidden":147},[173],[123,3071,3073,3076],{"className":3072},[177],[123,3074],{"className":3075,"style":572},[181],[123,3077,432],{"className":3078},[186,504]," lanzamientos es precisamente ",[123,3081,3083,3104],{"className":3082},[126],[123,3084,3086],{"className":3085},[130],[132,3087,3088],{"xmlns":134},[136,3089,3090,3102],{},[139,3091,3092,3094,3100],{},[145,3093,424],{"fence":147},[426,3095,3096,3098],{"linethickness":428},[430,3097,432],{},[430,3099,435],{},[145,3101,438],{"fence":147},[166,3103,441],{"encoding":168},[123,3105,3107],{"className":3106,"ariaHidden":147},[173],[123,3108,3110,3113],{"className":3109},[177],[123,3111],{"className":3112,"style":451},[181],[123,3114,3116,3122,3173],{"className":3115},[186],[123,3117,3119],{"className":3118,"style":460},[458,459],[123,3120,424],{"className":3121},[464,465],[123,3123,3125],{"className":3124},[426],[123,3126,3128,3165],{"className":3127},[472,473],[123,3129,3131,3162],{"className":3130},[477],[123,3132,3134,3148],{"className":3133,"style":482},[481],[123,3135,3136,3139],{"style":485},[123,3137],{"className":3138,"style":490},[489],[123,3140,3142],{"className":3141},[494,495,496,497],[123,3143,3145],{"className":3144},[186,497],[123,3146,435],{"className":3147,"style":505},[186,504,497],[123,3149,3150,3153],{"style":508},[123,3151],{"className":3152,"style":490},[489],[123,3154,3156],{"className":3155},[494,495,496,497],[123,3157,3159],{"className":3158},[186,497],[123,3160,432],{"className":3161},[186,504,497],[123,3163,525],{"className":3164},[524],[123,3166,3168],{"className":3167},[477],[123,3169,3171],{"className":3170,"style":532},[481],[123,3172],{},[123,3174,3176],{"className":3175,"style":460},[538,459],[123,3177,438],{"className":3178},[464,465]," — el coeficiente binomial que ocupa la posición ",[123,3181,3183,3196],{"className":3182},[126],[123,3184,3186],{"className":3185},[130],[132,3187,3188],{"xmlns":134},[136,3189,3190,3194],{},[139,3191,3192],{},[430,3193,435],{},[166,3195,435],{"encoding":168},[123,3197,3199],{"className":3198,"ariaHidden":147},[173],[123,3200,3202,3205],{"className":3201},[177],[123,3203],{"className":3204,"style":602},[181],[123,3206,435],{"className":3207,"style":505},[186,504]," en la fila ",[123,3210,3212,3225],{"className":3211},[126],[123,3213,3215],{"className":3214},[130],[132,3216,3217],{"xmlns":134},[136,3218,3219,3223],{},[139,3220,3221],{},[430,3222,432],{},[166,3224,432],{"encoding":168},[123,3226,3228],{"className":3227,"ariaHidden":147},[173],[123,3229,3231,3234],{"className":3230},[177],[123,3232],{"className":3233,"style":572},[181],[123,3235,432],{"className":3236},[186,504]," del triángulo.",[395,3239,3241],{"id":3240},"la-probabilidad-entra-en-escena","La probabilidad entra en escena",[30,3243,2280,3244,3247],{},[42,3245,3246],{},"probabilidad"," de un suceso mide qué tan posible es que ocurra. Se calcula como:",[30,3249,3251],{"className":3250},[409],[123,3252,3254,3279],{"className":3253},[126],[123,3255,3257],{"className":3256},[130],[132,3258,3259],{"xmlns":134},[136,3260,3261,3276],{},[139,3262,3263,3266,3268],{},[430,3264,3265],{},"P",[145,3267,695],{},[426,3269,3270,3273],{},[1901,3271,3272],{},"casos favorables",[1901,3274,3275],{},"casos posibles",[166,3277,3278],{"encoding":168},"P = \\frac{\\text{casos favorables}}{\\text{casos posibles}}",[123,3280,3282,3302],{"className":3281,"ariaHidden":147},[173],[123,3283,3285,3289,3293,3296,3299],{"className":3284},[177],[123,3286],{"className":3287,"style":3288},[181],"height:0.6833em;",[123,3290,3265],{"className":3291,"style":3292},[186,504],"margin-right:0.1389em;",[123,3294],{"className":3295,"style":781},[194],[123,3297,695],{"className":3298},[785],[123,3300],{"className":3301,"style":781},[194],[123,3303,3305,3309],{"className":3304},[177],[123,3306],{"className":3307,"style":3308},[181],"height:1.3612em;vertical-align:-0.4811em;",[123,3310,3312,3315,3381],{"className":3311},[186],[123,3313],{"className":3314},[458,992],[123,3316,3318],{"className":3317},[426],[123,3319,3321,3372],{"className":3320},[472,473],[123,3322,3324,3369],{"className":3323},[477],[123,3325,3327,3344,3352],{"className":3326,"style":1005},[481],[123,3328,3329,3332],{"style":1008},[123,3330],{"className":3331,"style":1012},[489],[123,3333,3335],{"className":3334},[494,495,496,497],[123,3336,3338],{"className":3337},[186,497],[123,3339,3341],{"className":3340},[186,104,497],[123,3342,3275],{"className":3343},[186,497],[123,3345,3346,3349],{"style":1046},[123,3347],{"className":3348,"style":1012},[489],[123,3350],{"className":3351,"style":1054},[1053],[123,3353,3354,3357],{"style":1057},[123,3355],{"className":3356,"style":1012},[489],[123,3358,3360],{"className":3359},[494,495,496,497],[123,3361,3363],{"className":3362},[186,497],[123,3364,3366],{"className":3365},[186,104,497],[123,3367,3272],{"className":3368},[186,497],[123,3370,525],{"className":3371},[524],[123,3373,3375],{"className":3374},[477],[123,3376,3379],{"className":3377,"style":3378},[481],"height:0.4811em;",[123,3380],{},[123,3382],{"className":3383},[538,992],[30,3385,3386,3387,3415],{},"Si la moneda es justa, cada uno de los 8 resultados es igual de probable. Así que la probabilidad de obtener exactamente ",[123,3388,3390,3403],{"className":3389},[126],[123,3391,3393],{"className":3392},[130],[132,3394,3395],{"xmlns":134},[136,3396,3397,3401],{},[139,3398,3399],{},[430,3400,435],{},[166,3402,435],{"encoding":168},[123,3404,3406],{"className":3405,"ariaHidden":147},[173],[123,3407,3409,3412],{"className":3408},[177],[123,3410],{"className":3411,"style":602},[181],[123,3413,435],{"className":3414,"style":505},[186,504]," caras en 3 lanzamientos es:",[30,3417,3419],{"className":3418},[409],[123,3420,3422,3485],{"className":3421},[126],[123,3423,3425],{"className":3424},[130],[132,3426,3427],{"xmlns":134},[136,3428,3429,3482],{},[139,3430,3431,3433,3435,3437,3440,3442,3444,3464,3466],{},[430,3432,3265],{},[145,3434,424],{"stretchy":868},[430,3436,435],{},[1901,3438,3439],{}," caras",[145,3441,438],{"stretchy":868},[145,3443,695],{},[426,3445,3446,3458],{},[139,3447,3448,3450,3456],{},[145,3449,424],{"fence":147},[426,3451,3452,3454],{"linethickness":428},[142,3453,271],{},[430,3455,435],{},[145,3457,438],{"fence":147},[2521,3459,3460,3462],{},[142,3461,690],{},[142,3463,271],{},[145,3465,695],{},[426,3467,3468,3480],{},[139,3469,3470,3472,3478],{},[145,3471,424],{"fence":147},[426,3473,3474,3476],{"linethickness":428},[142,3475,271],{},[430,3477,435],{},[145,3479,438],{"fence":147},[142,3481,2428],{},[166,3483,3484],{"encoding":168},"P(k \\text{ caras}) = \\frac{\\binom{3}{k}}{2^3} = \\frac{\\binom{3}{k}}{8}",[123,3486,3488,3522,3713],{"className":3487,"ariaHidden":147},[173],[123,3489,3491,3495,3498,3501,3504,3510,3513,3516,3519],{"className":3490},[177],[123,3492],{"className":3493,"style":3494},[181],"height:1em;vertical-align:-0.25em;",[123,3496,3265],{"className":3497,"style":3292},[186,504],[123,3499,424],{"className":3500},[458],[123,3502,435],{"className":3503,"style":505},[186,504],[123,3505,3507],{"className":3506},[186,104],[123,3508,3439],{"className":3509},[186],[123,3511,438],{"className":3512},[538],[123,3514],{"className":3515,"style":781},[194],[123,3517,695],{"className":3518},[785],[123,3520],{"className":3521,"style":781},[194],[123,3523,3525,3529,3704,3707,3710],{"className":3524},[177],[123,3526],{"className":3527,"style":3528},[181],"height:1.855em;vertical-align:-0.345em;",[123,3530,3532,3535,3701],{"className":3531},[186],[123,3533],{"className":3534},[458,992],[123,3536,3538],{"className":3537},[426],[123,3539,3541,3693],{"className":3540},[472,473],[123,3542,3544,3690],{"className":3543},[477],[123,3545,3548,3592,3600],{"className":3546,"style":3547},[481],"height:1.51em;",[123,3549,3550,3553],{"style":1008},[123,3551],{"className":3552,"style":1012},[489],[123,3554,3556],{"className":3555},[494,495,496,497],[123,3557,3559],{"className":3558},[186,497],[123,3560,3562,3565],{"className":3561},[186,497],[123,3563,690],{"className":3564},[186,497],[123,3566,3568],{"className":3567},[2549],[123,3569,3571],{"className":3570},[472],[123,3572,3574],{"className":3573},[477],[123,3575,3578],{"className":3576,"style":3577},[481],"height:0.7463em;",[123,3579,3581,3585],{"style":3580},"top:-2.786em;margin-right:0.0714em;",[123,3582],{"className":3583,"style":3584},[489],"height:2.5em;",[123,3586,3589],{"className":3587},[494,3588,465,497],"reset-size3",[123,3590,271],{"className":3591},[186,497],[123,3593,3594,3597],{"style":1046},[123,3595],{"className":3596,"style":1012},[489],[123,3598],{"className":3599,"style":1054},[1053],[123,3601,3603,3606],{"style":3602},"top:-3.7125em;",[123,3604],{"className":3605,"style":1012},[489],[123,3607,3609],{"className":3608},[494,495,496,497],[123,3610,3612],{"className":3611},[186,497],[123,3613,3615,3626,3681],{"className":3614},[186,497],[123,3616,3620],{"className":3617,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],"size6","top:0.075em;",[123,3621,3623],{"className":3622},[464,465,497],[123,3624,424],{"className":3625},[497],[123,3627,3629],{"className":3628},[426],[123,3630,3632,3672],{"className":3631},[472,473],[123,3633,3635,3669],{"className":3634},[477],[123,3636,3639,3654],{"className":3637,"style":3638},[481],"height:0.9313em;",[123,3640,3642,3645],{"style":3641},"top:-2.156em;",[123,3643],{"className":3644,"style":3584},[489],[123,3646,3648],{"className":3647},[494,3588,465,497],[123,3649,3651],{"className":3650},[186,497],[123,3652,435],{"className":3653,"style":505},[186,504,497],[123,3655,3657,3660],{"style":3656},"top:-2.971em;",[123,3658],{"className":3659,"style":3584},[489],[123,3661,3663],{"className":3662},[494,3588,465,497],[123,3664,3666],{"className":3665},[186,497],[123,3667,271],{"className":3668},[186,497],[123,3670,525],{"className":3671},[524],[123,3673,3675],{"className":3674},[477],[123,3676,3679],{"className":3677,"style":3678},[481],"height:0.344em;",[123,3680],{},[123,3682,3684],{"className":3683,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,3685,3687],{"className":3686},[464,465,497],[123,3688,438],{"className":3689},[497],[123,3691,525],{"className":3692},[524],[123,3694,3696],{"className":3695},[477],[123,3697,3699],{"className":3698,"style":532},[481],[123,3700],{},[123,3702],{"className":3703},[538,992],[123,3705],{"className":3706,"style":781},[194],[123,3708,695],{"className":3709},[785],[123,3711],{"className":3712,"style":781},[194],[123,3714,3716,3719],{"className":3715},[177],[123,3717],{"className":3718,"style":3528},[181],[123,3720,3722,3725,3853],{"className":3721},[186],[123,3723],{"className":3724},[458,992],[123,3726,3728],{"className":3727},[426],[123,3729,3731,3845],{"className":3730},[472,473],[123,3732,3734,3842],{"className":3733},[477],[123,3735,3737,3751,3759],{"className":3736,"style":3547},[481],[123,3738,3739,3742],{"style":1008},[123,3740],{"className":3741,"style":1012},[489],[123,3743,3745],{"className":3744},[494,495,496,497],[123,3746,3748],{"className":3747},[186,497],[123,3749,2428],{"className":3750},[186,497],[123,3752,3753,3756],{"style":1046},[123,3754],{"className":3755,"style":1012},[489],[123,3757],{"className":3758,"style":1054},[1053],[123,3760,3761,3764],{"style":3602},[123,3762],{"className":3763,"style":1012},[489],[123,3765,3767],{"className":3766},[494,495,496,497],[123,3768,3770],{"className":3769},[186,497],[123,3771,3773,3782,3833],{"className":3772},[186,497],[123,3774,3776],{"className":3775,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,3777,3779],{"className":3778},[464,465,497],[123,3780,424],{"className":3781},[497],[123,3783,3785],{"className":3784},[426],[123,3786,3788,3825],{"className":3787},[472,473],[123,3789,3791,3822],{"className":3790},[477],[123,3792,3794,3808],{"className":3793,"style":3638},[481],[123,3795,3796,3799],{"style":3641},[123,3797],{"className":3798,"style":3584},[489],[123,3800,3802],{"className":3801},[494,3588,465,497],[123,3803,3805],{"className":3804},[186,497],[123,3806,435],{"className":3807,"style":505},[186,504,497],[123,3809,3810,3813],{"style":3656},[123,3811],{"className":3812,"style":3584},[489],[123,3814,3816],{"className":3815},[494,3588,465,497],[123,3817,3819],{"className":3818},[186,497],[123,3820,271],{"className":3821},[186,497],[123,3823,525],{"className":3824},[524],[123,3826,3828],{"className":3827},[477],[123,3829,3831],{"className":3830,"style":3678},[481],[123,3832],{},[123,3834,3836],{"className":3835,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,3837,3839],{"className":3838},[464,465,497],[123,3840,438],{"className":3841},[497],[123,3843,525],{"className":3844},[524],[123,3846,3848],{"className":3847},[477],[123,3849,3851],{"className":3850,"style":532},[481],[123,3852],{},[123,3854],{"className":3855},[538,992],[30,3857,3858],{},"Calculemos cada caso:",[2633,3860,3861,4004],{},[2636,3862,3863],{},[2639,3864,3865,3896,3998,4001],{},[2642,3866,3867,3895],{"align":2644},[123,3868,3870,3883],{"className":3869},[126],[123,3871,3873],{"className":3872},[130],[132,3874,3875],{"xmlns":134},[136,3876,3877,3881],{},[139,3878,3879],{},[430,3880,435],{},[166,3882,435],{"encoding":168},[123,3884,3886],{"className":3885,"ariaHidden":147},[173],[123,3887,3889,3892],{"className":3888},[177],[123,3890],{"className":3891,"style":602},[181],[123,3893,435],{"className":3894,"style":505},[186,504]," caras",[2642,3897,3898],{"align":2644},[123,3899,3901,3923],{"className":3900},[126],[123,3902,3904],{"className":3903},[130],[132,3905,3906],{"xmlns":134},[136,3907,3908,3920],{},[139,3909,3910,3912,3918],{},[145,3911,424],{"fence":147},[426,3913,3914,3916],{"linethickness":428},[142,3915,271],{},[430,3917,435],{},[145,3919,438],{"fence":147},[166,3921,3922],{"encoding":168},"\\binom{3}{k}",[123,3924,3926],{"className":3925,"ariaHidden":147},[173],[123,3927,3929,3932],{"className":3928},[177],[123,3930],{"className":3931,"style":710},[181],[123,3933,3935,3941,3992],{"className":3934},[186],[123,3936,3938],{"className":3937,"style":460},[458,459],[123,3939,424],{"className":3940},[464,465],[123,3942,3944],{"className":3943},[426],[123,3945,3947,3984],{"className":3946},[472,473],[123,3948,3950,3981],{"className":3949},[477],[123,3951,3953,3967],{"className":3952,"style":732},[481],[123,3954,3955,3958],{"style":485},[123,3956],{"className":3957,"style":490},[489],[123,3959,3961],{"className":3960},[494,495,496,497],[123,3962,3964],{"className":3963},[186,497],[123,3965,435],{"className":3966,"style":505},[186,504,497],[123,3968,3969,3972],{"style":508},[123,3970],{"className":3971,"style":490},[489],[123,3973,3975],{"className":3974},[494,495,496,497],[123,3976,3978],{"className":3977},[186,497],[123,3979,271],{"className":3980},[186,497],[123,3982,525],{"className":3983},[524],[123,3985,3987],{"className":3986},[477],[123,3988,3990],{"className":3989,"style":532},[481],[123,3991],{},[123,3993,3995],{"className":3994,"style":460},[538,459],[123,3996,438],{"className":3997},[464,465],[2642,3999,4000],{"align":2644},"Probabilidad",[2642,4002,4003],{"align":2644},"Porcentaje",[2736,4005,4006,4148,4290,4428],{},[2639,4007,4008,4010,4012,4145],{},[2741,4009,1349],{"align":2644},[2741,4011,80],{"align":2644},[2741,4013,4014],{"align":2644},[123,4015,4017,4040],{"className":4016},[126],[123,4018,4020],{"className":4019},[130],[132,4021,4022],{"xmlns":134},[136,4023,4024,4037],{},[139,4025,4026,4032,4034],{},[426,4027,4028,4030],{},[142,4029,80],{},[142,4031,2428],{},[145,4033,695],{},[142,4035,4036],{},"0,125",[166,4038,4039],{"encoding":168},"\\frac{1}{8} = 0{,}125",[123,4041,4043,4126],{"className":4042,"ariaHidden":147},[173],[123,4044,4046,4049,4117,4120,4123],{"className":4045},[177],[123,4047],{"className":4048,"style":1751},[181],[123,4050,4052,4055,4114],{"className":4051},[186],[123,4053],{"className":4054},[458,992],[123,4056,4058],{"className":4057},[426],[123,4059,4061,4106],{"className":4060},[472,473],[123,4062,4064,4103],{"className":4063},[477],[123,4065,4067,4081,4089],{"className":4066,"style":1678},[481],[123,4068,4069,4072],{"style":1008},[123,4070],{"className":4071,"style":1012},[489],[123,4073,4075],{"className":4074},[494,495,496,497],[123,4076,4078],{"className":4077},[186,497],[123,4079,2428],{"className":4080},[186,497],[123,4082,4083,4086],{"style":1046},[123,4084],{"className":4085,"style":1012},[489],[123,4087],{"className":4088,"style":1054},[1053],[123,4090,4091,4094],{"style":1057},[123,4092],{"className":4093,"style":1012},[489],[123,4095,4097],{"className":4096},[494,495,496,497],[123,4098,4100],{"className":4099},[186,497],[123,4101,80],{"className":4102},[186,497],[123,4104,525],{"className":4105},[524],[123,4107,4109],{"className":4108},[477],[123,4110,4112],{"className":4111,"style":532},[481],[123,4113],{},[123,4115],{"className":4116},[538,992],[123,4118],{"className":4119,"style":781},[194],[123,4121,695],{"className":4122},[785],[123,4124],{"className":4125,"style":781},[194],[123,4127,4129,4132,4135,4141],{"className":4128},[177],[123,4130],{"className":4131,"style":182},[181],[123,4133,1349],{"className":4134},[186],[123,4136,4138],{"className":4137},[186],[123,4139,148],{"className":4140},[190],[123,4142,4144],{"className":4143},[186],"125",[2741,4146,4147],{"align":2644},"12,5 %",[2639,4149,4150,4152,4154,4287],{},[2741,4151,80],{"align":2644},[2741,4153,271],{"align":2644},[2741,4155,4156],{"align":2644},[123,4157,4159,4182],{"className":4158},[126],[123,4160,4162],{"className":4161},[130],[132,4163,4164],{"xmlns":134},[136,4165,4166,4179],{},[139,4167,4168,4174,4176],{},[426,4169,4170,4172],{},[142,4171,271],{},[142,4173,2428],{},[145,4175,695],{},[142,4177,4178],{},"0,375",[166,4180,4181],{"encoding":168},"\\frac{3}{8} = 0{,}375",[123,4183,4185,4268],{"className":4184,"ariaHidden":147},[173],[123,4186,4188,4191,4259,4262,4265],{"className":4187},[177],[123,4189],{"className":4190,"style":1751},[181],[123,4192,4194,4197,4256],{"className":4193},[186],[123,4195],{"className":4196},[458,992],[123,4198,4200],{"className":4199},[426],[123,4201,4203,4248],{"className":4202},[472,473],[123,4204,4206,4245],{"className":4205},[477],[123,4207,4209,4223,4231],{"className":4208,"style":1678},[481],[123,4210,4211,4214],{"style":1008},[123,4212],{"className":4213,"style":1012},[489],[123,4215,4217],{"className":4216},[494,495,496,497],[123,4218,4220],{"className":4219},[186,497],[123,4221,2428],{"className":4222},[186,497],[123,4224,4225,4228],{"style":1046},[123,4226],{"className":4227,"style":1012},[489],[123,4229],{"className":4230,"style":1054},[1053],[123,4232,4233,4236],{"style":1057},[123,4234],{"className":4235,"style":1012},[489],[123,4237,4239],{"className":4238},[494,495,496,497],[123,4240,4242],{"className":4241},[186,497],[123,4243,271],{"className":4244},[186,497],[123,4246,525],{"className":4247},[524],[123,4249,4251],{"className":4250},[477],[123,4252,4254],{"className":4253,"style":532},[481],[123,4255],{},[123,4257],{"className":4258},[538,992],[123,4260],{"className":4261,"style":781},[194],[123,4263,695],{"className":4264},[785],[123,4266],{"className":4267,"style":781},[194],[123,4269,4271,4274,4277,4283],{"className":4270},[177],[123,4272],{"className":4273,"style":182},[181],[123,4275,1349],{"className":4276},[186],[123,4278,4280],{"className":4279},[186],[123,4281,148],{"className":4282},[190],[123,4284,4286],{"className":4285},[186],"375",[2741,4288,4289],{"align":2644},"37,5 %",[2639,4291,4292,4294,4296,4426],{},[2741,4293,690],{"align":2644},[2741,4295,271],{"align":2644},[2741,4297,4298],{"align":2644},[123,4299,4301,4322],{"className":4300},[126],[123,4302,4304],{"className":4303},[130],[132,4305,4306],{"xmlns":134},[136,4307,4308,4320],{},[139,4309,4310,4316,4318],{},[426,4311,4312,4314],{},[142,4313,271],{},[142,4315,2428],{},[145,4317,695],{},[142,4319,4178],{},[166,4321,4181],{"encoding":168},[123,4323,4325,4408],{"className":4324,"ariaHidden":147},[173],[123,4326,4328,4331,4399,4402,4405],{"className":4327},[177],[123,4329],{"className":4330,"style":1751},[181],[123,4332,4334,4337,4396],{"className":4333},[186],[123,4335],{"className":4336},[458,992],[123,4338,4340],{"className":4339},[426],[123,4341,4343,4388],{"className":4342},[472,473],[123,4344,4346,4385],{"className":4345},[477],[123,4347,4349,4363,4371],{"className":4348,"style":1678},[481],[123,4350,4351,4354],{"style":1008},[123,4352],{"className":4353,"style":1012},[489],[123,4355,4357],{"className":4356},[494,495,496,497],[123,4358,4360],{"className":4359},[186,497],[123,4361,2428],{"className":4362},[186,497],[123,4364,4365,4368],{"style":1046},[123,4366],{"className":4367,"style":1012},[489],[123,4369],{"className":4370,"style":1054},[1053],[123,4372,4373,4376],{"style":1057},[123,4374],{"className":4375,"style":1012},[489],[123,4377,4379],{"className":4378},[494,495,496,497],[123,4380,4382],{"className":4381},[186,497],[123,4383,271],{"className":4384},[186,497],[123,4386,525],{"className":4387},[524],[123,4389,4391],{"className":4390},[477],[123,4392,4394],{"className":4393,"style":532},[481],[123,4395],{},[123,4397],{"className":4398},[538,992],[123,4400],{"className":4401,"style":781},[194],[123,4403,695],{"className":4404},[785],[123,4406],{"className":4407,"style":781},[194],[123,4409,4411,4414,4417,4423],{"className":4410},[177],[123,4412],{"className":4413,"style":182},[181],[123,4415,1349],{"className":4416},[186],[123,4418,4420],{"className":4419},[186],[123,4421,148],{"className":4422},[190],[123,4424,4286],{"className":4425},[186],[2741,4427,4289],{"align":2644},[2639,4429,4430,4432,4434,4564],{},[2741,4431,271],{"align":2644},[2741,4433,80],{"align":2644},[2741,4435,4436],{"align":2644},[123,4437,4439,4460],{"className":4438},[126],[123,4440,4442],{"className":4441},[130],[132,4443,4444],{"xmlns":134},[136,4445,4446,4458],{},[139,4447,4448,4454,4456],{},[426,4449,4450,4452],{},[142,4451,80],{},[142,4453,2428],{},[145,4455,695],{},[142,4457,4036],{},[166,4459,4039],{"encoding":168},[123,4461,4463,4546],{"className":4462,"ariaHidden":147},[173],[123,4464,4466,4469,4537,4540,4543],{"className":4465},[177],[123,4467],{"className":4468,"style":1751},[181],[123,4470,4472,4475,4534],{"className":4471},[186],[123,4473],{"className":4474},[458,992],[123,4476,4478],{"className":4477},[426],[123,4479,4481,4526],{"className":4480},[472,473],[123,4482,4484,4523],{"className":4483},[477],[123,4485,4487,4501,4509],{"className":4486,"style":1678},[481],[123,4488,4489,4492],{"style":1008},[123,4490],{"className":4491,"style":1012},[489],[123,4493,4495],{"className":4494},[494,495,496,497],[123,4496,4498],{"className":4497},[186,497],[123,4499,2428],{"className":4500},[186,497],[123,4502,4503,4506],{"style":1046},[123,4504],{"className":4505,"style":1012},[489],[123,4507],{"className":4508,"style":1054},[1053],[123,4510,4511,4514],{"style":1057},[123,4512],{"className":4513,"style":1012},[489],[123,4515,4517],{"className":4516},[494,495,496,497],[123,4518,4520],{"className":4519},[186,497],[123,4521,80],{"className":4522},[186,497],[123,4524,525],{"className":4525},[524],[123,4527,4529],{"className":4528},[477],[123,4530,4532],{"className":4531,"style":532},[481],[123,4533],{},[123,4535],{"className":4536},[538,992],[123,4538],{"className":4539,"style":781},[194],[123,4541,695],{"className":4542},[785],[123,4544],{"className":4545,"style":781},[194],[123,4547,4549,4552,4555,4561],{"className":4548},[177],[123,4550],{"className":4551,"style":182},[181],[123,4553,1349],{"className":4554},[186],[123,4556,4558],{"className":4557},[186],[123,4559,148],{"className":4560},[190],[123,4562,4144],{"className":4563},[186],[2741,4565,4147],{"align":2644},[30,4567,4568,4569,4722,4723,4751],{},"Si sumamos todas las probabilidades: ",[123,4570,4572,4602],{"className":4571},[126],[123,4573,4575],{"className":4574},[130],[132,4576,4577],{"xmlns":134},[136,4578,4579,4599],{},[139,4580,4581,4583,4585,4587,4589,4591,4593,4595,4597],{},[142,4582,4036],{},[145,4584,274],{},[142,4586,4178],{},[145,4588,274],{},[142,4590,4178],{},[145,4592,274],{},[142,4594,4036],{},[145,4596,695],{},[142,4598,80],{},[166,4600,4601],{"encoding":168},"0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1",[123,4603,4605,4632,4659,4686,4713],{"className":4604,"ariaHidden":147},[173],[123,4606,4608,4611,4614,4620,4623,4626,4629],{"className":4607},[177],[123,4609],{"className":4610,"style":182},[181],[123,4612,1349],{"className":4613},[186],[123,4615,4617],{"className":4616},[186],[123,4618,148],{"className":4619},[190],[123,4621,4144],{"className":4622},[186],[123,4624],{"className":4625,"style":296},[194],[123,4627,274],{"className":4628},[300],[123,4630],{"className":4631,"style":296},[194],[123,4633,4635,4638,4641,4647,4650,4653,4656],{"className":4634},[177],[123,4636],{"className":4637,"style":182},[181],[123,4639,1349],{"className":4640},[186],[123,4642,4644],{"className":4643},[186],[123,4645,148],{"className":4646},[190],[123,4648,4286],{"className":4649},[186],[123,4651],{"className":4652,"style":296},[194],[123,4654,274],{"className":4655},[300],[123,4657],{"className":4658,"style":296},[194],[123,4660,4662,4665,4668,4674,4677,4680,4683],{"className":4661},[177],[123,4663],{"className":4664,"style":182},[181],[123,4666,1349],{"className":4667},[186],[123,4669,4671],{"className":4670},[186],[123,4672,148],{"className":4673},[190],[123,4675,4286],{"className":4676},[186],[123,4678],{"className":4679,"style":296},[194],[123,4681,274],{"className":4682},[300],[123,4684],{"className":4685,"style":296},[194],[123,4687,4689,4692,4695,4701,4704,4707,4710],{"className":4688},[177],[123,4690],{"className":4691,"style":182},[181],[123,4693,1349],{"className":4694},[186],[123,4696,4698],{"className":4697},[186],[123,4699,148],{"className":4700},[190],[123,4702,4144],{"className":4703},[186],[123,4705],{"className":4706,"style":781},[194],[123,4708,695],{"className":4709},[785],[123,4711],{"className":4712,"style":781},[194],[123,4714,4716,4719],{"className":4715},[177],[123,4717],{"className":4718,"style":252},[181],[123,4720,80],{"className":4721},[186],". La suma siempre da ",[123,4724,4726,4739],{"className":4725},[126],[123,4727,4729],{"className":4728},[130],[132,4730,4731],{"xmlns":134},[136,4732,4733,4737],{},[139,4734,4735],{},[142,4736,80],{},[166,4738,80],{"encoding":168},[123,4740,4742],{"className":4741,"ariaHidden":147},[173],[123,4743,4745,4748],{"className":4744},[177],[123,4746],{"className":4747,"style":252},[181],[123,4749,80],{"className":4750},[186],", porque entre todos los casos se cubre el 100 % de las posibilidades.",[30,4753,4754],{},"La fórmula general que acabamos de descubrir funciona para cualquier número de lanzamientos:",[30,4756,4758],{"className":4757},[409],[123,4759,4761,4811],{"className":4760},[126],[123,4762,4764],{"className":4763},[130],[132,4765,4766],{"xmlns":134},[136,4767,4768,4808],{},[139,4769,4770,4772,4774,4776,4779,4781,4784,4786,4788],{},[430,4771,3265],{},[145,4773,424],{"stretchy":868},[430,4775,435],{},[1901,4777,4778],{}," caras en ",[430,4780,432],{},[1901,4782,4783],{}," lanzamientos",[145,4785,438],{"stretchy":868},[145,4787,695],{},[426,4789,4790,4802],{},[139,4791,4792,4794,4800],{},[145,4793,424],{"fence":147},[426,4795,4796,4798],{"linethickness":428},[430,4797,432],{},[430,4799,435],{},[145,4801,438],{"fence":147},[2521,4803,4804,4806],{},[142,4805,690],{},[430,4807,432],{},[166,4809,4810],{"encoding":168},"P(k \\text{ caras en } n \\text{ lanzamientos}) = \\frac{\\binom{n}{k}}{2^n}",[123,4812,4814,4856],{"className":4813,"ariaHidden":147},[173],[123,4815,4817,4820,4823,4826,4829,4835,4838,4844,4847,4850,4853],{"className":4816},[177],[123,4818],{"className":4819,"style":3494},[181],[123,4821,3265],{"className":4822,"style":3292},[186,504],[123,4824,424],{"className":4825},[458],[123,4827,435],{"className":4828,"style":505},[186,504],[123,4830,4832],{"className":4831},[186,104],[123,4833,4778],{"className":4834},[186],[123,4836,432],{"className":4837},[186,504],[123,4839,4841],{"className":4840},[186,104],[123,4842,4783],{"className":4843},[186],[123,4845,438],{"className":4846},[538],[123,4848],{"className":4849,"style":781},[194],[123,4851,695],{"className":4852},[785],[123,4854],{"className":4855,"style":781},[194],[123,4857,4859,4862],{"className":4858},[177],[123,4860],{"className":4861,"style":3528},[181],[123,4863,4865,4868,5024],{"className":4864},[186],[123,4866],{"className":4867},[458,992],[123,4869,4871],{"className":4870},[426],[123,4872,4874,5016],{"className":4873},[472,473],[123,4875,4877,5013],{"className":4876},[477],[123,4878,4880,4921,4929],{"className":4879,"style":3547},[481],[123,4881,4882,4885],{"style":1008},[123,4883],{"className":4884,"style":1012},[489],[123,4886,4888],{"className":4887},[494,495,496,497],[123,4889,4891],{"className":4890},[186,497],[123,4892,4894,4897],{"className":4893},[186,497],[123,4895,690],{"className":4896},[186,497],[123,4898,4900],{"className":4899},[2549],[123,4901,4903],{"className":4902},[472],[123,4904,4906],{"className":4905},[477],[123,4907,4910],{"className":4908,"style":4909},[481],"height:0.5935em;",[123,4911,4912,4915],{"style":3580},[123,4913],{"className":4914,"style":3584},[489],[123,4916,4918],{"className":4917},[494,3588,465,497],[123,4919,432],{"className":4920},[186,504,497],[123,4922,4923,4926],{"style":1046},[123,4924],{"className":4925,"style":1012},[489],[123,4927],{"className":4928,"style":1054},[1053],[123,4930,4931,4934],{"style":3602},[123,4932],{"className":4933,"style":1012},[489],[123,4935,4937],{"className":4936},[494,495,496,497],[123,4938,4940],{"className":4939},[186,497],[123,4941,4943,4952,5004],{"className":4942},[186,497],[123,4944,4946],{"className":4945,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,4947,4949],{"className":4948},[464,465,497],[123,4950,424],{"className":4951},[497],[123,4953,4955],{"className":4954},[426],[123,4956,4958,4996],{"className":4957},[472,473],[123,4959,4961,4993],{"className":4960},[477],[123,4962,4965,4979],{"className":4963,"style":4964},[481],"height:0.7785em;",[123,4966,4967,4970],{"style":3641},[123,4968],{"className":4969,"style":3584},[489],[123,4971,4973],{"className":4972},[494,3588,465,497],[123,4974,4976],{"className":4975},[186,497],[123,4977,435],{"className":4978,"style":505},[186,504,497],[123,4980,4981,4984],{"style":3656},[123,4982],{"className":4983,"style":3584},[489],[123,4985,4987],{"className":4986},[494,3588,465,497],[123,4988,4990],{"className":4989},[186,497],[123,4991,432],{"className":4992},[186,504,497],[123,4994,525],{"className":4995},[524],[123,4997,4999],{"className":4998},[477],[123,5000,5002],{"className":5001,"style":3678},[481],[123,5003],{},[123,5005,5007],{"className":5006,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,5008,5010],{"className":5009},[464,465,497],[123,5011,438],{"className":5012},[497],[123,5014,525],{"className":5015},[524],[123,5017,5019],{"className":5018},[477],[123,5020,5022],{"className":5021,"style":532},[481],[123,5023],{},[123,5025],{"className":5026},[538,992],[34,5028,5030],{"id":5029},"caso-práctico-5-lanzamientos","Caso práctico: 5 lanzamientos",[30,5032,5033],{},"Subamos la apuesta. Con 5 lanzamientos, la fila correspondiente del triángulo es:",[30,5035,5037],{"className":5036},[409],[123,5038,5040,5075],{"className":5039},[126],[123,5041,5043],{"className":5042},[130],[132,5044,5045],{"xmlns":134},[136,5046,5047,5072],{},[139,5048,5049,5051,5054,5056,5058,5060,5062,5064,5066,5068,5070],{},[142,5050,80],{},[194,5052],{"width":5053},"1em",[142,5055,2761],{},[194,5057],{"width":5053},[142,5059,2769],{},[194,5061],{"width":5053},[142,5063,2769],{},[194,5065],{"width":5053},[142,5067,2761],{},[194,5069],{"width":5053},[142,5071,80],{},[166,5073,5074],{"encoding":168},"1 \\quad 5 \\quad 10 \\quad 10 \\quad 5 \\quad 1",[123,5076,5078],{"className":5077,"ariaHidden":147},[173],[123,5079,5081,5084,5087,5091,5094,5097,5100,5103,5106,5109,5112,5115],{"className":5080},[177],[123,5082],{"className":5083,"style":252},[181],[123,5085,80],{"className":5086},[186],[123,5088],{"className":5089,"style":5090},[194],"margin-right:1em;",[123,5092,2761],{"className":5093},[186],[123,5095],{"className":5096,"style":5090},[194],[123,5098,2769],{"className":5099},[186],[123,5101],{"className":5102,"style":5090},[194],[123,5104,2769],{"className":5105},[186],[123,5107],{"className":5108,"style":5090},[194],[123,5110,2761],{"className":5111},[186],[123,5113],{"className":5114,"style":5090},[194],[123,5116,80],{"className":5117},[186],[30,5119,5120,5121,827],{},"y el total de resultados posibles es ",[123,5122,5124,5146],{"className":5123},[126],[123,5125,5127],{"className":5126},[130],[132,5128,5129],{"xmlns":134},[136,5130,5131,5143],{},[139,5132,5133,5139,5141],{},[2521,5134,5135,5137],{},[142,5136,690],{},[142,5138,2761],{},[145,5140,695],{},[142,5142,2764],{},[166,5144,5145],{"encoding":168},"2^5 = 32",[123,5147,5149,5193],{"className":5148,"ariaHidden":147},[173],[123,5150,5152,5155,5184,5187,5190],{"className":5151},[177],[123,5153],{"className":5154,"style":2827},[181],[123,5156,5158,5161],{"className":5157},[186],[123,5159,690],{"className":5160},[186],[123,5162,5164],{"className":5163},[2549],[123,5165,5167],{"className":5166},[472],[123,5168,5170],{"className":5169},[477],[123,5171,5173],{"className":5172,"style":2827},[481],[123,5174,5175,5178],{"style":2561},[123,5176],{"className":5177,"style":490},[489],[123,5179,5181],{"className":5180},[494,495,496,497],[123,5182,2761],{"className":5183},[186,497],[123,5185],{"className":5186,"style":781},[194],[123,5188,695],{"className":5189},[785],[123,5191],{"className":5192,"style":781},[194],[123,5194,5196,5199],{"className":5195},[177],[123,5197],{"className":5198,"style":252},[181],[123,5200,2764],{"className":5201},[186],[30,5203,5204,5205,5208,5209,5333],{},"Veamos algunos ejemplos concretos. ¿De cuántas formas podemos obtener exactamente ",[42,5206,5207],{},"2 caras","? El triángulo nos dice ",[123,5210,5212,5240],{"className":5211},[126],[123,5213,5215],{"className":5214},[130],[132,5216,5217],{"xmlns":134},[136,5218,5219,5237],{},[139,5220,5221,5233,5235],{},[139,5222,5223,5225,5231],{},[145,5224,424],{"fence":147},[426,5226,5227,5229],{"linethickness":428},[142,5228,2761],{},[142,5230,690],{},[145,5232,438],{"fence":147},[145,5234,695],{},[142,5236,2769],{},[166,5238,5239],{"encoding":168},"\\binom{5}{2} = 10",[123,5241,5243,5324],{"className":5242,"ariaHidden":147},[173],[123,5244,5246,5249,5315,5318,5321],{"className":5245},[177],[123,5247],{"className":5248,"style":710},[181],[123,5250,5252,5258,5309],{"className":5251},[186],[123,5253,5255],{"className":5254,"style":460},[458,459],[123,5256,424],{"className":5257},[464,465],[123,5259,5261],{"className":5260},[426],[123,5262,5264,5301],{"className":5263},[472,473],[123,5265,5267,5298],{"className":5266},[477],[123,5268,5270,5284],{"className":5269,"style":732},[481],[123,5271,5272,5275],{"style":485},[123,5273],{"className":5274,"style":490},[489],[123,5276,5278],{"className":5277},[494,495,496,497],[123,5279,5281],{"className":5280},[186,497],[123,5282,690],{"className":5283},[186,497],[123,5285,5286,5289],{"style":508},[123,5287],{"className":5288,"style":490},[489],[123,5290,5292],{"className":5291},[494,495,496,497],[123,5293,5295],{"className":5294},[186,497],[123,5296,2761],{"className":5297},[186,497],[123,5299,525],{"className":5300},[524],[123,5302,5304],{"className":5303},[477],[123,5305,5307],{"className":5306,"style":532},[481],[123,5308],{},[123,5310,5312],{"className":5311,"style":460},[538,459],[123,5313,438],{"className":5314},[464,465],[123,5316],{"className":5317,"style":781},[194],[123,5319,695],{"className":5320},[785],[123,5322],{"className":5323,"style":781},[194],[123,5325,5327,5330],{"className":5326},[177],[123,5328],{"className":5329,"style":252},[181],[123,5331,2769],{"className":5332},[186],". Estas son las 10 combinaciones:",[99,5335,5338],{"className":5336,"code":5337,"language":104,"meta":105},[102],"OOXXX   OXOXX   OXXOX   OXXXO   XOOXX\nXOXOX   XOXXO   XXOOX   XXOXO   XXXOO\n",[107,5339,5337],{"__ignoreMap":105},[30,5341,5342,5343,5346,5347,5471],{},"¿Y exactamente ",[42,5344,5345],{},"3 caras","? También ",[123,5348,5350,5378],{"className":5349},[126],[123,5351,5353],{"className":5352},[130],[132,5354,5355],{"xmlns":134},[136,5356,5357,5375],{},[139,5358,5359,5371,5373],{},[139,5360,5361,5363,5369],{},[145,5362,424],{"fence":147},[426,5364,5365,5367],{"linethickness":428},[142,5366,2761],{},[142,5368,271],{},[145,5370,438],{"fence":147},[145,5372,695],{},[142,5374,2769],{},[166,5376,5377],{"encoding":168},"\\binom{5}{3} = 10",[123,5379,5381,5462],{"className":5380,"ariaHidden":147},[173],[123,5382,5384,5387,5453,5456,5459],{"className":5383},[177],[123,5385],{"className":5386,"style":710},[181],[123,5388,5390,5396,5447],{"className":5389},[186],[123,5391,5393],{"className":5392,"style":460},[458,459],[123,5394,424],{"className":5395},[464,465],[123,5397,5399],{"className":5398},[426],[123,5400,5402,5439],{"className":5401},[472,473],[123,5403,5405,5436],{"className":5404},[477],[123,5406,5408,5422],{"className":5407,"style":732},[481],[123,5409,5410,5413],{"style":485},[123,5411],{"className":5412,"style":490},[489],[123,5414,5416],{"className":5415},[494,495,496,497],[123,5417,5419],{"className":5418},[186,497],[123,5420,271],{"className":5421},[186,497],[123,5423,5424,5427],{"style":508},[123,5425],{"className":5426,"style":490},[489],[123,5428,5430],{"className":5429},[494,495,496,497],[123,5431,5433],{"className":5432},[186,497],[123,5434,2761],{"className":5435},[186,497],[123,5437,525],{"className":5438},[524],[123,5440,5442],{"className":5441},[477],[123,5443,5445],{"className":5444,"style":532},[481],[123,5446],{},[123,5448,5450],{"className":5449,"style":460},[538,459],[123,5451,438],{"className":5452},[464,465],[123,5454],{"className":5455,"style":781},[194],[123,5457,695],{"className":5458},[785],[123,5460],{"className":5461,"style":781},[194],[123,5463,5465,5468],{"className":5464},[177],[123,5466],{"className":5467,"style":252},[181],[123,5469,2769],{"className":5470},[186],". El triángulo es simétrico: hay tantas formas de obtener 2 caras (y 3 cruces) como 3 caras (y 2 cruces).",[30,5473,5474],{},"La tabla completa de probabilidades:",[2633,5476,5477,5617],{},[2636,5478,5479],{},[2639,5480,5481,5511,5613,5615],{},[2642,5482,5483,3895],{"align":2644},[123,5484,5486,5499],{"className":5485},[126],[123,5487,5489],{"className":5488},[130],[132,5490,5491],{"xmlns":134},[136,5492,5493,5497],{},[139,5494,5495],{},[430,5496,435],{},[166,5498,435],{"encoding":168},[123,5500,5502],{"className":5501,"ariaHidden":147},[173],[123,5503,5505,5508],{"className":5504},[177],[123,5506],{"className":5507,"style":602},[181],[123,5509,435],{"className":5510,"style":505},[186,504],[2642,5512,5513],{"align":2644},[123,5514,5516,5538],{"className":5515},[126],[123,5517,5519],{"className":5518},[130],[132,5520,5521],{"xmlns":134},[136,5522,5523,5535],{},[139,5524,5525,5527,5533],{},[145,5526,424],{"fence":147},[426,5528,5529,5531],{"linethickness":428},[142,5530,2761],{},[430,5532,435],{},[145,5534,438],{"fence":147},[166,5536,5537],{"encoding":168},"\\binom{5}{k}",[123,5539,5541],{"className":5540,"ariaHidden":147},[173],[123,5542,5544,5547],{"className":5543},[177],[123,5545],{"className":5546,"style":710},[181],[123,5548,5550,5556,5607],{"className":5549},[186],[123,5551,5553],{"className":5552,"style":460},[458,459],[123,5554,424],{"className":5555},[464,465],[123,5557,5559],{"className":5558},[426],[123,5560,5562,5599],{"className":5561},[472,473],[123,5563,5565,5596],{"className":5564},[477],[123,5566,5568,5582],{"className":5567,"style":732},[481],[123,5569,5570,5573],{"style":485},[123,5571],{"className":5572,"style":490},[489],[123,5574,5576],{"className":5575},[494,495,496,497],[123,5577,5579],{"className":5578},[186,497],[123,5580,435],{"className":5581,"style":505},[186,504,497],[123,5583,5584,5587],{"style":508},[123,5585],{"className":5586,"style":490},[489],[123,5588,5590],{"className":5589},[494,495,496,497],[123,5591,5593],{"className":5592},[186,497],[123,5594,2761],{"className":5595},[186,497],[123,5597,525],{"className":5598},[524],[123,5600,5602],{"className":5601},[477],[123,5603,5605],{"className":5604,"style":532},[481],[123,5606],{},[123,5608,5610],{"className":5609,"style":460},[538,459],[123,5611,438],{"className":5612},[464,465],[2642,5614,4000],{"align":2644},[2642,5616,4003],{"align":2644},[2736,5618,5619,5728,5837,5946,6053,6160],{},[2639,5620,5621,5623,5625,5725],{},[2741,5622,1349],{"align":2644},[2741,5624,80],{"align":2644},[2741,5626,5627],{"align":2644},[123,5628,5630,5648],{"className":5629},[126],[123,5631,5633],{"className":5632},[130],[132,5634,5635],{"xmlns":134},[136,5636,5637,5645],{},[139,5638,5639],{},[426,5640,5641,5643],{},[142,5642,80],{},[142,5644,2764],{},[166,5646,5647],{"encoding":168},"\\frac{1}{32}",[123,5649,5651],{"className":5650,"ariaHidden":147},[173],[123,5652,5654,5657],{"className":5653},[177],[123,5655],{"className":5656,"style":1751},[181],[123,5658,5660,5663,5722],{"className":5659},[186],[123,5661],{"className":5662},[458,992],[123,5664,5666],{"className":5665},[426],[123,5667,5669,5714],{"className":5668},[472,473],[123,5670,5672,5711],{"className":5671},[477],[123,5673,5675,5689,5697],{"className":5674,"style":1678},[481],[123,5676,5677,5680],{"style":1008},[123,5678],{"className":5679,"style":1012},[489],[123,5681,5683],{"className":5682},[494,495,496,497],[123,5684,5686],{"className":5685},[186,497],[123,5687,2764],{"className":5688},[186,497],[123,5690,5691,5694],{"style":1046},[123,5692],{"className":5693,"style":1012},[489],[123,5695],{"className":5696,"style":1054},[1053],[123,5698,5699,5702],{"style":1057},[123,5700],{"className":5701,"style":1012},[489],[123,5703,5705],{"className":5704},[494,495,496,497],[123,5706,5708],{"className":5707},[186,497],[123,5709,80],{"className":5710},[186,497],[123,5712,525],{"className":5713},[524],[123,5715,5717],{"className":5716},[477],[123,5718,5720],{"className":5719,"style":532},[481],[123,5721],{},[123,5723],{"className":5724},[538,992],[2741,5726,5727],{"align":2644},"3,1 %",[2639,5729,5730,5732,5734,5834],{},[2741,5731,80],{"align":2644},[2741,5733,2761],{"align":2644},[2741,5735,5736],{"align":2644},[123,5737,5739,5757],{"className":5738},[126],[123,5740,5742],{"className":5741},[130],[132,5743,5744],{"xmlns":134},[136,5745,5746,5754],{},[139,5747,5748],{},[426,5749,5750,5752],{},[142,5751,2761],{},[142,5753,2764],{},[166,5755,5756],{"encoding":168},"\\frac{5}{32}",[123,5758,5760],{"className":5759,"ariaHidden":147},[173],[123,5761,5763,5766],{"className":5762},[177],[123,5764],{"className":5765,"style":1751},[181],[123,5767,5769,5772,5831],{"className":5768},[186],[123,5770],{"className":5771},[458,992],[123,5773,5775],{"className":5774},[426],[123,5776,5778,5823],{"className":5777},[472,473],[123,5779,5781,5820],{"className":5780},[477],[123,5782,5784,5798,5806],{"className":5783,"style":1678},[481],[123,5785,5786,5789],{"style":1008},[123,5787],{"className":5788,"style":1012},[489],[123,5790,5792],{"className":5791},[494,495,496,497],[123,5793,5795],{"className":5794},[186,497],[123,5796,2764],{"className":5797},[186,497],[123,5799,5800,5803],{"style":1046},[123,5801],{"className":5802,"style":1012},[489],[123,5804],{"className":5805,"style":1054},[1053],[123,5807,5808,5811],{"style":1057},[123,5809],{"className":5810,"style":1012},[489],[123,5812,5814],{"className":5813},[494,495,496,497],[123,5815,5817],{"className":5816},[186,497],[123,5818,2761],{"className":5819},[186,497],[123,5821,525],{"className":5822},[524],[123,5824,5826],{"className":5825},[477],[123,5827,5829],{"className":5828,"style":532},[481],[123,5830],{},[123,5832],{"className":5833},[538,992],[2741,5835,5836],{"align":2644},"15,6 %",[2639,5838,5839,5841,5843,5943],{},[2741,5840,690],{"align":2644},[2741,5842,2769],{"align":2644},[2741,5844,5845],{"align":2644},[123,5846,5848,5866],{"className":5847},[126],[123,5849,5851],{"className":5850},[130],[132,5852,5853],{"xmlns":134},[136,5854,5855,5863],{},[139,5856,5857],{},[426,5858,5859,5861],{},[142,5860,2769],{},[142,5862,2764],{},[166,5864,5865],{"encoding":168},"\\frac{10}{32}",[123,5867,5869],{"className":5868,"ariaHidden":147},[173],[123,5870,5872,5875],{"className":5871},[177],[123,5873],{"className":5874,"style":1751},[181],[123,5876,5878,5881,5940],{"className":5877},[186],[123,5879],{"className":5880},[458,992],[123,5882,5884],{"className":5883},[426],[123,5885,5887,5932],{"className":5886},[472,473],[123,5888,5890,5929],{"className":5889},[477],[123,5891,5893,5907,5915],{"className":5892,"style":1678},[481],[123,5894,5895,5898],{"style":1008},[123,5896],{"className":5897,"style":1012},[489],[123,5899,5901],{"className":5900},[494,495,496,497],[123,5902,5904],{"className":5903},[186,497],[123,5905,2764],{"className":5906},[186,497],[123,5908,5909,5912],{"style":1046},[123,5910],{"className":5911,"style":1012},[489],[123,5913],{"className":5914,"style":1054},[1053],[123,5916,5917,5920],{"style":1057},[123,5918],{"className":5919,"style":1012},[489],[123,5921,5923],{"className":5922},[494,495,496,497],[123,5924,5926],{"className":5925},[186,497],[123,5927,2769],{"className":5928},[186,497],[123,5930,525],{"className":5931},[524],[123,5933,5935],{"className":5934},[477],[123,5936,5938],{"className":5937,"style":532},[481],[123,5939],{},[123,5941],{"className":5942},[538,992],[2741,5944,5945],{"align":2644},"31,3 %",[2639,5947,5948,5950,5952,6051],{},[2741,5949,271],{"align":2644},[2741,5951,2769],{"align":2644},[2741,5953,5954],{"align":2644},[123,5955,5957,5974],{"className":5956},[126],[123,5958,5960],{"className":5959},[130],[132,5961,5962],{"xmlns":134},[136,5963,5964,5972],{},[139,5965,5966],{},[426,5967,5968,5970],{},[142,5969,2769],{},[142,5971,2764],{},[166,5973,5865],{"encoding":168},[123,5975,5977],{"className":5976,"ariaHidden":147},[173],[123,5978,5980,5983],{"className":5979},[177],[123,5981],{"className":5982,"style":1751},[181],[123,5984,5986,5989,6048],{"className":5985},[186],[123,5987],{"className":5988},[458,992],[123,5990,5992],{"className":5991},[426],[123,5993,5995,6040],{"className":5994},[472,473],[123,5996,5998,6037],{"className":5997},[477],[123,5999,6001,6015,6023],{"className":6000,"style":1678},[481],[123,6002,6003,6006],{"style":1008},[123,6004],{"className":6005,"style":1012},[489],[123,6007,6009],{"className":6008},[494,495,496,497],[123,6010,6012],{"className":6011},[186,497],[123,6013,2764],{"className":6014},[186,497],[123,6016,6017,6020],{"style":1046},[123,6018],{"className":6019,"style":1012},[489],[123,6021],{"className":6022,"style":1054},[1053],[123,6024,6025,6028],{"style":1057},[123,6026],{"className":6027,"style":1012},[489],[123,6029,6031],{"className":6030},[494,495,496,497],[123,6032,6034],{"className":6033},[186,497],[123,6035,2769],{"className":6036},[186,497],[123,6038,525],{"className":6039},[524],[123,6041,6043],{"className":6042},[477],[123,6044,6046],{"className":6045,"style":532},[481],[123,6047],{},[123,6049],{"className":6050},[538,992],[2741,6052,5945],{"align":2644},[2639,6054,6055,6057,6059,6158],{},[2741,6056,151],{"align":2644},[2741,6058,2761],{"align":2644},[2741,6060,6061],{"align":2644},[123,6062,6064,6081],{"className":6063},[126],[123,6065,6067],{"className":6066},[130],[132,6068,6069],{"xmlns":134},[136,6070,6071,6079],{},[139,6072,6073],{},[426,6074,6075,6077],{},[142,6076,2761],{},[142,6078,2764],{},[166,6080,5756],{"encoding":168},[123,6082,6084],{"className":6083,"ariaHidden":147},[173],[123,6085,6087,6090],{"className":6086},[177],[123,6088],{"className":6089,"style":1751},[181],[123,6091,6093,6096,6155],{"className":6092},[186],[123,6094],{"className":6095},[458,992],[123,6097,6099],{"className":6098},[426],[123,6100,6102,6147],{"className":6101},[472,473],[123,6103,6105,6144],{"className":6104},[477],[123,6106,6108,6122,6130],{"className":6107,"style":1678},[481],[123,6109,6110,6113],{"style":1008},[123,6111],{"className":6112,"style":1012},[489],[123,6114,6116],{"className":6115},[494,495,496,497],[123,6117,6119],{"className":6118},[186,497],[123,6120,2764],{"className":6121},[186,497],[123,6123,6124,6127],{"style":1046},[123,6125],{"className":6126,"style":1012},[489],[123,6128],{"className":6129,"style":1054},[1053],[123,6131,6132,6135],{"style":1057},[123,6133],{"className":6134,"style":1012},[489],[123,6136,6138],{"className":6137},[494,495,496,497],[123,6139,6141],{"className":6140},[186,497],[123,6142,2761],{"className":6143},[186,497],[123,6145,525],{"className":6146},[524],[123,6148,6150],{"className":6149},[477],[123,6151,6153],{"className":6152,"style":532},[481],[123,6154],{},[123,6156],{"className":6157},[538,992],[2741,6159,5836],{"align":2644},[2639,6161,6162,6164,6166,6265],{},[2741,6163,2761],{"align":2644},[2741,6165,80],{"align":2644},[2741,6167,6168],{"align":2644},[123,6169,6171,6188],{"className":6170},[126],[123,6172,6174],{"className":6173},[130],[132,6175,6176],{"xmlns":134},[136,6177,6178,6186],{},[139,6179,6180],{},[426,6181,6182,6184],{},[142,6183,80],{},[142,6185,2764],{},[166,6187,5647],{"encoding":168},[123,6189,6191],{"className":6190,"ariaHidden":147},[173],[123,6192,6194,6197],{"className":6193},[177],[123,6195],{"className":6196,"style":1751},[181],[123,6198,6200,6203,6262],{"className":6199},[186],[123,6201],{"className":6202},[458,992],[123,6204,6206],{"className":6205},[426],[123,6207,6209,6254],{"className":6208},[472,473],[123,6210,6212,6251],{"className":6211},[477],[123,6213,6215,6229,6237],{"className":6214,"style":1678},[481],[123,6216,6217,6220],{"style":1008},[123,6218],{"className":6219,"style":1012},[489],[123,6221,6223],{"className":6222},[494,495,496,497],[123,6224,6226],{"className":6225},[186,497],[123,6227,2764],{"className":6228},[186,497],[123,6230,6231,6234],{"style":1046},[123,6232],{"className":6233,"style":1012},[489],[123,6235],{"className":6236,"style":1054},[1053],[123,6238,6239,6242],{"style":1057},[123,6240],{"className":6241,"style":1012},[489],[123,6243,6245],{"className":6244},[494,495,496,497],[123,6246,6248],{"className":6247},[186,497],[123,6249,80],{"className":6250},[186,497],[123,6252,525],{"className":6253},[524],[123,6255,6257],{"className":6256},[477],[123,6258,6260],{"className":6259,"style":532},[481],[123,6261],{},[123,6263],{"className":6264},[538,992],[2741,6266,5727],{"align":2644},[30,6268,6269],{},"Si lo dibujamos como un histograma, la distribución tiene una forma familiar:",[99,6271,6274],{"className":6272,"code":6273,"language":104,"meta":105},[102],"0 caras  ▌              3,1 %\n1 cara   ▌▌▌▌▌         15,6 %\n2 caras  ▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌    31,3 %\n3 caras  ▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌    31,3 %\n4 caras  ▌▌▌▌▌         15,6 %\n5 caras  ▌              3,1 %\n",[107,6275,6273],{"__ignoreMap":105},[30,6277,6278],{},"Observa tres cosas:",[72,6280,6281,6287,6293],{},[75,6282,6283,6286],{},[42,6284,6285],{},"Simetría."," La distribución es un espejo perfecto alrededor del centro. Obtener 0 caras es tan improbable como obtener 5; obtener 1 es tan probable como obtener 4.",[75,6288,6289,6292],{},[42,6290,6291],{},"Concentración central."," Los resultados más probables están en el centro (2 o 3 caras), mientras que los extremos (todo caras o todo cruces) son muy raros.",[75,6294,6295,6298],{},[42,6296,6297],{},"Forma de campana."," La silueta recuerda a la famosa curva de Gauss. Esto no es accidental: a medida que aumentamos el número de lanzamientos, la distribución se aproxima cada vez más a esa curva.",[30,6300,6301,6302,827],{},"Si te interesa explorar más la estadística detrás de los lanzamientos, lee ",[2780,6303,6306],{"href":6304,"rel":6305},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fblog\u002Fla-estadistica-inesperada-de-los-lanzamientos-de-moneda\u002F",[2784],"La estadística inesperada de los lanzamientos de moneda",[34,6308,6310],{"id":6309},"la-conexión-con-el-álgebra-el-binomio-de-newton","La conexión con el álgebra: el binomio de Newton",[30,6312,6313,6314,6317],{},"Hasta ahora hemos hablado de triángulos y monedas. Pero hay un tercer protagonista que conecta todo: el ",[42,6315,6316],{},"álgebra",". Concretamente, una expresión que quizá recuerdes del colegio:",[30,6319,6321],{"className":6320},[409],[123,6322,6324,6351],{"className":6323},[126],[123,6325,6327],{"className":6326},[130],[132,6328,6329],{"xmlns":134},[136,6330,6331,6348],{},[139,6332,6333,6335,6337,6339,6342],{},[145,6334,424],{"stretchy":868},[430,6336,2780],{},[145,6338,274],{},[430,6340,6341],{},"b",[2521,6343,6344,6346],{},[145,6345,438],{"stretchy":868},[430,6347,432],{},[166,6349,6350],{"encoding":168},"(a + b)^n",[123,6352,6354,6375],{"className":6353,"ariaHidden":147},[173],[123,6355,6357,6360,6363,6366,6369,6372],{"className":6356},[177],[123,6358],{"className":6359,"style":3494},[181],[123,6361,424],{"className":6362},[458],[123,6364,2780],{"className":6365},[186,504],[123,6367],{"className":6368,"style":296},[194],[123,6370,274],{"className":6371},[300],[123,6373],{"className":6374,"style":296},[194],[123,6376,6378,6381,6384],{"className":6377},[177],[123,6379],{"className":6380,"style":3494},[181],[123,6382,6341],{"className":6383},[186,504],[123,6385,6387,6390],{"className":6386},[538],[123,6388,438],{"className":6389},[538],[123,6391,6393],{"className":6392},[2549],[123,6394,6396],{"className":6395},[472],[123,6397,6399],{"className":6398},[477],[123,6400,6402],{"className":6401,"style":2539},[481],[123,6403,6404,6407],{"style":2561},[123,6405],{"className":6406,"style":490},[489],[123,6408,6410],{"className":6409},[494,495,496,497],[123,6411,432],{"className":6412},[186,504,497],[30,6414,6415],{},"Antes de desarrollarla, aclaremos un par de conceptos:",[6417,6418,6419,6541],"ul",{},[75,6420,6421,6422,6425,6426,827],{},"Un ",[42,6423,6424],{},"polinomio"," es una expresión matemática formada por sumas de términos con variables elevadas a distintas potencias. Por ejemplo: ",[123,6427,6429,6460],{"className":6428},[126],[123,6430,6432],{"className":6431},[130],[132,6433,6434],{"xmlns":134},[136,6435,6436,6457],{},[139,6437,6438,6440,6447,6449,6451,6453,6455],{},[142,6439,271],{},[2521,6441,6442,6445],{},[430,6443,6444],{},"x",[142,6446,690],{},[145,6448,274],{},[142,6450,690],{},[430,6452,6444],{},[145,6454,274],{},[142,6456,80],{},[166,6458,6459],{"encoding":168},"3x^2 + 2x + 1",[123,6461,6463,6511,6532],{"className":6462,"ariaHidden":147},[173],[123,6464,6466,6470,6473,6502,6505,6508],{"className":6465},[177],[123,6467],{"className":6468,"style":6469},[181],"height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;",[123,6471,271],{"className":6472},[186],[123,6474,6476,6479],{"className":6475},[186],[123,6477,6444],{"className":6478},[186,504],[123,6480,6482],{"className":6481},[2549],[123,6483,6485],{"className":6484},[472],[123,6486,6488],{"className":6487},[477],[123,6489,6491],{"className":6490,"style":2827},[481],[123,6492,6493,6496],{"style":2561},[123,6494],{"className":6495,"style":490},[489],[123,6497,6499],{"className":6498},[494,495,496,497],[123,6500,690],{"className":6501},[186,497],[123,6503],{"className":6504,"style":296},[194],[123,6506,274],{"className":6507},[300],[123,6509],{"className":6510,"style":296},[194],[123,6512,6514,6517,6520,6523,6526,6529],{"className":6513},[177],[123,6515],{"className":6516,"style":289},[181],[123,6518,690],{"className":6519},[186],[123,6521,6444],{"className":6522},[186,504],[123,6524],{"className":6525,"style":296},[194],[123,6527,274],{"className":6528},[300],[123,6530],{"className":6531,"style":296},[194],[123,6533,6535,6538],{"className":6534},[177],[123,6536],{"className":6537,"style":252},[181],[123,6539,80],{"className":6540},[186],[75,6542,6421,6543,6546,6547,6550,6551,827],{},[42,6544,6545],{},"binomio"," es un caso particular de polinomio: tiene exactamente ",[42,6548,6549],{},"dos"," términos. Por ejemplo: ",[123,6552,6554,6576],{"className":6553},[126],[123,6555,6557],{"className":6556},[130],[132,6558,6559],{"xmlns":134},[136,6560,6561,6573],{},[139,6562,6563,6565,6567,6569,6571],{},[145,6564,424],{"stretchy":868},[430,6566,2780],{},[145,6568,274],{},[430,6570,6341],{},[145,6572,438],{"stretchy":868},[166,6574,6575],{"encoding":168},"(a + b)",[123,6577,6579,6600],{"className":6578,"ariaHidden":147},[173],[123,6580,6582,6585,6588,6591,6594,6597],{"className":6581},[177],[123,6583],{"className":6584,"style":3494},[181],[123,6586,424],{"className":6587},[458],[123,6589,2780],{"className":6590},[186,504],[123,6592],{"className":6593,"style":296},[194],[123,6595,274],{"className":6596},[300],[123,6598],{"className":6599,"style":296},[194],[123,6601,6603,6606,6609],{"className":6602},[177],[123,6604],{"className":6605,"style":3494},[181],[123,6607,6341],{"className":6608},[186,504],[123,6610,438],{"className":6611},[538],[30,6613,6614,6615,6643],{},"Elevar un binomio a una potencia significa multiplicarlo por sí mismo ",[123,6616,6618,6631],{"className":6617},[126],[123,6619,6621],{"className":6620},[130],[132,6622,6623],{"xmlns":134},[136,6624,6625,6629],{},[139,6626,6627],{},[430,6628,432],{},[166,6630,432],{"encoding":168},[123,6632,6634],{"className":6633,"ariaHidden":147},[173],[123,6635,6637,6640],{"className":6636},[177],[123,6638],{"className":6639,"style":572},[181],[123,6641,432],{"className":6642},[186,504]," veces. Empecemos con los casos más sencillos:",[30,6645,6646],{},[42,6647,6648],{},"Potencia 2:",[30,6650,6652],{"className":6651},[409],[123,6653,6655,6705],{"className":6654},[126],[123,6656,6658],{"className":6657},[130],[132,6659,6660],{"xmlns":134},[136,6661,6662,6702],{},[139,6663,6664,6666,6668,6670,6672,6678,6680,6686,6688,6690,6692,6694,6696],{},[145,6665,424],{"stretchy":868},[430,6667,2780],{},[145,6669,274],{},[430,6671,6341],{},[2521,6673,6674,6676],{},[145,6675,438],{"stretchy":868},[142,6677,690],{},[145,6679,695],{},[2521,6681,6682,6684],{},[430,6683,2780],{},[142,6685,690],{},[145,6687,274],{},[142,6689,690],{},[430,6691,2780],{},[430,6693,6341],{},[145,6695,274],{},[2521,6697,6698,6700],{},[430,6699,6341],{},[142,6701,690],{},[166,6703,6704],{"encoding":168},"(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2",[123,6706,6708,6729,6777,6821,6844],{"className":6707,"ariaHidden":147},[173],[123,6709,6711,6714,6717,6720,6723,6726],{"className":6710},[177],[123,6712],{"className":6713,"style":3494},[181],[123,6715,424],{"className":6716},[458],[123,6718,2780],{"className":6719},[186,504],[123,6721],{"className":6722,"style":296},[194],[123,6724,274],{"className":6725},[300],[123,6727],{"className":6728,"style":296},[194],[123,6730,6732,6736,6739,6768,6771,6774],{"className":6731},[177],[123,6733],{"className":6734,"style":6735},[181],"height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;",[123,6737,6341],{"className":6738},[186,504],[123,6740,6742,6745],{"className":6741},[538],[123,6743,438],{"className":6744},[538],[123,6746,6748],{"className":6747},[2549],[123,6749,6751],{"className":6750},[472],[123,6752,6754],{"className":6753},[477],[123,6755,6757],{"className":6756,"style":2827},[481],[123,6758,6759,6762],{"style":2561},[123,6760],{"className":6761,"style":490},[489],[123,6763,6765],{"className":6764},[494,495,496,497],[123,6766,690],{"className":6767},[186,497],[123,6769],{"className":6770,"style":781},[194],[123,6772,695],{"className":6773},[785],[123,6775],{"className":6776,"style":781},[194],[123,6778,6780,6783,6812,6815,6818],{"className":6779},[177],[123,6781],{"className":6782,"style":6469},[181],[123,6784,6786,6789],{"className":6785},[186],[123,6787,2780],{"className":6788},[186,504],[123,6790,6792],{"className":6791},[2549],[123,6793,6795],{"className":6794},[472],[123,6796,6798],{"className":6797},[477],[123,6799,6801],{"className":6800,"style":2827},[481],[123,6802,6803,6806],{"style":2561},[123,6804],{"className":6805,"style":490},[489],[123,6807,6809],{"className":6808},[494,495,496,497],[123,6810,690],{"className":6811},[186,497],[123,6813],{"className":6814,"style":296},[194],[123,6816,274],{"className":6817},[300],[123,6819],{"className":6820,"style":296},[194],[123,6822,6824,6828,6831,6835,6838,6841],{"className":6823},[177],[123,6825],{"className":6826,"style":6827},[181],"height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;",[123,6829,690],{"className":6830},[186],[123,6832,6834],{"className":6833},[186,504],"ab",[123,6836],{"className":6837,"style":296},[194],[123,6839,274],{"className":6840},[300],[123,6842],{"className":6843,"style":296},[194],[123,6845,6847,6850],{"className":6846},[177],[123,6848],{"className":6849,"style":2827},[181],[123,6851,6853,6856],{"className":6852},[186],[123,6854,6341],{"className":6855},[186,504],[123,6857,6859],{"className":6858},[2549],[123,6860,6862],{"className":6861},[472],[123,6863,6865],{"className":6864},[477],[123,6866,6868],{"className":6867,"style":2827},[481],[123,6869,6870,6873],{"style":2561},[123,6871],{"className":6872,"style":490},[489],[123,6874,6876],{"className":6875},[494,495,496,497],[123,6877,690],{"className":6878},[186,497],[30,6880,6881,6882,6937],{},"Los coeficientes son ",[123,6883,6885,6907],{"className":6884},[126],[123,6886,6888],{"className":6887},[130],[132,6889,6890],{"xmlns":134},[136,6891,6892,6904],{},[139,6893,6894,6896,6898,6900,6902],{},[142,6895,80],{},[145,6897,148],{"separator":147},[142,6899,690],{},[145,6901,148],{"separator":147},[142,6903,80],{},[166,6905,6906],{"encoding":168},"1, 2, 1",[123,6908,6910],{"className":6909,"ariaHidden":147},[173],[123,6911,6913,6916,6919,6922,6925,6928,6931,6934],{"className":6912},[177],[123,6914],{"className":6915,"style":182},[181],[123,6917,80],{"className":6918},[186],[123,6920,148],{"className":6921},[190],[123,6923],{"className":6924,"style":195},[194],[123,6926,690],{"className":6927},[186],[123,6929,148],{"className":6930},[190],[123,6932],{"className":6933,"style":195},[194],[123,6935,80],{"className":6936},[186]," — la fila 2 del triángulo.",[30,6939,6940],{},[42,6941,6942],{},"Potencia 3:",[30,6944,6946],{"className":6945},[409],[123,6947,6949,7015],{"className":6948},[126],[123,6950,6952],{"className":6951},[130],[132,6953,6954],{"xmlns":134},[136,6955,6956,7012],{},[139,6957,6958,6960,6962,6964,6966,6972,6974,6980,6982,6984,6990,6992,6994,6996,6998,7004,7006],{},[145,6959,424],{"stretchy":868},[430,6961,2780],{},[145,6963,274],{},[430,6965,6341],{},[2521,6967,6968,6970],{},[145,6969,438],{"stretchy":868},[142,6971,271],{},[145,6973,695],{},[2521,6975,6976,6978],{},[430,6977,2780],{},[142,6979,271],{},[145,6981,274],{},[142,6983,271],{},[2521,6985,6986,6988],{},[430,6987,2780],{},[142,6989,690],{},[430,6991,6341],{},[145,6993,274],{},[142,6995,271],{},[430,6997,2780],{},[2521,6999,7000,7002],{},[430,7001,6341],{},[142,7003,690],{},[145,7005,274],{},[2521,7007,7008,7010],{},[430,7009,6341],{},[142,7011,271],{},[166,7013,7014],{"encoding":168},"(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3",[123,7016,7018,7039,7086,7130,7180,7230],{"className":7017,"ariaHidden":147},[173],[123,7019,7021,7024,7027,7030,7033,7036],{"className":7020},[177],[123,7022],{"className":7023,"style":3494},[181],[123,7025,424],{"className":7026},[458],[123,7028,2780],{"className":7029},[186,504],[123,7031],{"className":7032,"style":296},[194],[123,7034,274],{"className":7035},[300],[123,7037],{"className":7038,"style":296},[194],[123,7040,7042,7045,7048,7077,7080,7083],{"className":7041},[177],[123,7043],{"className":7044,"style":6735},[181],[123,7046,6341],{"className":7047},[186,504],[123,7049,7051,7054],{"className":7050},[538],[123,7052,438],{"className":7053},[538],[123,7055,7057],{"className":7056},[2549],[123,7058,7060],{"className":7059},[472],[123,7061,7063],{"className":7062},[477],[123,7064,7066],{"className":7065,"style":2827},[481],[123,7067,7068,7071],{"style":2561},[123,7069],{"className":7070,"style":490},[489],[123,7072,7074],{"className":7073},[494,495,496,497],[123,7075,271],{"className":7076},[186,497],[123,7078],{"className":7079,"style":781},[194],[123,7081,695],{"className":7082},[785],[123,7084],{"className":7085,"style":781},[194],[123,7087,7089,7092,7121,7124,7127],{"className":7088},[177],[123,7090],{"className":7091,"style":6469},[181],[123,7093,7095,7098],{"className":7094},[186],[123,7096,2780],{"className":7097},[186,504],[123,7099,7101],{"className":7100},[2549],[123,7102,7104],{"className":7103},[472],[123,7105,7107],{"className":7106},[477],[123,7108,7110],{"className":7109,"style":2827},[481],[123,7111,7112,7115],{"style":2561},[123,7113],{"className":7114,"style":490},[489],[123,7116,7118],{"className":7117},[494,495,496,497],[123,7119,271],{"className":7120},[186,497],[123,7122],{"className":7123,"style":296},[194],[123,7125,274],{"className":7126},[300],[123,7128],{"className":7129,"style":296},[194],[123,7131,7133,7136,7139,7168,7171,7174,7177],{"className":7132},[177],[123,7134],{"className":7135,"style":6469},[181],[123,7137,271],{"className":7138},[186],[123,7140,7142,7145],{"className":7141},[186],[123,7143,2780],{"className":7144},[186,504],[123,7146,7148],{"className":7147},[2549],[123,7149,7151],{"className":7150},[472],[123,7152,7154],{"className":7153},[477],[123,7155,7157],{"className":7156,"style":2827},[481],[123,7158,7159,7162],{"style":2561},[123,7160],{"className":7161,"style":490},[489],[123,7163,7165],{"className":7164},[494,495,496,497],[123,7166,690],{"className":7167},[186,497],[123,7169,6341],{"className":7170},[186,504],[123,7172],{"className":7173,"style":296},[194],[123,7175,274],{"className":7176},[300],[123,7178],{"className":7179,"style":296},[194],[123,7181,7183,7186,7189,7192,7221,7224,7227],{"className":7182},[177],[123,7184],{"className":7185,"style":6469},[181],[123,7187,271],{"className":7188},[186],[123,7190,2780],{"className":7191},[186,504],[123,7193,7195,7198],{"className":7194},[186],[123,7196,6341],{"className":7197},[186,504],[123,7199,7201],{"className":7200},[2549],[123,7202,7204],{"className":7203},[472],[123,7205,7207],{"className":7206},[477],[123,7208,7210],{"className":7209,"style":2827},[481],[123,7211,7212,7215],{"style":2561},[123,7213],{"className":7214,"style":490},[489],[123,7216,7218],{"className":7217},[494,495,496,497],[123,7219,690],{"className":7220},[186,497],[123,7222],{"className":7223,"style":296},[194],[123,7225,274],{"className":7226},[300],[123,7228],{"className":7229,"style":296},[194],[123,7231,7233,7236],{"className":7232},[177],[123,7234],{"className":7235,"style":2827},[181],[123,7237,7239,7242],{"className":7238},[186],[123,7240,6341],{"className":7241},[186,504],[123,7243,7245],{"className":7244},[2549],[123,7246,7248],{"className":7247},[472],[123,7249,7251],{"className":7250},[477],[123,7252,7254],{"className":7253,"style":2827},[481],[123,7255,7256,7259],{"style":2561},[123,7257],{"className":7258,"style":490},[489],[123,7260,7262],{"className":7261},[494,495,496,497],[123,7263,271],{"className":7264},[186,497],[30,7266,6881,7267,7334],{},[123,7268,7270,7295],{"className":7269},[126],[123,7271,7273],{"className":7272},[130],[132,7274,7275],{"xmlns":134},[136,7276,7277,7293],{},[139,7278,7279,7281,7283,7285,7287,7289,7291],{},[142,7280,80],{},[145,7282,148],{"separator":147},[142,7284,271],{},[145,7286,148],{"separator":147},[142,7288,271],{},[145,7290,148],{"separator":147},[142,7292,80],{},[166,7294,2974],{"encoding":168},[123,7296,7298],{"className":7297,"ariaHidden":147},[173],[123,7299,7301,7304,7307,7310,7313,7316,7319,7322,7325,7328,7331],{"className":7300},[177],[123,7302],{"className":7303,"style":182},[181],[123,7305,80],{"className":7306},[186],[123,7308,148],{"className":7309},[190],[123,7311],{"className":7312,"style":195},[194],[123,7314,271],{"className":7315},[186],[123,7317,148],{"className":7318},[190],[123,7320],{"className":7321,"style":195},[194],[123,7323,271],{"className":7324},[186],[123,7326,148],{"className":7327},[190],[123,7329],{"className":7330,"style":195},[194],[123,7332,80],{"className":7333},[186]," — la fila 3.",[30,7336,7337],{},[42,7338,7339],{},"Potencia 5:",[30,7341,7343],{"className":7342},[409],[123,7344,7346,7444],{"className":7345},[126],[123,7347,7349],{"className":7348},[130],[132,7350,7351],{"xmlns":134},[136,7352,7353,7441],{},[139,7354,7355,7357,7359,7361,7363,7369,7371,7377,7379,7381,7387,7389,7391,7393,7399,7405,7407,7409,7415,7421,7423,7425,7427,7433,7435],{},[145,7356,424],{"stretchy":868},[430,7358,2780],{},[145,7360,274],{},[430,7362,6341],{},[2521,7364,7365,7367],{},[145,7366,438],{"stretchy":868},[142,7368,2761],{},[145,7370,695],{},[2521,7372,7373,7375],{},[430,7374,2780],{},[142,7376,2761],{},[145,7378,274],{},[142,7380,2761],{},[2521,7382,7383,7385],{},[430,7384,2780],{},[142,7386,151],{},[430,7388,6341],{},[145,7390,274],{},[142,7392,2769],{},[2521,7394,7395,7397],{},[430,7396,2780],{},[142,7398,271],{},[2521,7400,7401,7403],{},[430,7402,6341],{},[142,7404,690],{},[145,7406,274],{},[142,7408,2769],{},[2521,7410,7411,7413],{},[430,7412,2780],{},[142,7414,690],{},[2521,7416,7417,7419],{},[430,7418,6341],{},[142,7420,271],{},[145,7422,274],{},[142,7424,2761],{},[430,7426,2780],{},[2521,7428,7429,7431],{},[430,7430,6341],{},[142,7432,151],{},[145,7434,274],{},[2521,7436,7437,7439],{},[430,7438,6341],{},[142,7440,2761],{},[166,7442,7443],{"encoding":168},"(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5",[123,7445,7447,7468,7515,7559,7609,7685,7761,7811],{"className":7446,"ariaHidden":147},[173],[123,7448,7450,7453,7456,7459,7462,7465],{"className":7449},[177],[123,7451],{"className":7452,"style":3494},[181],[123,7454,424],{"className":7455},[458],[123,7457,2780],{"className":7458},[186,504],[123,7460],{"className":7461,"style":296},[194],[123,7463,274],{"className":7464},[300],[123,7466],{"className":7467,"style":296},[194],[123,7469,7471,7474,7477,7506,7509,7512],{"className":7470},[177],[123,7472],{"className":7473,"style":6735},[181],[123,7475,6341],{"className":7476},[186,504],[123,7478,7480,7483],{"className":7479},[538],[123,7481,438],{"className":7482},[538],[123,7484,7486],{"className":7485},[2549],[123,7487,7489],{"className":7488},[472],[123,7490,7492],{"className":7491},[477],[123,7493,7495],{"className":7494,"style":2827},[481],[123,7496,7497,7500],{"style":2561},[123,7498],{"className":7499,"style":490},[489],[123,7501,7503],{"className":7502},[494,495,496,497],[123,7504,2761],{"className":7505},[186,497],[123,7507],{"className":7508,"style":781},[194],[123,7510,695],{"className":7511},[785],[123,7513],{"className":7514,"style":781},[194],[123,7516,7518,7521,7550,7553,7556],{"className":7517},[177],[123,7519],{"className":7520,"style":6469},[181],[123,7522,7524,7527],{"className":7523},[186],[123,7525,2780],{"className":7526},[186,504],[123,7528,7530],{"className":7529},[2549],[123,7531,7533],{"className":7532},[472],[123,7534,7536],{"className":7535},[477],[123,7537,7539],{"className":7538,"style":2827},[481],[123,7540,7541,7544],{"style":2561},[123,7542],{"className":7543,"style":490},[489],[123,7545,7547],{"className":7546},[494,495,496,497],[123,7548,2761],{"className":7549},[186,497],[123,7551],{"className":7552,"style":296},[194],[123,7554,274],{"className":7555},[300],[123,7557],{"className":7558,"style":296},[194],[123,7560,7562,7565,7568,7597,7600,7603,7606],{"className":7561},[177],[123,7563],{"className":7564,"style":6469},[181],[123,7566,2761],{"className":7567},[186],[123,7569,7571,7574],{"className":7570},[186],[123,7572,2780],{"className":7573},[186,504],[123,7575,7577],{"className":7576},[2549],[123,7578,7580],{"className":7579},[472],[123,7581,7583],{"className":7582},[477],[123,7584,7586],{"className":7585,"style":2827},[481],[123,7587,7588,7591],{"style":2561},[123,7589],{"className":7590,"style":490},[489],[123,7592,7594],{"className":7593},[494,495,496,497],[123,7595,151],{"className":7596},[186,497],[123,7598,6341],{"className":7599},[186,504],[123,7601],{"className":7602,"style":296},[194],[123,7604,274],{"className":7605},[300],[123,7607],{"className":7608,"style":296},[194],[123,7610,7612,7615,7618,7647,7676,7679,7682],{"className":7611},[177],[123,7613],{"className":7614,"style":6469},[181],[123,7616,2769],{"className":7617},[186],[123,7619,7621,7624],{"className":7620},[186],[123,7622,2780],{"className":7623},[186,504],[123,7625,7627],{"className":7626},[2549],[123,7628,7630],{"className":7629},[472],[123,7631,7633],{"className":7632},[477],[123,7634,7636],{"className":7635,"style":2827},[481],[123,7637,7638,7641],{"style":2561},[123,7639],{"className":7640,"style":490},[489],[123,7642,7644],{"className":7643},[494,495,496,497],[123,7645,271],{"className":7646},[186,497],[123,7648,7650,7653],{"className":7649},[186],[123,7651,6341],{"className":7652},[186,504],[123,7654,7656],{"className":7655},[2549],[123,7657,7659],{"className":7658},[472],[123,7660,7662],{"className":7661},[477],[123,7663,7665],{"className":7664,"style":2827},[481],[123,7666,7667,7670],{"style":2561},[123,7668],{"className":7669,"style":490},[489],[123,7671,7673],{"className":7672},[494,495,496,497],[123,7674,690],{"className":7675},[186,497],[123,7677],{"className":7678,"style":296},[194],[123,7680,274],{"className":7681},[300],[123,7683],{"className":7684,"style":296},[194],[123,7686,7688,7691,7694,7723,7752,7755,7758],{"className":7687},[177],[123,7689],{"className":7690,"style":6469},[181],[123,7692,2769],{"className":7693},[186],[123,7695,7697,7700],{"className":7696},[186],[123,7698,2780],{"className":7699},[186,504],[123,7701,7703],{"className":7702},[2549],[123,7704,7706],{"className":7705},[472],[123,7707,7709],{"className":7708},[477],[123,7710,7712],{"className":7711,"style":2827},[481],[123,7713,7714,7717],{"style":2561},[123,7715],{"className":7716,"style":490},[489],[123,7718,7720],{"className":7719},[494,495,496,497],[123,7721,690],{"className":7722},[186,497],[123,7724,7726,7729],{"className":7725},[186],[123,7727,6341],{"className":7728},[186,504],[123,7730,7732],{"className":7731},[2549],[123,7733,7735],{"className":7734},[472],[123,7736,7738],{"className":7737},[477],[123,7739,7741],{"className":7740,"style":2827},[481],[123,7742,7743,7746],{"style":2561},[123,7744],{"className":7745,"style":490},[489],[123,7747,7749],{"className":7748},[494,495,496,497],[123,7750,271],{"className":7751},[186,497],[123,7753],{"className":7754,"style":296},[194],[123,7756,274],{"className":7757},[300],[123,7759],{"className":7760,"style":296},[194],[123,7762,7764,7767,7770,7773,7802,7805,7808],{"className":7763},[177],[123,7765],{"className":7766,"style":6469},[181],[123,7768,2761],{"className":7769},[186],[123,7771,2780],{"className":7772},[186,504],[123,7774,7776,7779],{"className":7775},[186],[123,7777,6341],{"className":7778},[186,504],[123,7780,7782],{"className":7781},[2549],[123,7783,7785],{"className":7784},[472],[123,7786,7788],{"className":7787},[477],[123,7789,7791],{"className":7790,"style":2827},[481],[123,7792,7793,7796],{"style":2561},[123,7794],{"className":7795,"style":490},[489],[123,7797,7799],{"className":7798},[494,495,496,497],[123,7800,151],{"className":7801},[186,497],[123,7803],{"className":7804,"style":296},[194],[123,7806,274],{"className":7807},[300],[123,7809],{"className":7810,"style":296},[194],[123,7812,7814,7817],{"className":7813},[177],[123,7815],{"className":7816,"style":2827},[181],[123,7818,7820,7823],{"className":7819},[186],[123,7821,6341],{"className":7822},[186,504],[123,7824,7826],{"className":7825},[2549],[123,7827,7829],{"className":7828},[472],[123,7830,7832],{"className":7831},[477],[123,7833,7835],{"className":7834,"style":2827},[481],[123,7836,7837,7840],{"style":2561},[123,7838],{"className":7839,"style":490},[489],[123,7841,7843],{"className":7842},[494,495,496,497],[123,7844,2761],{"className":7845},[186,497],[30,7847,6881,7848,7942],{},[123,7849,7851,7885],{"className":7850},[126],[123,7852,7854],{"className":7853},[130],[132,7855,7856],{"xmlns":134},[136,7857,7858,7882],{},[139,7859,7860,7862,7864,7866,7868,7870,7872,7874,7876,7878,7880],{},[142,7861,80],{},[145,7863,148],{"separator":147},[142,7865,2761],{},[145,7867,148],{"separator":147},[142,7869,2769],{},[145,7871,148],{"separator":147},[142,7873,2769],{},[145,7875,148],{"separator":147},[142,7877,2761],{},[145,7879,148],{"separator":147},[142,7881,80],{},[166,7883,7884],{"encoding":168},"1, 5, 10, 10, 5, 1",[123,7886,7888],{"className":7887,"ariaHidden":147},[173],[123,7889,7891,7894,7897,7900,7903,7906,7909,7912,7915,7918,7921,7924,7927,7930,7933,7936,7939],{"className":7890},[177],[123,7892],{"className":7893,"style":182},[181],[123,7895,80],{"className":7896},[186],[123,7898,148],{"className":7899},[190],[123,7901],{"className":7902,"style":195},[194],[123,7904,2761],{"className":7905},[186],[123,7907,148],{"className":7908},[190],[123,7910],{"className":7911,"style":195},[194],[123,7913,2769],{"className":7914},[186],[123,7916,148],{"className":7917},[190],[123,7919],{"className":7920,"style":195},[194],[123,7922,2769],{"className":7923},[186],[123,7925,148],{"className":7926},[190],[123,7928],{"className":7929,"style":195},[194],[123,7931,2761],{"className":7932},[186],[123,7934,148],{"className":7935},[190],[123,7937],{"className":7938,"style":195},[194],[123,7940,80],{"className":7941},[186]," — la fila 5.",[30,7944,7945,7946,7949,7950,2504],{},"¿Ves el patrón? ",[42,7947,7948],{},"Las filas del triángulo de Tartaglia son exactamente los coeficientes del desarrollo del binomio."," Esta relación se formaliza con el ",[42,7951,7952],{},"teorema del binomio",[30,7954,7956],{"className":7955},[409],[123,7957,7959,8038],{"className":7958},[126],[123,7960,7962],{"className":7961},[130],[132,7963,7964],{"xmlns":134},[136,7965,7966,8035],{},[139,7967,7968,7970,7972,7974,7976,7982,7984,8000,8012,8015,8027,8029],{},[145,7969,424],{"stretchy":868},[430,7971,2780],{},[145,7973,274],{},[430,7975,6341],{},[2521,7977,7978,7980],{},[145,7979,438],{"stretchy":868},[430,7981,432],{},[145,7983,695],{},[7985,7986,7987,7990,7998],"msubsup",{},[145,7988,7989],{},"∑",[139,7991,7992,7994,7996],{},[430,7993,435],{},[145,7995,695],{},[142,7997,1349],{},[430,7999,432],{},[139,8001,8002,8004,8010],{},[145,8003,424],{"fence":147},[426,8005,8006,8008],{"linethickness":428},[430,8007,432],{},[430,8009,435],{},[145,8011,438],{"fence":147},[1901,8013,8014],{}," ",[2521,8016,8017,8019],{},[430,8018,2780],{},[139,8020,8021,8023,8025],{},[430,8022,432],{},[145,8024,885],{},[430,8026,435],{},[1901,8028,8014],{},[2521,8030,8031,8033],{},[430,8032,6341],{},[430,8034,435],{},[166,8036,8037],{"encoding":168},"(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} \\, a^{n-k} \\, b^k",[123,8039,8041,8062,8109],{"className":8040,"ariaHidden":147},[173],[123,8042,8044,8047,8050,8053,8056,8059],{"className":8043},[177],[123,8045],{"className":8046,"style":3494},[181],[123,8048,424],{"className":8049},[458],[123,8051,2780],{"className":8052},[186,504],[123,8054],{"className":8055,"style":296},[194],[123,8057,274],{"className":8058},[300],[123,8060],{"className":8061,"style":296},[194],[123,8063,8065,8068,8071,8100,8103,8106],{"className":8064},[177],[123,8066],{"className":8067,"style":3494},[181],[123,8069,6341],{"className":8070},[186,504],[123,8072,8074,8077],{"className":8073},[538],[123,8075,438],{"className":8076},[538],[123,8078,8080],{"className":8079},[2549],[123,8081,8083],{"className":8082},[472],[123,8084,8086],{"className":8085},[477],[123,8087,8089],{"className":8088,"style":2539},[481],[123,8090,8091,8094],{"style":2561},[123,8092],{"className":8093,"style":490},[489],[123,8095,8097],{"className":8096},[494,495,496,497],[123,8098,432],{"className":8099},[186,504,497],[123,8101],{"className":8102,"style":781},[194],[123,8104,695],{"className":8105},[785],[123,8107],{"className":8108,"style":781},[194],[123,8110,8112,8115,8186,8189,8255,8258,8297,8300],{"className":8111},[177],[123,8113],{"className":8114,"style":451},[181],[123,8116,8119,8125],{"className":8117},[8118],"mop",[123,8120,7989],{"className":8121,"style":8124},[8118,8122,8123],"op-symbol","small-op","position:relative;top:0em;",[123,8126,8128],{"className":8127},[2549],[123,8129,8131,8177],{"className":8130},[472,473],[123,8132,8134,8174],{"className":8133},[477],[123,8135,8138,8159],{"className":8136,"style":8137},[481],"height:0.8043em;",[123,8139,8141,8144],{"style":8140},"top:-2.4003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;",[123,8142],{"className":8143,"style":490},[489],[123,8145,8147],{"className":8146},[494,495,496,497],[123,8148,8150,8153,8156],{"className":8149},[186,497],[123,8151,435],{"className":8152,"style":505},[186,504,497],[123,8154,695],{"className":8155},[785,497],[123,8157,1349],{"className":8158},[186,497],[123,8160,8162,8165],{"style":8161},"top:-3.2029em;margin-right:0.05em;",[123,8163],{"className":8164,"style":490},[489],[123,8166,8168],{"className":8167},[494,495,496,497],[123,8169,8171],{"className":8170},[186,497],[123,8172,432],{"className":8173},[186,504,497],[123,8175,525],{"className":8176},[524],[123,8178,8180],{"className":8179},[477],[123,8181,8184],{"className":8182,"style":8183},[481],"height:0.2997em;",[123,8185],{},[123,8187],{"className":8188,"style":195},[194],[123,8190,8192,8198,8249],{"className":8191},[186],[123,8193,8195],{"className":8194,"style":460},[458,459],[123,8196,424],{"className":8197},[464,465],[123,8199,8201],{"className":8200},[426],[123,8202,8204,8241],{"className":8203},[472,473],[123,8205,8207,8238],{"className":8206},[477],[123,8208,8210,8224],{"className":8209,"style":482},[481],[123,8211,8212,8215],{"style":485},[123,8213],{"className":8214,"style":490},[489],[123,8216,8218],{"className":8217},[494,495,496,497],[123,8219,8221],{"className":8220},[186,497],[123,8222,435],{"className":8223,"style":505},[186,504,497],[123,8225,8226,8229],{"style":508},[123,8227],{"className":8228,"style":490},[489],[123,8230,8232],{"className":8231},[494,495,496,497],[123,8233,8235],{"className":8234},[186,497],[123,8236,432],{"className":8237},[186,504,497],[123,8239,525],{"className":8240},[524],[123,8242,8244],{"className":8243},[477],[123,8245,8247],{"className":8246,"style":532},[481],[123,8248],{},[123,8250,8252],{"className":8251,"style":460},[538,459],[123,8253,438],{"className":8254},[464,465],[123,8256],{"className":8257,"style":195},[194],[123,8259,8261,8264],{"className":8260},[186],[123,8262,2780],{"className":8263},[186,504],[123,8265,8267],{"className":8266},[2549],[123,8268,8270],{"className":8269},[472],[123,8271,8273],{"className":8272},[477],[123,8274,8277],{"className":8275,"style":8276},[481],"height:0.8491em;",[123,8278,8279,8282],{"style":2561},[123,8280],{"className":8281,"style":490},[489],[123,8283,8285],{"className":8284},[494,495,496,497],[123,8286,8288,8291,8294],{"className":8287},[186,497],[123,8289,432],{"className":8290},[186,504,497],[123,8292,885],{"className":8293},[300,497],[123,8295,435],{"className":8296,"style":505},[186,504,497],[123,8298],{"className":8299,"style":195},[194],[123,8301,8303,8306],{"className":8302},[186],[123,8304,6341],{"className":8305},[186,504],[123,8307,8309],{"className":8308},[2549],[123,8310,8312],{"className":8311},[472],[123,8313,8315],{"className":8314},[477],[123,8316,8318],{"className":8317,"style":8276},[481],[123,8319,8320,8323],{"style":2561},[123,8321],{"className":8322,"style":490},[489],[123,8324,8326],{"className":8325},[494,495,496,497],[123,8327,435],{"className":8328,"style":505},[186,504,497],[30,8330,8331,8332,8361,8362,1158,8413,8464,8465,8564],{},"El símbolo ",[123,8333,8335,8349],{"className":8334},[126],[123,8336,8338],{"className":8337},[130],[132,8339,8340],{"xmlns":134},[136,8341,8342,8346],{},[139,8343,8344],{},[145,8345,7989],{},[166,8347,8348],{"encoding":168},"\\sum",[123,8350,8352],{"className":8351,"ariaHidden":147},[173],[123,8353,8355,8358],{"className":8354},[177],[123,8356],{"className":8357,"style":3494},[181],[123,8359,7989],{"className":8360,"style":8124},[8118,8122,8123]," (sigma) simplemente significa «suma todos los términos desde ",[123,8363,8365,8383],{"className":8364},[126],[123,8366,8368],{"className":8367},[130],[132,8369,8370],{"xmlns":134},[136,8371,8372,8380],{},[139,8373,8374,8376,8378],{},[430,8375,435],{},[145,8377,695],{},[142,8379,1349],{},[166,8381,8382],{"encoding":168},"k = 0",[123,8384,8386,8404],{"className":8385,"ariaHidden":147},[173],[123,8387,8389,8392,8395,8398,8401],{"className":8388},[177],[123,8390],{"className":8391,"style":602},[181],[123,8393,435],{"className":8394,"style":505},[186,504],[123,8396],{"className":8397,"style":781},[194],[123,8399,695],{"className":8400},[785],[123,8402],{"className":8403,"style":781},[194],[123,8405,8407,8410],{"className":8406},[177],[123,8408],{"className":8409,"style":252},[181],[123,8411,1349],{"className":8412},[186],[123,8414,8416,8434],{"className":8415},[126],[123,8417,8419],{"className":8418},[130],[132,8420,8421],{"xmlns":134},[136,8422,8423,8431],{},[139,8424,8425,8427,8429],{},[430,8426,435],{},[145,8428,695],{},[430,8430,432],{},[166,8432,8433],{"encoding":168},"k = n",[123,8435,8437,8455],{"className":8436,"ariaHidden":147},[173],[123,8438,8440,8443,8446,8449,8452],{"className":8439},[177],[123,8441],{"className":8442,"style":602},[181],[123,8444,435],{"className":8445,"style":505},[186,504],[123,8447],{"className":8448,"style":781},[194],[123,8450,695],{"className":8451},[785],[123,8453],{"className":8454,"style":781},[194],[123,8456,8458,8461],{"className":8457},[177],[123,8459],{"className":8460,"style":572},[181],[123,8462,432],{"className":8463},[186,504],"». Cada término tiene un coeficiente binomial ",[123,8466,8468,8489],{"className":8467},[126],[123,8469,8471],{"className":8470},[130],[132,8472,8473],{"xmlns":134},[136,8474,8475,8487],{},[139,8476,8477,8479,8485],{},[145,8478,424],{"fence":147},[426,8480,8481,8483],{"linethickness":428},[430,8482,432],{},[430,8484,435],{},[145,8486,438],{"fence":147},[166,8488,441],{"encoding":168},[123,8490,8492],{"className":8491,"ariaHidden":147},[173],[123,8493,8495,8498],{"className":8494},[177],[123,8496],{"className":8497,"style":451},[181],[123,8499,8501,8507,8558],{"className":8500},[186],[123,8502,8504],{"className":8503,"style":460},[458,459],[123,8505,424],{"className":8506},[464,465],[123,8508,8510],{"className":8509},[426],[123,8511,8513,8550],{"className":8512},[472,473],[123,8514,8516,8547],{"className":8515},[477],[123,8517,8519,8533],{"className":8518,"style":482},[481],[123,8520,8521,8524],{"style":485},[123,8522],{"className":8523,"style":490},[489],[123,8525,8527],{"className":8526},[494,495,496,497],[123,8528,8530],{"className":8529},[186,497],[123,8531,435],{"className":8532,"style":505},[186,504,497],[123,8534,8535,8538],{"style":508},[123,8536],{"className":8537,"style":490},[489],[123,8539,8541],{"className":8540},[494,495,496,497],[123,8542,8544],{"className":8543},[186,497],[123,8545,432],{"className":8546},[186,504,497],[123,8548,525],{"className":8549},[524],[123,8551,8553],{"className":8552},[477],[123,8554,8556],{"className":8555,"style":532},[481],[123,8557],{},[123,8559,8561],{"className":8560,"style":460},[538,459],[123,8562,438],{"className":8563},[464,465]," que viene directamente del triángulo.",[395,8566,8568],{"id":8567},"el-puente-entre-álgebra-y-probabilidad","El puente entre álgebra y probabilidad",[30,8570,8571,8572,8600,8601,8603,8604,8600,8632,2504],{},"Ahora viene lo fascinante. Sustituye ",[123,8573,8575,8588],{"className":8574},[126],[123,8576,8578],{"className":8577},[130],[132,8579,8580],{"xmlns":134},[136,8581,8582,8586],{},[139,8583,8584],{},[430,8585,2780],{},[166,8587,2780],{"encoding":168},[123,8589,8591],{"className":8590,"ariaHidden":147},[173],[123,8592,8594,8597],{"className":8593},[177],[123,8595],{"className":8596,"style":572},[181],[123,8598,2780],{"className":8599},[186,504]," por la probabilidad de obtener ",[42,8602,2293],{}," y ",[123,8605,8607,8620],{"className":8606},[126],[123,8608,8610],{"className":8609},[130],[132,8611,8612],{"xmlns":134},[136,8613,8614,8618],{},[139,8615,8616],{},[430,8617,6341],{},[166,8619,6341],{"encoding":168},[123,8621,8623],{"className":8622,"ariaHidden":147},[173],[123,8624,8626,8629],{"className":8625},[177],[123,8627],{"className":8628,"style":602},[181],[123,8630,6341],{"className":8631},[186,504],[42,8633,2297],{},[30,8635,8637],{"className":8636},[409],[123,8638,8640,8696],{"className":8639},[126],[123,8641,8643],{"className":8642},[130],[132,8644,8645],{"xmlns":134},[136,8646,8647,8693],{},[139,8648,8649,8651,8653,8655,8657,8659,8661,8663,8669,8671,8673,8675,8677,8679,8681,8683,8685,8687],{},[430,8650,2780],{},[145,8652,695],{},[430,8654,3265],{},[145,8656,424],{"stretchy":868},[1901,8658,2293],{},[145,8660,438],{"stretchy":868},[145,8662,695],{},[426,8664,8665,8667],{},[142,8666,80],{},[142,8668,690],{},[145,8670,148],{"separator":147},[194,8672],{"width":5053},[430,8674,6341],{},[145,8676,695],{},[430,8678,3265],{},[145,8680,424],{"stretchy":868},[1901,8682,2297],{},[145,8684,438],{"stretchy":868},[145,8686,695],{},[426,8688,8689,8691],{},[142,8690,80],{},[142,8692,690],{},[166,8694,8695],{"encoding":168},"a = P(\\text{cara}) = \\frac{1}{2}, \\quad b = P(\\text{cruz}) = \\frac{1}{2}",[123,8697,8699,8717,8747,8842,8872],{"className":8698,"ariaHidden":147},[173],[123,8700,8702,8705,8708,8711,8714],{"className":8701},[177],[123,8703],{"className":8704,"style":572},[181],[123,8706,2780],{"className":8707},[186,504],[123,8709],{"className":8710,"style":781},[194],[123,8712,695],{"className":8713},[785],[123,8715],{"className":8716,"style":781},[194],[123,8718,8720,8723,8726,8729,8735,8738,8741,8744],{"className":8719},[177],[123,8721],{"className":8722,"style":3494},[181],[123,8724,3265],{"className":8725,"style":3292},[186,504],[123,8727,424],{"className":8728},[458],[123,8730,8732],{"className":8731},[186,104],[123,8733,2293],{"className":8734},[186],[123,8736,438],{"className":8737},[538],[123,8739],{"className":8740,"style":781},[194],[123,8742,695],{"className":8743},[785],[123,8745],{"className":8746,"style":781},[194],[123,8748,8750,8753,8821,8824,8827,8830,8833,8836,8839],{"className":8749},[177],[123,8751],{"className":8752,"style":1751},[181],[123,8754,8756,8759,8818],{"className":8755},[186],[123,8757],{"className":8758},[458,992],[123,8760,8762],{"className":8761},[426],[123,8763,8765,8810],{"className":8764},[472,473],[123,8766,8768,8807],{"className":8767},[477],[123,8769,8771,8785,8793],{"className":8770,"style":1678},[481],[123,8772,8773,8776],{"style":1008},[123,8774],{"className":8775,"style":1012},[489],[123,8777,8779],{"className":8778},[494,495,496,497],[123,8780,8782],{"className":8781},[186,497],[123,8783,690],{"className":8784},[186,497],[123,8786,8787,8790],{"style":1046},[123,8788],{"className":8789,"style":1012},[489],[123,8791],{"className":8792,"style":1054},[1053],[123,8794,8795,8798],{"style":1057},[123,8796],{"className":8797,"style":1012},[489],[123,8799,8801],{"className":8800},[494,495,496,497],[123,8802,8804],{"className":8803},[186,497],[123,8805,80],{"className":8806},[186,497],[123,8808,525],{"className":8809},[524],[123,8811,8813],{"className":8812},[477],[123,8814,8816],{"className":8815,"style":532},[481],[123,8817],{},[123,8819],{"className":8820},[538,992],[123,8822,148],{"className":8823},[190],[123,8825],{"className":8826,"style":5090},[194],[123,8828],{"className":8829,"style":195},[194],[123,8831,6341],{"className":8832},[186,504],[123,8834],{"className":8835,"style":781},[194],[123,8837,695],{"className":8838},[785],[123,8840],{"className":8841,"style":781},[194],[123,8843,8845,8848,8851,8854,8860,8863,8866,8869],{"className":8844},[177],[123,8846],{"className":8847,"style":3494},[181],[123,8849,3265],{"className":8850,"style":3292},[186,504],[123,8852,424],{"className":8853},[458],[123,8855,8857],{"className":8856},[186,104],[123,8858,2297],{"className":8859},[186],[123,8861,438],{"className":8862},[538],[123,8864],{"className":8865,"style":781},[194],[123,8867,695],{"className":8868},[785],[123,8870],{"className":8871,"style":781},[194],[123,8873,8875,8878],{"className":8874},[177],[123,8876],{"className":8877,"style":1751},[181],[123,8879,8881,8884,8943],{"className":8880},[186],[123,8882],{"className":8883},[458,992],[123,8885,8887],{"className":8886},[426],[123,8888,8890,8935],{"className":8889},[472,473],[123,8891,8893,8932],{"className":8892},[477],[123,8894,8896,8910,8918],{"className":8895,"style":1678},[481],[123,8897,8898,8901],{"style":1008},[123,8899],{"className":8900,"style":1012},[489],[123,8902,8904],{"className":8903},[494,495,496,497],[123,8905,8907],{"className":8906},[186,497],[123,8908,690],{"className":8909},[186,497],[123,8911,8912,8915],{"style":1046},[123,8913],{"className":8914,"style":1012},[489],[123,8916],{"className":8917,"style":1054},[1053],[123,8919,8920,8923],{"style":1057},[123,8921],{"className":8922,"style":1012},[489],[123,8924,8926],{"className":8925},[494,495,496,497],[123,8927,8929],{"className":8928},[186,497],[123,8930,80],{"className":8931},[186,497],[123,8933,525],{"className":8934},[524],[123,8936,8938],{"className":8937},[477],[123,8939,8941],{"className":8940,"style":532},[481],[123,8942],{},[123,8944],{"className":8945},[538,992],[30,8947,8948],{},"El binomio se convierte en:",[30,8950,8952],{"className":8951},[409],[123,8953,8955,9093],{"className":8954},[126],[123,8956,8958],{"className":8957},[130],[132,8959,8960],{"xmlns":134},[136,8961,8962,9090],{},[139,8963,8964,8988,8990,9004,9016,9038,9054,9056,9070],{},[2521,8965,8966,8986],{},[139,8967,8968,8970,8976,8978,8984],{},[145,8969,424],{"fence":147},[426,8971,8972,8974],{},[142,8973,80],{},[142,8975,690],{},[145,8977,274],{},[426,8979,8980,8982],{},[142,8981,80],{},[142,8983,690],{},[145,8985,438],{"fence":147},[430,8987,432],{},[145,8989,695],{},[7985,8991,8992,8994,9002],{},[145,8993,7989],{},[139,8995,8996,8998,9000],{},[430,8997,435],{},[145,8999,695],{},[142,9001,1349],{},[430,9003,432],{},[139,9005,9006,9008,9014],{},[145,9007,424],{"fence":147},[426,9009,9010,9012],{"linethickness":428},[430,9011,432],{},[430,9013,435],{},[145,9015,438],{"fence":147},[2521,9017,9018,9030],{},[139,9019,9020,9022,9028],{},[145,9021,424],{"fence":147},[426,9023,9024,9026],{},[142,9025,80],{},[142,9027,690],{},[145,9029,438],{"fence":147},[139,9031,9032,9034,9036],{},[430,9033,432],{},[145,9035,885],{},[430,9037,435],{},[2521,9039,9040,9052],{},[139,9041,9042,9044,9050],{},[145,9043,424],{"fence":147},[426,9045,9046,9048],{},[142,9047,80],{},[142,9049,690],{},[145,9051,438],{"fence":147},[430,9053,435],{},[145,9055,695],{},[7985,9057,9058,9060,9068],{},[145,9059,7989],{},[139,9061,9062,9064,9066],{},[430,9063,435],{},[145,9065,695],{},[142,9067,1349],{},[430,9069,432],{},[426,9071,9072,9084],{},[139,9073,9074,9076,9082],{},[145,9075,424],{"fence":147},[426,9077,9078,9080],{"linethickness":428},[430,9079,432],{},[430,9081,435],{},[145,9083,438],{"fence":147},[2521,9085,9086,9088],{},[142,9087,690],{},[430,9089,432],{},[166,9091,9092],{"encoding":168},"\\left(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}\\right)^n = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-k} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^k = \\sum_{k=0}^{n} \\frac{\\binom{n}{k}}{2^n}",[123,9094,9096,9300,9682],{"className":9095,"ariaHidden":147},[173],[123,9097,9099,9103,9291,9294,9297],{"className":9098},[177],[123,9100],{"className":9101,"style":9102},[181],"height:1.2543em;vertical-align:-0.35em;",[123,9104,9106,9266],{"className":9105},[2195],[123,9107,9109,9115,9183,9186,9189,9192,9260],{"className":9108},[2195],[123,9110,9112],{"className":9111,"style":460},[458,459],[123,9113,424],{"className":9114},[464,465],[123,9116,9118,9121,9180],{"className":9117},[186],[123,9119],{"className":9120},[458,992],[123,9122,9124],{"className":9123},[426],[123,9125,9127,9172],{"className":9126},[472,473],[123,9128,9130,9169],{"className":9129},[477],[123,9131,9133,9147,9155],{"className":9132,"style":1678},[481],[123,9134,9135,9138],{"style":1008},[123,9136],{"className":9137,"style":1012},[489],[123,9139,9141],{"className":9140},[494,495,496,497],[123,9142,9144],{"className":9143},[186,497],[123,9145,690],{"className":9146},[186,497],[123,9148,9149,9152],{"style":1046},[123,9150],{"className":9151,"style":1012},[489],[123,9153],{"className":9154,"style":1054},[1053],[123,9156,9157,9160],{"style":1057},[123,9158],{"className":9159,"style":1012},[489],[123,9161,9163],{"className":9162},[494,495,496,497],[123,9164,9166],{"className":9165},[186,497],[123,9167,80],{"className":9168},[186,497],[123,9170,525],{"className":9171},[524],[123,9173,9175],{"className":9174},[477],[123,9176,9178],{"className":9177,"style":532},[481],[123,9179],{},[123,9181],{"className":9182},[538,992],[123,9184],{"className":9185,"style":296},[194],[123,9187,274],{"className":9188},[300],[123,9190],{"className":9191,"style":296},[194],[123,9193,9195,9198,9257],{"className":9194},[186],[123,9196],{"className":9197},[458,992],[123,9199,9201],{"className":9200},[426],[123,9202,9204,9249],{"className":9203},[472,473],[123,9205,9207,9246],{"className":9206},[477],[123,9208,9210,9224,9232],{"className":9209,"style":1678},[481],[123,9211,9212,9215],{"style":1008},[123,9213],{"className":9214,"style":1012},[489],[123,9216,9218],{"className":9217},[494,495,496,497],[123,9219,9221],{"className":9220},[186,497],[123,9222,690],{"className":9223},[186,497],[123,9225,9226,9229],{"style":1046},[123,9227],{"className":9228,"style":1012},[489],[123,9230],{"className":9231,"style":1054},[1053],[123,9233,9234,9237],{"style":1057},[123,9235],{"className":9236,"style":1012},[489],[123,9238,9240],{"className":9239},[494,495,496,497],[123,9241,9243],{"className":9242},[186,497],[123,9244,80],{"className":9245},[186,497],[123,9247,525],{"className":9248},[524],[123,9250,9252],{"className":9251},[477],[123,9253,9255],{"className":9254,"style":532},[481],[123,9256],{},[123,9258],{"className":9259},[538,992],[123,9261,9263],{"className":9262,"style":460},[538,459],[123,9264,438],{"className":9265},[464,465],[123,9267,9269],{"className":9268},[2549],[123,9270,9272],{"className":9271},[472],[123,9273,9275],{"className":9274},[477],[123,9276,9279],{"className":9277,"style":9278},[481],"height:0.9043em;",[123,9280,9282,9285],{"style":9281},"top:-3.3029em;margin-right:0.05em;",[123,9283],{"className":9284,"style":490},[489],[123,9286,9288],{"className":9287},[494,495,496,497],[123,9289,432],{"className":9290},[186,504,497],[123,9292],{"className":9293,"style":781},[194],[123,9295,695],{"className":9296},[785],[123,9298],{"className":9299,"style":781},[194],[123,9301,9303,9307,9370,9373,9439,9442,9561,9564,9673,9676,9679],{"className":9302},[177],[123,9304],{"className":9305,"style":9306},[181],"height:1.439em;vertical-align:-0.35em;",[123,9308,9310,9313],{"className":9309},[8118],[123,9311,7989],{"className":9312,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,9314,9316],{"className":9315},[2549],[123,9317,9319,9362],{"className":9318},[472,473],[123,9320,9322,9359],{"className":9321},[477],[123,9323,9325,9345],{"className":9324,"style":8137},[481],[123,9326,9327,9330],{"style":8140},[123,9328],{"className":9329,"style":490},[489],[123,9331,9333],{"className":9332},[494,495,496,497],[123,9334,9336,9339,9342],{"className":9335},[186,497],[123,9337,435],{"className":9338,"style":505},[186,504,497],[123,9340,695],{"className":9341},[785,497],[123,9343,1349],{"className":9344},[186,497],[123,9346,9347,9350],{"style":8161},[123,9348],{"className":9349,"style":490},[489],[123,9351,9353],{"className":9352},[494,495,496,497],[123,9354,9356],{"className":9355},[186,497],[123,9357,432],{"className":9358},[186,504,497],[123,9360,525],{"className":9361},[524],[123,9363,9365],{"className":9364},[477],[123,9366,9368],{"className":9367,"style":8183},[481],[123,9369],{},[123,9371],{"className":9372,"style":195},[194],[123,9374,9376,9382,9433],{"className":9375},[186],[123,9377,9379],{"className":9378,"style":460},[458,459],[123,9380,424],{"className":9381},[464,465],[123,9383,9385],{"className":9384},[426],[123,9386,9388,9425],{"className":9387},[472,473],[123,9389,9391,9422],{"className":9390},[477],[123,9392,9394,9408],{"className":9393,"style":482},[481],[123,9395,9396,9399],{"style":485},[123,9397],{"className":9398,"style":490},[489],[123,9400,9402],{"className":9401},[494,495,496,497],[123,9403,9405],{"className":9404},[186,497],[123,9406,435],{"className":9407,"style":505},[186,504,497],[123,9409,9410,9413],{"style":508},[123,9411],{"className":9412,"style":490},[489],[123,9414,9416],{"className":9415},[494,495,496,497],[123,9417,9419],{"className":9418},[186,497],[123,9420,432],{"className":9421},[186,504,497],[123,9423,525],{"className":9424},[524],[123,9426,9428],{"className":9427},[477],[123,9429,9431],{"className":9430,"style":532},[481],[123,9432],{},[123,9434,9436],{"className":9435,"style":460},[538,459],[123,9437,438],{"className":9438},[464,465],[123,9440],{"className":9441,"style":195},[194],[123,9443,9445,9528],{"className":9444},[2195],[123,9446,9448,9454,9522],{"className":9447},[2195],[123,9449,9451],{"className":9450,"style":460},[458,459],[123,9452,424],{"className":9453},[464,465],[123,9455,9457,9460,9519],{"className":9456},[186],[123,9458],{"className":9459},[458,992],[123,9461,9463],{"className":9462},[426],[123,9464,9466,9511],{"className":9465},[472,473],[123,9467,9469,9508],{"className":9468},[477],[123,9470,9472,9486,9494],{"className":9471,"style":1678},[481],[123,9473,9474,9477],{"style":1008},[123,9475],{"className":9476,"style":1012},[489],[123,9478,9480],{"className":9479},[494,495,496,497],[123,9481,9483],{"className":9482},[186,497],[123,9484,690],{"className":9485},[186,497],[123,9487,9488,9491],{"style":1046},[123,9489],{"className":9490,"style":1012},[489],[123,9492],{"className":9493,"style":1054},[1053],[123,9495,9496,9499],{"style":1057},[123,9497],{"className":9498,"style":1012},[489],[123,9500,9502],{"className":9501},[494,495,496,497],[123,9503,9505],{"className":9504},[186,497],[123,9506,80],{"className":9507},[186,497],[123,9509,525],{"className":9510},[524],[123,9512,9514],{"className":9513},[477],[123,9515,9517],{"className":9516,"style":532},[481],[123,9518],{},[123,9520],{"className":9521},[538,992],[123,9523,9525],{"className":9524,"style":460},[538,459],[123,9526,438],{"className":9527},[464,465],[123,9529,9531],{"className":9530},[2549],[123,9532,9534],{"className":9533},[472],[123,9535,9537],{"className":9536},[477],[123,9538,9541],{"className":9539,"style":9540},[481],"height:1.089em;",[123,9542,9543,9546],{"style":9281},[123,9544],{"className":9545,"style":490},[489],[123,9547,9549],{"className":9548},[494,495,496,497],[123,9550,9552,9555,9558],{"className":9551},[186,497],[123,9553,432],{"className":9554},[186,504,497],[123,9556,885],{"className":9557},[300,497],[123,9559,435],{"className":9560,"style":505},[186,504,497],[123,9562],{"className":9563,"style":195},[194],[123,9565,9567,9650],{"className":9566},[2195],[123,9568,9570,9576,9644],{"className":9569},[2195],[123,9571,9573],{"className":9572,"style":460},[458,459],[123,9574,424],{"className":9575},[464,465],[123,9577,9579,9582,9641],{"className":9578},[186],[123,9580],{"className":9581},[458,992],[123,9583,9585],{"className":9584},[426],[123,9586,9588,9633],{"className":9587},[472,473],[123,9589,9591,9630],{"className":9590},[477],[123,9592,9594,9608,9616],{"className":9593,"style":1678},[481],[123,9595,9596,9599],{"style":1008},[123,9597],{"className":9598,"style":1012},[489],[123,9600,9602],{"className":9601},[494,495,496,497],[123,9603,9605],{"className":9604},[186,497],[123,9606,690],{"className":9607},[186,497],[123,9609,9610,9613],{"style":1046},[123,9611],{"className":9612,"style":1012},[489],[123,9614],{"className":9615,"style":1054},[1053],[123,9617,9618,9621],{"style":1057},[123,9619],{"className":9620,"style":1012},[489],[123,9622,9624],{"className":9623},[494,495,496,497],[123,9625,9627],{"className":9626},[186,497],[123,9628,80],{"className":9629},[186,497],[123,9631,525],{"className":9632},[524],[123,9634,9636],{"className":9635},[477],[123,9637,9639],{"className":9638,"style":532},[481],[123,9640],{},[123,9642],{"className":9643},[538,992],[123,9645,9647],{"className":9646,"style":460},[538,459],[123,9648,438],{"className":9649},[464,465],[123,9651,9653],{"className":9652},[2549],[123,9654,9656],{"className":9655},[472],[123,9657,9659],{"className":9658},[477],[123,9660,9662],{"className":9661,"style":9540},[481],[123,9663,9664,9667],{"style":9281},[123,9665],{"className":9666,"style":490},[489],[123,9668,9670],{"className":9669},[494,495,496,497],[123,9671,435],{"className":9672,"style":505},[186,504,497],[123,9674],{"className":9675,"style":781},[194],[123,9677,695],{"className":9678},[785],[123,9680],{"className":9681,"style":781},[194],[123,9683,9685,9688,9751,9754],{"className":9684},[177],[123,9686],{"className":9687,"style":3528},[181],[123,9689,9691,9694],{"className":9690},[8118],[123,9692,7989],{"className":9693,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,9695,9697],{"className":9696},[2549],[123,9698,9700,9743],{"className":9699},[472,473],[123,9701,9703,9740],{"className":9702},[477],[123,9704,9706,9726],{"className":9705,"style":8137},[481],[123,9707,9708,9711],{"style":8140},[123,9709],{"className":9710,"style":490},[489],[123,9712,9714],{"className":9713},[494,495,496,497],[123,9715,9717,9720,9723],{"className":9716},[186,497],[123,9718,435],{"className":9719,"style":505},[186,504,497],[123,9721,695],{"className":9722},[785,497],[123,9724,1349],{"className":9725},[186,497],[123,9727,9728,9731],{"style":8161},[123,9729],{"className":9730,"style":490},[489],[123,9732,9734],{"className":9733},[494,495,496,497],[123,9735,9737],{"className":9736},[186,497],[123,9738,432],{"className":9739},[186,504,497],[123,9741,525],{"className":9742},[524],[123,9744,9746],{"className":9745},[477],[123,9747,9749],{"className":9748,"style":8183},[481],[123,9750],{},[123,9752],{"className":9753,"style":195},[194],[123,9755,9757,9760,9914],{"className":9756},[186],[123,9758],{"className":9759},[458,992],[123,9761,9763],{"className":9762},[426],[123,9764,9766,9906],{"className":9765},[472,473],[123,9767,9769,9903],{"className":9768},[477],[123,9770,9772,9812,9820],{"className":9771,"style":3547},[481],[123,9773,9774,9777],{"style":1008},[123,9775],{"className":9776,"style":1012},[489],[123,9778,9780],{"className":9779},[494,495,496,497],[123,9781,9783],{"className":9782},[186,497],[123,9784,9786,9789],{"className":9785},[186,497],[123,9787,690],{"className":9788},[186,497],[123,9790,9792],{"className":9791},[2549],[123,9793,9795],{"className":9794},[472],[123,9796,9798],{"className":9797},[477],[123,9799,9801],{"className":9800,"style":4909},[481],[123,9802,9803,9806],{"style":3580},[123,9804],{"className":9805,"style":3584},[489],[123,9807,9809],{"className":9808},[494,3588,465,497],[123,9810,432],{"className":9811},[186,504,497],[123,9813,9814,9817],{"style":1046},[123,9815],{"className":9816,"style":1012},[489],[123,9818],{"className":9819,"style":1054},[1053],[123,9821,9822,9825],{"style":3602},[123,9823],{"className":9824,"style":1012},[489],[123,9826,9828],{"className":9827},[494,495,496,497],[123,9829,9831],{"className":9830},[186,497],[123,9832,9834,9843,9894],{"className":9833},[186,497],[123,9835,9837],{"className":9836,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,9838,9840],{"className":9839},[464,465,497],[123,9841,424],{"className":9842},[497],[123,9844,9846],{"className":9845},[426],[123,9847,9849,9886],{"className":9848},[472,473],[123,9850,9852,9883],{"className":9851},[477],[123,9853,9855,9869],{"className":9854,"style":4964},[481],[123,9856,9857,9860],{"style":3641},[123,9858],{"className":9859,"style":3584},[489],[123,9861,9863],{"className":9862},[494,3588,465,497],[123,9864,9866],{"className":9865},[186,497],[123,9867,435],{"className":9868,"style":505},[186,504,497],[123,9870,9871,9874],{"style":3656},[123,9872],{"className":9873,"style":3584},[489],[123,9875,9877],{"className":9876},[494,3588,465,497],[123,9878,9880],{"className":9879},[186,497],[123,9881,432],{"className":9882},[186,504,497],[123,9884,525],{"className":9885},[524],[123,9887,9889],{"className":9888},[477],[123,9890,9892],{"className":9891,"style":3678},[481],[123,9893],{},[123,9895,9897],{"className":9896,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,9898,9900],{"className":9899},[464,465,497],[123,9901,438],{"className":9902},[497],[123,9904,525],{"className":9905},[524],[123,9907,9909],{"className":9908},[477],[123,9910,9912],{"className":9911,"style":532},[481],[123,9913],{},[123,9915],{"className":9916},[538,992],[30,9918,9919,9920,10001,10002,10209,10210,10238,10239,10291],{},"El lado izquierdo es simplemente ",[123,9921,9923,9945],{"className":9922},[126],[123,9924,9926],{"className":9925},[130],[132,9927,9928],{"xmlns":134},[136,9929,9930,9942],{},[139,9931,9932,9938,9940],{},[2521,9933,9934,9936],{},[142,9935,80],{},[430,9937,432],{},[145,9939,695],{},[142,9941,80],{},[166,9943,9944],{"encoding":168},"1^n = 1",[123,9946,9948,9992],{"className":9947,"ariaHidden":147},[173],[123,9949,9951,9954,9983,9986,9989],{"className":9950},[177],[123,9952],{"className":9953,"style":2539},[181],[123,9955,9957,9960],{"className":9956},[186],[123,9958,80],{"className":9959},[186],[123,9961,9963],{"className":9962},[2549],[123,9964,9966],{"className":9965},[472],[123,9967,9969],{"className":9968},[477],[123,9970,9972],{"className":9971,"style":2539},[481],[123,9973,9974,9977],{"style":2561},[123,9975],{"className":9976,"style":490},[489],[123,9978,9980],{"className":9979},[494,495,496,497],[123,9981,432],{"className":9982},[186,504,497],[123,9984],{"className":9985,"style":781},[194],[123,9987,695],{"className":9988},[785],[123,9990],{"className":9991,"style":781},[194],[123,9993,9995,9998],{"className":9994},[177],[123,9996],{"className":9997,"style":252},[181],[123,9999,80],{"className":10000},[186],": la certeza total. El lado derecho es la suma de todas las probabilidades individuales. Y cada término ",[123,10003,10005,10037],{"className":10004},[126],[123,10006,10008],{"className":10007},[130],[132,10009,10010],{"xmlns":134},[136,10011,10012,10034],{},[139,10013,10014],{},[426,10015,10016,10028],{},[139,10017,10018,10020,10026],{},[145,10019,424],{"fence":147},[426,10021,10022,10024],{"linethickness":428},[430,10023,432],{},[430,10025,435],{},[145,10027,438],{"fence":147},[2521,10029,10030,10032],{},[142,10031,690],{},[430,10033,432],{},[166,10035,10036],{"encoding":168},"\\frac{\\binom{n}{k}}{2^n}",[123,10038,10040],{"className":10039,"ariaHidden":147},[173],[123,10041,10043,10046],{"className":10042},[177],[123,10044],{"className":10045,"style":3528},[181],[123,10047,10049,10052,10206],{"className":10048},[186],[123,10050],{"className":10051},[458,992],[123,10053,10055],{"className":10054},[426],[123,10056,10058,10198],{"className":10057},[472,473],[123,10059,10061,10195],{"className":10060},[477],[123,10062,10064,10104,10112],{"className":10063,"style":3547},[481],[123,10065,10066,10069],{"style":1008},[123,10067],{"className":10068,"style":1012},[489],[123,10070,10072],{"className":10071},[494,495,496,497],[123,10073,10075],{"className":10074},[186,497],[123,10076,10078,10081],{"className":10077},[186,497],[123,10079,690],{"className":10080},[186,497],[123,10082,10084],{"className":10083},[2549],[123,10085,10087],{"className":10086},[472],[123,10088,10090],{"className":10089},[477],[123,10091,10093],{"className":10092,"style":4909},[481],[123,10094,10095,10098],{"style":3580},[123,10096],{"className":10097,"style":3584},[489],[123,10099,10101],{"className":10100},[494,3588,465,497],[123,10102,432],{"className":10103},[186,504,497],[123,10105,10106,10109],{"style":1046},[123,10107],{"className":10108,"style":1012},[489],[123,10110],{"className":10111,"style":1054},[1053],[123,10113,10114,10117],{"style":3602},[123,10115],{"className":10116,"style":1012},[489],[123,10118,10120],{"className":10119},[494,495,496,497],[123,10121,10123],{"className":10122},[186,497],[123,10124,10126,10135,10186],{"className":10125},[186,497],[123,10127,10129],{"className":10128,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,10130,10132],{"className":10131},[464,465,497],[123,10133,424],{"className":10134},[497],[123,10136,10138],{"className":10137},[426],[123,10139,10141,10178],{"className":10140},[472,473],[123,10142,10144,10175],{"className":10143},[477],[123,10145,10147,10161],{"className":10146,"style":4964},[481],[123,10148,10149,10152],{"style":3641},[123,10150],{"className":10151,"style":3584},[489],[123,10153,10155],{"className":10154},[494,3588,465,497],[123,10156,10158],{"className":10157},[186,497],[123,10159,435],{"className":10160,"style":505},[186,504,497],[123,10162,10163,10166],{"style":3656},[123,10164],{"className":10165,"style":3584},[489],[123,10167,10169],{"className":10168},[494,3588,465,497],[123,10170,10172],{"className":10171},[186,497],[123,10173,432],{"className":10174},[186,504,497],[123,10176,525],{"className":10177},[524],[123,10179,10181],{"className":10180},[477],[123,10182,10184],{"className":10183,"style":3678},[481],[123,10185],{},[123,10187,10189],{"className":10188,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,10190,10192],{"className":10191},[464,465,497],[123,10193,438],{"className":10194},[497],[123,10196,525],{"className":10197},[524],[123,10199,10201],{"className":10200},[477],[123,10202,10204],{"className":10203,"style":532},[481],[123,10205],{},[123,10207],{"className":10208},[538,992]," es exactamente la probabilidad de obtener ",[123,10211,10213,10226],{"className":10212},[126],[123,10214,10216],{"className":10215},[130],[132,10217,10218],{"xmlns":134},[136,10219,10220,10224],{},[139,10221,10222],{},[430,10223,435],{},[166,10225,435],{"encoding":168},[123,10227,10229],{"className":10228,"ariaHidden":147},[173],[123,10230,10232,10235],{"className":10231},[177],[123,10233],{"className":10234,"style":602},[181],[123,10236,435],{"className":10237,"style":505},[186,504]," cruces (o equivalentemente, ",[123,10240,10242,10260],{"className":10241},[126],[123,10243,10245],{"className":10244},[130],[132,10246,10247],{"xmlns":134},[136,10248,10249,10257],{},[139,10250,10251,10253,10255],{},[430,10252,432],{},[145,10254,885],{},[430,10256,435],{},[166,10258,10259],{"encoding":168},"n - k",[123,10261,10263,10282],{"className":10262,"ariaHidden":147},[173],[123,10264,10266,10270,10273,10276,10279],{"className":10265},[177],[123,10267],{"className":10268,"style":10269},[181],"height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;",[123,10271,432],{"className":10272},[186,504],[123,10274],{"className":10275,"style":296},[194],[123,10277,885],{"className":10278},[300],[123,10280],{"className":10281,"style":296},[194],[123,10283,10285,10288],{"className":10284},[177],[123,10286],{"className":10287,"style":602},[181],[123,10289,435],{"className":10290,"style":505},[186,504]," caras).",[30,10293,10294],{},"Comprobémoslo con 5 lanzamientos:",[30,10296,10298],{"className":10297},[409],[123,10299,10301,10353],{"className":10300},[126],[123,10302,10304],{"className":10303},[130],[132,10305,10306],{"xmlns":134},[136,10307,10308,10350],{},[139,10309,10310,10338,10340,10346,10348],{},[426,10311,10312,10336],{},[139,10313,10314,10316,10318,10320,10322,10324,10326,10328,10330,10332,10334],{},[142,10315,80],{},[145,10317,274],{},[142,10319,2761],{},[145,10321,274],{},[142,10323,2769],{},[145,10325,274],{},[142,10327,2769],{},[145,10329,274],{},[142,10331,2761],{},[145,10333,274],{},[142,10335,80],{},[142,10337,2764],{},[145,10339,695],{},[426,10341,10342,10344],{},[142,10343,2764],{},[142,10345,2764],{},[145,10347,695],{},[142,10349,80],{},[166,10351,10352],{"encoding":168},"\\frac{1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1}{32} = \\frac{32}{32} = 1",[123,10354,10356,10469,10552],{"className":10355,"ariaHidden":147},[173],[123,10357,10359,10362,10460,10463,10466],{"className":10358},[177],[123,10360],{"className":10361,"style":1751},[181],[123,10363,10365,10368,10457],{"className":10364},[186],[123,10366],{"className":10367},[458,992],[123,10369,10371],{"className":10370},[426],[123,10372,10374,10449],{"className":10373},[472,473],[123,10375,10377,10446],{"className":10376},[477],[123,10378,10380,10394,10402],{"className":10379,"style":1678},[481],[123,10381,10382,10385],{"style":1008},[123,10383],{"className":10384,"style":1012},[489],[123,10386,10388],{"className":10387},[494,495,496,497],[123,10389,10391],{"className":10390},[186,497],[123,10392,2764],{"className":10393},[186,497],[123,10395,10396,10399],{"style":1046},[123,10397],{"className":10398,"style":1012},[489],[123,10400],{"className":10401,"style":1054},[1053],[123,10403,10404,10407],{"style":1057},[123,10405],{"className":10406,"style":1012},[489],[123,10408,10410],{"className":10409},[494,495,496,497],[123,10411,10413,10416,10419,10422,10425,10428,10431,10434,10437,10440,10443],{"className":10412},[186,497],[123,10414,80],{"className":10415},[186,497],[123,10417,274],{"className":10418},[300,497],[123,10420,2761],{"className":10421},[186,497],[123,10423,274],{"className":10424},[300,497],[123,10426,2769],{"className":10427},[186,497],[123,10429,274],{"className":10430},[300,497],[123,10432,2769],{"className":10433},[186,497],[123,10435,274],{"className":10436},[300,497],[123,10438,2761],{"className":10439},[186,497],[123,10441,274],{"className":10442},[300,497],[123,10444,80],{"className":10445},[186,497],[123,10447,525],{"className":10448},[524],[123,10450,10452],{"className":10451},[477],[123,10453,10455],{"className":10454,"style":532},[481],[123,10456],{},[123,10458],{"className":10459},[538,992],[123,10461],{"className":10462,"style":781},[194],[123,10464,695],{"className":10465},[785],[123,10467],{"className":10468,"style":781},[194],[123,10470,10472,10475,10543,10546,10549],{"className":10471},[177],[123,10473],{"className":10474,"style":1751},[181],[123,10476,10478,10481,10540],{"className":10477},[186],[123,10479],{"className":10480},[458,992],[123,10482,10484],{"className":10483},[426],[123,10485,10487,10532],{"className":10486},[472,473],[123,10488,10490,10529],{"className":10489},[477],[123,10491,10493,10507,10515],{"className":10492,"style":1678},[481],[123,10494,10495,10498],{"style":1008},[123,10496],{"className":10497,"style":1012},[489],[123,10499,10501],{"className":10500},[494,495,496,497],[123,10502,10504],{"className":10503},[186,497],[123,10505,2764],{"className":10506},[186,497],[123,10508,10509,10512],{"style":1046},[123,10510],{"className":10511,"style":1012},[489],[123,10513],{"className":10514,"style":1054},[1053],[123,10516,10517,10520],{"style":1057},[123,10518],{"className":10519,"style":1012},[489],[123,10521,10523],{"className":10522},[494,495,496,497],[123,10524,10526],{"className":10525},[186,497],[123,10527,2764],{"className":10528},[186,497],[123,10530,525],{"className":10531},[524],[123,10533,10535],{"className":10534},[477],[123,10536,10538],{"className":10537,"style":532},[481],[123,10539],{},[123,10541],{"className":10542},[538,992],[123,10544],{"className":10545,"style":781},[194],[123,10547,695],{"className":10548},[785],[123,10550],{"className":10551,"style":781},[194],[123,10553,10555,10558],{"className":10554},[177],[123,10556],{"className":10557,"style":252},[181],[123,10559,80],{"className":10560},[186],[30,10562,10563,10564,10623,10624,10652,10653,827],{},"Cada número de la fila 5 dividido entre ",[123,10565,10567,10585],{"className":10566},[126],[123,10568,10570],{"className":10569},[130],[132,10571,10572],{"xmlns":134},[136,10573,10574,10582],{},[139,10575,10576],{},[2521,10577,10578,10580],{},[142,10579,690],{},[142,10581,2761],{},[166,10583,10584],{"encoding":168},"2^5",[123,10586,10588],{"className":10587,"ariaHidden":147},[173],[123,10589,10591,10594],{"className":10590},[177],[123,10592],{"className":10593,"style":2827},[181],[123,10595,10597,10600],{"className":10596},[186],[123,10598,690],{"className":10599},[186],[123,10601,10603],{"className":10602},[2549],[123,10604,10606],{"className":10605},[472],[123,10607,10609],{"className":10608},[477],[123,10610,10612],{"className":10611,"style":2827},[481],[123,10613,10614,10617],{"style":2561},[123,10615],{"className":10616,"style":490},[489],[123,10618,10620],{"className":10619},[494,495,496,497],[123,10621,2761],{"className":10622},[186,497]," nos da una probabilidad, y juntas suman ",[123,10625,10627,10640],{"className":10626},[126],[123,10628,10630],{"className":10629},[130],[132,10631,10632],{"xmlns":134},[136,10633,10634,10638],{},[139,10635,10636],{},[142,10637,80],{},[166,10639,80],{"encoding":168},[123,10641,10643],{"className":10642,"ariaHidden":147},[173],[123,10644,10646,10649],{"className":10645},[177],[123,10647],{"className":10648,"style":252},[181],[123,10650,80],{"className":10651},[186],". El triángulo, la combinatoria y el álgebra no son tres historias diferentes: ",[42,10654,10655],{},"son la misma historia contada en tres idiomas distintos",[34,10657,10659],{"id":10658},"reflexión-final","Reflexión final",[30,10661,10662],{},"A lo largo de este artículo hemos seguido un hilo que conecta tres ramas de las matemáticas a través de un mismo objeto:",[6417,10664,10665,10670,10676],{},[75,10666,2280,10667,10669],{},[42,10668,2283],{}," nos dice de cuántas maneras podemos organizar un conjunto de resultados.",[75,10671,10672,10673,10675],{},"El ",[42,10674,6316],{}," del binomio genera esas mismas cantidades como coeficientes de una fórmula.",[75,10677,2280,10678,10680],{},[42,10679,3246],{}," transforma esos números en predicciones sobre el mundo real.",[30,10682,10683,10684,10686],{},"Y el ",[42,10685,44],{}," es el objeto que las une: una tabla visual donde las tres disciplinas convergen.",[30,10688,10689],{},"Lo que empezó como un triángulo para contar combinaciones — dibujado en la China del siglo XI — termina describiendo con precisión qué ocurre cuando lanzas una moneda cinco, diez o cien veces. Una estructura abstracta creada para contar objetos resulta describir fenómenos aleatorios.",[30,10691,10692],{},"Y hay un detalle más que merece una mención. A medida que el número de lanzamientos crece, las filas del triángulo se parecen cada vez más a la curva de campana de Gauss: esa curva ubicua que aparece en la estadística, la física y la biología. La razón profunda de esa convergencia es otra historia, pero el hecho de que un triángulo de sumas tan simples contenga la semilla de una de las distribuciones más importantes de la ciencia es, como mínimo, hermoso.",[30,10694,10695],{},"Las matemáticas tienen esa cualidad única: revelan patrones ocultos detrás de lo que parece puro azar. Un lanzamiento de moneda es impredecible. Diez lanzamientos ya insinúan un orden. Cien lanzamientos dibujan una curva casi perfecta. Y todo estaba escrito, desde el principio, en un triángulo.",[30,10697,10698,10699,10704],{},"Pon la teoría en práctica: ",[2780,10700,10703],{"href":10701,"rel":10702},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fplay\u002F",[2784],"lanza una moneda online"," y observa la combinatoria en acción.",{"title":105,"searchDepth":10706,"depth":10706,"links":10707},2,[10708,10709,10713,10714,10717,10718,10721],{"id":36,"depth":10706,"text":37},{"id":66,"depth":10706,"text":67,"children":10710},[10711],{"id":397,"depth":10712,"text":398},3,{"id":2276,"depth":10706,"text":2277},{"id":2788,"depth":10706,"text":2789,"children":10715},[10716],{"id":3240,"depth":10712,"text":3241},{"id":5029,"depth":10706,"text":5030},{"id":6309,"depth":10706,"text":6310,"children":10719},[10720],{"id":8567,"depth":10712,"text":8568},{"id":10658,"depth":10706,"text":10659},"2026-05-24T10:00:00Z","Descubre cómo el triángulo de Tartaglia conecta la combinatoria, el álgebra y la probabilidad — explicado paso a paso con lanzamientos de moneda.",{"type":23,"value":10725},[10726,10728],[26,10727,21],{"id":28},[30,10729,32],{},"md","intermediate",{},true,"\u002Fblog\u002Fpascals-triangle-and-probability.es",{"title":21,"description":10723},1,"triangulo-de-tartaglia-combinatoria-y-probabilidad","blog\u002Fpascals-triangle-and-probability.es",[44,10740,10741,10742,10743],"curva de campana","Omar Jayyam","Jia Xian","Niccolò Fontana Tartaglia","3OSE1C0798LSIPtONb_6xJghjxyI4FK2yVicitCnKts",{"id":10746,"title":10747,"_locale":8,"author":3,"body":10748,"date":14095,"description":14096,"excerpt":14097,"extension":10730,"level":14103,"meta":14104,"navigation":10733,"path":14105,"published":10733,"seo":14106,"series":15,"seriesOrder":10706,"slug":14107,"stem":14108,"tags":14109,"__hash__":14118},"blog\u002Fblog\u002Ffair-coin-looks-unfair.es.md","Por qué una moneda justa pasa casi toda su vida pareciendo injusta?",{"type":23,"value":10749,"toc":14086},[10750,10753,10756,10764,10771,10781,10785,10851,10857,10871,10877,10888,10891,10913,10916,10920,10923,10994,11000,11007,11013,11025,11028,11032,11038,11041,11047,11070,11075,11086,11098,11101,11112,11118,11130,11140,11144,11150,11159,11373,11376,11382,11393,11396,11442,11449,11453,11518,11762,11975,12048,12428,12850,13569,13576,13583,13590,13621,13624,13978,13982,13988,13991,14035,14042,14046,14053,14070,14077,14080],[26,10751,10747],{"id":10752},"por-qué-una-moneda-justa-pasa-casi-toda-su-vida-pareciendo-injusta",[30,10754,10755],{},"Aquí va una pregunta que suena sencilla y no lo es. Imagina que dos amigos, Alicia y Bruno, juegan a un juego. Se lanza una moneda justa una vez por segundo. Si sale cara, Alicia gana un punto; si sale cruz, lo gana Bruno. Siguen jugando durante un año entero — más de treinta millones de lanzamientos. En cada instante, uno de los dos va «en cabeza» (tiene más puntos hasta ese momento). ¿Qué es más probable?",[6417,10757,10758,10761],{},[75,10759,10760],{},"A) El liderazgo cambia de manos a menudo, así que cada jugador va en cabeza durante aproximadamente la mitad del año.",[75,10762,10763],{},"B) Un jugador toma la delantera pronto y la mantiene durante casi todo el año, mientras el otro pasa mes tras mes por detrás.",[30,10765,10766,10767,10770],{},"Casi todo el mundo elige (A). Parece evidente: la moneda es justa, así que el liderazgo debería repartirse de forma justa. Y sin embargo, la verdad sorprendente — demostrada a mediados del siglo XX — es que ",[42,10768,10769],{},"(B) es mucho más probable que (A)",". Una moneda perfectamente justa pasa casi toda su vida pareciendo profundamente injusta.",[30,10772,10773,10774,10777,10778,827],{},"Este artículo trata de esa paradoja, y de la hermosa cadena de ideas que hace falta para explicarla: los caminos aleatorios o \"paseos aleatorios\", la campana de Gauss, el movimiento ",[51,10775,10776],{},"browniano"," y una extraña curva en forma de U llamada ",[42,10779,10780],{},"ley del arcoseno",[34,10782,10784],{"id":10783},"un-paseo-construido-con-lanzamientos-de-moneda","Un paseo construido con lanzamientos de moneda",[30,10786,10787,10788,10822,10823,827],{},"Convirtamos el juego en una imagen. Empezamos un total acumulado en cero. Cada cara suma ",[123,10789,10791,10807],{"className":10790},[126],[123,10792,10794],{"className":10793},[130],[132,10795,10796],{"xmlns":134},[136,10797,10798,10804],{},[139,10799,10800,10802],{},[145,10801,274],{},[142,10803,80],{},[166,10805,10806],{"encoding":168},"+1",[123,10808,10810],{"className":10809,"ariaHidden":147},[173],[123,10811,10813,10816,10819],{"className":10812},[177],[123,10814],{"className":10815,"style":289},[181],[123,10817,274],{"className":10818},[186],[123,10820,80],{"className":10821},[186],"; cada cruz resta ",[123,10824,10826,10839],{"className":10825},[126],[123,10827,10829],{"className":10828},[130],[132,10830,10831],{"xmlns":134},[136,10832,10833,10837],{},[139,10834,10835],{},[142,10836,80],{},[166,10838,80],{"encoding":168},[123,10840,10842],{"className":10841,"ariaHidden":147},[173],[123,10843,10845,10848],{"className":10844},[177],[123,10846],{"className":10847,"style":252},[181],[123,10849,80],{"className":10850},[186],[99,10852,10855],{"className":10853,"code":10854,"language":104,"meta":105},[102],"Tirada:    O   X   O   O   X   X   X   O\nPaso:     +1  -1  +1  +1  -1  -1  -1  +1\nTotal:     1   0   1   2   1   0  -1   0\n",[107,10856,10854],{"__ignoreMap":105},[30,10858,10859,10860,827],{},"Si el total es positivo, Alicia va en cabeza; si es negativo, va Bruno. Si dibujamos el total frente al tiempo, obtenemos un camino dentado que vaga hacia arriba y hacia abajo. Los matemáticos lo llaman ",[2780,10861,10864,10867,10868],{"href":10862,"rel":10863},"https:\u002F\u002Fes.wikipedia.org\u002Fwiki\u002FCamino_aleatorio",[2784],[42,10865,10866],{},"camino aleatorio"," o ",[42,10869,10870],{},"paseo aleatorio",[99,10872,10875],{"className":10873,"code":10874,"language":104,"meta":105},[102]," +3 |\n +2 |        ___\n +1 |    ___\u002F   \\___        ___\n  0 |___\u002F           \\___   \u002F\n -1 |                   \\_\u002F\n    +------------------------- tiempo\n",[107,10876,10874],{"__ignoreMap":105},[30,10878,10879,10880,10883,10884,10887],{},"Un paseo aleatorio es el ejemplo más sencillo de un ",[42,10881,10882],{},"proceso estocástico"," — un término elegante para ",[51,10885,10886],{},"un sistema que cambia paso a paso, con una pizca de azar en cada paso",". Ya conoces muchos. El precio de una acción en bolsa es un proceso estocástico: en cada tic sube o baja un poco, y nadie puede predecir hacia dónde. La posición de un diminuto grano de polen agitándose en el agua también lo es. Y lo mismo ocurre con el camino de una persona que ha bebido un poco de más y decide en cada paso si tambalearse a la izquierda o a la derecha — el clásico «paseo del borracho».",[30,10889,10890],{},"Y ahora viene la idea más importante de todo el artículo, así que guárdala bien:",[10892,10893,10894],"blockquote",{},[30,10895,10896,10897,10900,10901,10904,10905,10908,10909,10912],{},"Hay una diferencia entre el ",[42,10898,10899],{},"destino"," y el ",[42,10902,10903],{},"viaje",". ",[51,10906,10907],{},"Dónde acaba"," el paseo es una pregunta. ",[51,10910,10911],{},"Qué ocurren durante el camino"," es una pregunta completamente distinta.",[30,10914,10915],{},"Ten ambas presentes. La paradoja vive en el hueco que las separa.",[34,10917,10919],{"id":10918},"aparece-la-campana-de-gauss","Aparece la campana de Gauss",[30,10921,10922],{},"Empecemos por el destino. Después de un millón de lanzamientos, ¿más o menos dónde está el total?",[30,10924,10925,10926,10867,10959,10993],{},"Cada lanzamiento tiene la misma probabilidad de valer ",[123,10927,10929,10944],{"className":10928},[126],[123,10930,10932],{"className":10931},[130],[132,10933,10934],{"xmlns":134},[136,10935,10936,10942],{},[139,10937,10938,10940],{},[145,10939,274],{},[142,10941,80],{},[166,10943,10806],{"encoding":168},[123,10945,10947],{"className":10946,"ariaHidden":147},[173],[123,10948,10950,10953,10956],{"className":10949},[177],[123,10951],{"className":10952,"style":289},[181],[123,10954,274],{"className":10955},[186],[123,10957,80],{"className":10958},[186],[123,10960,10962,10978],{"className":10961},[126],[123,10963,10965],{"className":10964},[130],[132,10966,10967],{"xmlns":134},[136,10968,10969,10975],{},[139,10970,10971,10973],{},[145,10972,885],{},[142,10974,80],{},[166,10976,10977],{"encoding":168},"-1",[123,10979,10981],{"className":10980,"ariaHidden":147},[173],[123,10982,10984,10987,10990],{"className":10983},[177],[123,10985],{"className":10986,"style":289},[181],[123,10988,885],{"className":10989},[186],[123,10991,80],{"className":10992},[186],", así que en promedio el total se queda cerca de cero. Pero «en promedio» esconde mucho deambular. Si jugaras a miles de estas partidas de un millón de tiradas e hicieras un histograma de los totales finales, surgiría una forma familiar:",[99,10995,10998],{"className":10996,"code":10997,"language":104,"meta":105},[102],"            .:||:.\n          .:||||||:.\n        .:||||||||||:.\n      .:||||||||||||||:.\n   ..:||||||||||||||||||:..\n -----------------0----------------\n        total final tras n lanzamientos\n",[107,10999,10997],{"__ignoreMap":105},[30,11001,11002,11003,11006],{},"Esta forma de campana es el famoso ",[42,11004,11005],{},"Teorema Central del Límite"," (TCL) en acción: suma una gran cantidad de pequeños empujones aleatorios e independientes, y el total seguirá una campana (una «distribución normal»), sin importar qué aspecto tuvieran los empujones individuales.",[30,11008,11009,11010,2504],{},"Pero fíjate en lo que el TCL nos ha dicho de verdad — y en lo que ",[42,11011,11012],{},"no",[10892,11014,11015],{},[30,11016,11017,11018,11021,11022,827],{},"El Teorema Central del Límite nos dice dónde ",[51,11019,11020],{},"acaban"," la mayoría de los caminantes. No dice nada sobre ",[51,11023,11024],{},"cómo llegaron hasta allí",[30,11026,11027],{},"Ese es el resquicio por el que se cuela la paradoja.",[34,11029,11031],{"id":11030},"alejándonos-del-paseo-aleatorio-al-movimiento-browniano","Alejándonos: del paseo aleatorio al movimiento browniano",[30,11033,11034,11035,827],{},"Antes de volver al enigma, alejémonos — literalmente, vamos a hacer un ",[51,11036,11037],{},"zoom out",[30,11039,11040],{},"Toma un paseo aleatorio y míralo desde lejos. Haz los pasos más pequeños y más frecuentes: en lugar de un gran paso por segundo, da cien pasos minúsculos, y luego diez mil aún más diminutos. A medida que los pasos se encogen hacia la nada, la escalera dentada se suaviza hasta convertirse en una curva continua, infinitamente ondulada.",[99,11042,11045],{"className":11043,"code":11044,"language":104,"meta":105},[102],"   paseo basto        paseo más fino       el más fino → mov. browniano\n   _                  _                    .·'·.\n  | |_      _        | |_   _.            ·    '·._.·'·.\n  |   |_   | |       |   '·' |.            ·             '·.\n _|     |__| |     _·'         '·_       ·'                  '·.\n",[107,11046,11044],{"__ignoreMap":105},[30,11048,11049,11050,11053,11054,11057,11058,11061,11062,11065,11066,11069],{},"Ese límite tiene nombre: ",[42,11051,11052],{},"movimiento browniano",", en honor al botánico Robert Brown, que en 1827 observó cómo unos granos de polen temblaban sin cesar en el agua sin saber por qué. ",[42,11055,11056],{},"Einstein"," explicó el temblor en 1905 (los granos son golpeados por moléculas de agua invisibles), y el matemático ",[42,11059,11060],{},"Norbert Wiener"," construyó el modelo matemático exacto en los años veinte. El hecho profundo de que un paseo aleatorio cada vez más fino ",[51,11063,11064],{},"se convierta"," en movimiento browniano se conoce, de manera informal, como ",[42,11067,11068],{},"teorema de Donsker",". De momento, sólo lo nombraremos.",[10892,11071,11072],{},[30,11073,11074],{},"El movimiento browniano es el aspecto que tiene un paseo aleatorio cuando te alejas infinitamente.",[30,11076,11077,11078,11081,11082,11085],{},"Pero ¿qué tienen que ver unas motas flotando en el agua con un juego de lanzar monedas? Que la mota está jugando a ese mismo juego. Un grano de polen es demasiado grande para moverse por sí solo — hasta que las moléculas de agua invisibles que lo rodean, agitándose por el calor, lo golpean desde todas las direcciones a la vez. En cada instante unas cuantas más chocan por la izquierda que por la derecha, y el grano se desplaza un poco hacia la derecha; un momento después el desequilibrio se invierte y vuelve hacia atrás. Cada choque es un diminuto empujón al azar — una moneda lanzada millones de veces por segundo. Sigue la posición del grano a lo largo del tiempo y trazará exactamente el mismo camino dentado y errante que dibujamos para Alicia y Bruno. El paseo aleatorio abstracto y la mota de polen temblorosa no solo se parecen; son el ",[51,11079,11080],{},"mismo"," objeto matemático — y ese ",[51,11083,11084],{},"objeto"," es el movimiento browniano.",[30,11087,11088,11089,11093,11094,11097],{},"¿Alguna vez has lanzado unas monedas en nuestra página de ",[2780,11090,11092],{"href":10701,"rel":11091},[2784],"\u002Fes\u002Fplay",", has visto a una cara adelantarse y ",[51,11095,11096],{},"quedarse"," por delante, y te has preguntado si la aleatoriedad estará rota?",[30,11099,11100],{},"Vamos a volver al agua. Con una sola gota de agua de río podemos verlo.",[30,11102,11103,11104,11107,11108,11111],{},"Imagina una molécula de agua a la deriva río abajo por un río ancho y lento. Olvida por un momento la corriente que la arrastra y fíjate solo en cómo deambula ",[51,11105,11106],{},"de lado a lado",", de una orilla hacia la otra. Cada choque la empuja un poco a la izquierda o un poco a la derecha — otra vez un paseo aleatorio — así que, si dibujas esa posición lateral a medida que la molécula avanza río abajo (con la distancia recorrida río abajo haciendo el papel del tiempo), estás dibujando de nuevo nuestro gráfico. Y entonces: ¿esperarías alguna vez que la molécula viajara educadamente por el ",[42,11109,11110],{},"centro exacto"," del río durante todo su trayecto? Por supuesto que no. Se irá hacia una orilla y se quedará allí un buen rato, cruzará al otro lado, se pegará a la otra orilla durante un tiempo. Mantenerse equilibrada en el centro es lo único que casi nunca hace.",[99,11113,11116],{"className":11114,"code":11115,"language":104,"meta":105},[102]," +3 |               __\n +2 |        ___   \u002F  \\\n +1 |    ___\u002F   \\_\u002F\n  0 |___\u002F\n -1 |\n    +------------------- tiempo\n",[107,11117,11115],{"__ignoreMap":105},[30,11119,11120,11121,11125,11126,11129],{},"Una moneda justa se comporta igual. Cuando lanzas monedas en el ",[2780,11122,11124],{"href":10701,"rel":11123},[2784],"Juego de la Moneda"," y ves un lado de la moneda ganar tres veces seguidas, o ves que «cara» se mantiene en cabeza durante cien tiradas seguidas, puede parecer que la moneda está rota o que la app está amañada. No lo está. ",[42,11127,11128],{},"Las largas rachas de dominio de un solo lado no son un fallo de la equidad — son exactamente el aspecto que tiene la equidad vista de cerca."," La molécula no se queda en mitad del río, y la moneda no se queda cerca del empate.",[10892,11131,11132],{},[30,11133,11134,11135,827],{},"Si quieres saber más sobre cómo lanzamos la moneda en FlipTheCoin.app, puedes leer ",[2780,11136,11139],{"href":11137,"rel":11138},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fblog\u002Fcomo-lanzamos-una-moneda",[2784],"Cómo lanzamos una moneda en FlipTheCoin.app",[34,11141,11143],{"id":11142},"el-descubrimiento-de-lévy-y-la-sorpresa-de-chung-y-feller","El descubrimiento de Lévy y la sorpresa de Chung y Feller",[30,11145,11146,11147,11149],{},"Volvamos a Alicia y Bruno. Queremos medir el ",[51,11148,10903],{},", no el destino. Así que nos preguntamos:",[10892,11151,11152],{},[30,11153,11154,11155,11158],{},"De todo el año, ¿qué ",[42,11156,11157],{},"fracción del tiempo"," estuvo Alicia en cabeza?",[30,11160,11161,11162,11190,11191,11219,11220,11248,11249,11372],{},"Llamemos a esa fracción ",[123,11163,11165,11178],{"className":11164},[126],[123,11166,11168],{"className":11167},[130],[132,11169,11170],{"xmlns":134},[136,11171,11172,11176],{},[139,11173,11174],{},[430,11175,6444],{},[166,11177,6444],{"encoding":168},[123,11179,11181],{"className":11180,"ariaHidden":147},[173],[123,11182,11184,11187],{"className":11183},[177],[123,11185],{"className":11186,"style":572},[181],[123,11188,6444],{"className":11189},[186,504],", un número entre ",[123,11192,11194,11207],{"className":11193},[126],[123,11195,11197],{"className":11196},[130],[132,11198,11199],{"xmlns":134},[136,11200,11201,11205],{},[139,11202,11203],{},[142,11204,1349],{},[166,11206,1349],{"encoding":168},[123,11208,11210],{"className":11209,"ariaHidden":147},[173],[123,11211,11213,11216],{"className":11212},[177],[123,11214],{"className":11215,"style":252},[181],[123,11217,1349],{"className":11218},[186]," (Alicia nunca fue por delante) y ",[123,11221,11223,11236],{"className":11222},[126],[123,11224,11226],{"className":11225},[130],[132,11227,11228],{"xmlns":134},[136,11229,11230,11234],{},[139,11231,11232],{},[142,11233,80],{},[166,11235,80],{"encoding":168},[123,11237,11239],{"className":11238,"ariaHidden":147},[173],[123,11240,11242,11245],{"className":11241},[177],[123,11243],{"className":11244,"style":252},[181],[123,11246,80],{"className":11247},[186]," (Alicia fue por delante todo el tiempo). Como acabamos de aprender lo de la campana, tu instinto probablemente diga: esta fracción debería acumularse alrededor de ",[123,11250,11252,11277],{"className":11251},[126],[123,11253,11255],{"className":11254},[130],[132,11256,11257],{"xmlns":134},[136,11258,11259,11274],{},[139,11260,11261,11263,11265],{},[430,11262,6444],{},[145,11264,695],{},[11266,11267,11268],"mstyle",{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,11269,11270,11272],{},[142,11271,80],{},[142,11273,690],{},[166,11275,11276],{"encoding":168},"x = \\tfrac{1}{2}",[123,11278,11280,11298],{"className":11279,"ariaHidden":147},[173],[123,11281,11283,11286,11289,11292,11295],{"className":11282},[177],[123,11284],{"className":11285,"style":572},[181],[123,11287,6444],{"className":11288},[186,504],[123,11290],{"className":11291,"style":781},[194],[123,11293,695],{"className":11294},[785],[123,11296],{"className":11297,"style":781},[194],[123,11299,11301,11304],{"className":11300},[177],[123,11302],{"className":11303,"style":1751},[181],[123,11305,11307,11310,11369],{"className":11306},[186],[123,11308],{"className":11309},[458,992],[123,11311,11313],{"className":11312},[426],[123,11314,11316,11361],{"className":11315},[472,473],[123,11317,11319,11358],{"className":11318},[477],[123,11320,11322,11336,11344],{"className":11321,"style":1678},[481],[123,11323,11324,11327],{"style":1008},[123,11325],{"className":11326,"style":1012},[489],[123,11328,11330],{"className":11329},[494,495,496,497],[123,11331,11333],{"className":11332},[186,497],[123,11334,690],{"className":11335},[186,497],[123,11337,11338,11341],{"style":1046},[123,11339],{"className":11340,"style":1012},[489],[123,11342],{"className":11343,"style":1054},[1053],[123,11345,11346,11349],{"style":1057},[123,11347],{"className":11348,"style":1012},[489],[123,11350,11352],{"className":11351},[494,495,496,497],[123,11353,11355],{"className":11354},[186,497],[123,11356,80],{"className":11357},[186,497],[123,11359,525],{"className":11360},[524],[123,11362,11364],{"className":11363},[477],[123,11365,11367],{"className":11366,"style":532},[481],[123,11368],{},[123,11370],{"className":11371},[538,992],", con una bonita joroba en el medio. La mitad del tiempo para Alicia, la mitad para Bruno — debería ser justo.",[30,11374,11375],{},"Ese instinto es incorrecto. La distribución real tiene este aspecto:",[99,11377,11380],{"className":11378,"code":11379,"language":104,"meta":105},[102]," probable |\\                            \u002F|\n          | \\                          \u002F |\n          |  \\                        \u002F  |\n          |   \\__                  __\u002F   |\n raro     |      \\________________\u002F      |\n          +------------------------------+\n          0     1\u002F4     1\u002F2    3\u002F4       1\n       Fracción del tiempo que Alicia lidera\n",[107,11381,11379],{"__ignoreMap":105},[30,11383,11384,11385,11388,11389,11392],{},"Es una ",[42,11386,11387],{},"forma de U",". Los resultados más probables son los extremos — Alicia liderando casi todo el tiempo, o casi nada. El resultado ",[51,11390,11391],{},"menos"," probable es el «justo», en el que el liderazgo se reparte por igual. La fracción de tiempo en cabeza se comporta justo al revés que el marcador final.",[30,11394,11395],{},"Esto lo fueron armando varios matemáticos:",[6417,11397,11398,11408,11426],{},[75,11399,11400,11401,11404,11405,827],{},"A finales de los años treinta, ",[42,11402,11403],{},"Paul Lévy"," — uno de los fundadores de la probabilidad moderna — estudió cuánto tiempo pasa un movimiento browniano en el lado positivo. Encontró esta extraña ley en forma de U para el caso ",[51,11406,11407],{},"contínuo",[75,11409,11410,11413,11414,11421,11422,11425],{},[42,11411,11412],{},"William Feller",", en su legendario libro de texto ",[2780,11415,11418],{"href":11416,"rel":11417},"https:\u002F\u002Fbitcoinwords.github.io\u002Fassets\u002Fpapers\u002Fan-introduction-to-probability-theory-and-its-applications.pdf",[2784],[51,11419,11420],{},"An Introduction to Probability Theory and its Applications",", desarrolló la versión ",[51,11423,11424],{},"discreta"," del lanzamiento de monedas con un detalle limpio y contable.",[75,11427,10683,11428,11431,11432,11437,11438,11441],{},[42,11429,11430],{},"teorema de Chung–Feller"," (",[2780,11433,11436],{"href":11434,"rel":11435},"https:\u002F\u002Fwww.pnas.org\u002Fdoi\u002Fpdf\u002F10.1073\u002Fpnas.35.10.605",[2784],"Kai Lai Chung y William Feller, 1949",") clavó un hecho combinatorio preciso que está debajo de todo: entre todas las maneras en que un paseo de una longitud dada puede volver a cero, el número de ellas que pasan una cantidad de tiempo dada en positivo es asombrosamente ",[51,11439,11440],{},"constante"," — la duración del liderazgo está, en un sentido profundo, repartida en lugar de concentrada.",[30,11443,11444,11445,11448],{},"Aquí va una metáfora para hacer real la forma de U. Dos corredores de maratón cruzan la meta en un empate exacto. Podrías suponer que se han intercambiado el liderazgo una y otra vez durante toda la carrera. Pero es mucho más común que un corredor se adelante en el primer kilómetro y lidere durante ",[51,11446,11447],{},"casi todo el recorrido",", solo para ser alcanzado justo en la línea de meta. Un final empatado no significa una carrera compartida.",[34,11450,11452],{"id":11451},"las-leyes-del-arcoseno","Las leyes del arcoseno",[30,11454,11455,11456,11459,11460,11488,11489,11517],{},"La curva en forma de U tiene nombre y fórmula. Se llama ",[42,11457,11458],{},"distribución del arcoseno",", y en el intervalo de ",[123,11461,11463,11476],{"className":11462},[126],[123,11464,11466],{"className":11465},[130],[132,11467,11468],{"xmlns":134},[136,11469,11470,11474],{},[139,11471,11472],{},[142,11473,1349],{},[166,11475,1349],{"encoding":168},[123,11477,11479],{"className":11478,"ariaHidden":147},[173],[123,11480,11482,11485],{"className":11481},[177],[123,11483],{"className":11484,"style":252},[181],[123,11486,1349],{"className":11487},[186]," a ",[123,11490,11492,11505],{"className":11491},[126],[123,11493,11495],{"className":11494},[130],[132,11496,11497],{"xmlns":134},[136,11498,11499,11503],{},[139,11500,11501],{},[142,11502,80],{},[166,11504,80],{"encoding":168},[123,11506,11508],{"className":11507,"ariaHidden":147},[173],[123,11509,11511,11514],{"className":11510},[177],[123,11512],{"className":11513,"style":252},[181],[123,11515,80],{"className":11516},[186]," su densidad es:",[30,11519,11521],{"className":11520},[409],[123,11522,11524,11573],{"className":11523},[126],[123,11525,11527],{"className":11526},[130],[132,11528,11529],{"xmlns":134},[136,11530,11531,11570],{},[139,11532,11533,11536,11538,11540,11542,11544],{},[430,11534,11535],{},"f",[145,11537,424],{"stretchy":868},[430,11539,6444],{},[145,11541,438],{"stretchy":868},[145,11543,695],{},[426,11545,11546,11548],{},[142,11547,80],{},[139,11549,11550,11553],{},[430,11551,11552],{},"π",[11554,11555,11556],"msqrt",{},[139,11557,11558,11560,11562,11564,11566,11568],{},[430,11559,6444],{},[145,11561,424],{"stretchy":868},[142,11563,80],{},[145,11565,885],{},[430,11567,6444],{},[145,11569,438],{"stretchy":868},[166,11571,11572],{"encoding":168},"f(x) = \\frac{1}{\\pi\\sqrt{x(1-x)}}",[123,11574,11576,11604],{"className":11575,"ariaHidden":147},[173],[123,11577,11579,11582,11586,11589,11592,11595,11598,11601],{"className":11578},[177],[123,11580],{"className":11581,"style":3494},[181],[123,11583,11535],{"className":11584,"style":11585},[186,504],"margin-right:0.1076em;",[123,11587,424],{"className":11588},[458],[123,11590,6444],{"className":11591},[186,504],[123,11593,438],{"className":11594},[538],[123,11596],{"className":11597,"style":781},[194],[123,11599,695],{"className":11600},[785],[123,11602],{"className":11603,"style":781},[194],[123,11605,11607,11611],{"className":11606},[177],[123,11608],{"className":11609,"style":11610},[181],"height:1.6747em;vertical-align:-0.8296em;",[123,11612,11614,11617,11759],{"className":11613},[186],[123,11615],{"className":11616},[458,992],[123,11618,11620],{"className":11619},[426],[123,11621,11623,11750],{"className":11622},[472,473],[123,11624,11626,11747],{"className":11625},[477],[123,11627,11629,11725,11733],{"className":11628,"style":1678},[481],[123,11630,11632,11635],{"style":11631},"top:-2.4642em;",[123,11633],{"className":11634,"style":1012},[489],[123,11636,11638],{"className":11637},[494,495,496,497],[123,11639,11641,11645],{"className":11640},[186,497],[123,11642,11552],{"className":11643,"style":11644},[186,504,497],"margin-right:0.0359em;",[123,11646,11649],{"className":11647},[186,11648,497],"sqrt",[123,11650,11652,11716],{"className":11651},[472,473],[123,11653,11655,11713],{"className":11654},[477],[123,11656,11659,11690],{"className":11657,"style":11658},[481],"height:1.0369em;",[123,11660,11664,11668],{"className":11661,"style":11663},[11662],"svg-align","top:-3.4286em;",[123,11665],{"className":11666,"style":11667},[489],"height:3.4286em;",[123,11669,11672,11675,11678,11681,11684,11687],{"className":11670,"style":11671},[186,497],"padding-left:1.19em;",[123,11673,6444],{"className":11674},[186,504,497],[123,11676,424],{"className":11677},[458,497],[123,11679,80],{"className":11680},[186,497],[123,11682,885],{"className":11683},[300,497],[123,11685,6444],{"className":11686},[186,504,497],[123,11688,438],{"className":11689},[538,497],[123,11691,11693,11696],{"style":11692},"top:-3.0089em;",[123,11694],{"className":11695,"style":11667},[489],[123,11697,11701],{"className":11698,"style":11700},[11699,497],"hide-tail","min-width:0.853em;height:1.5429em;",[11702,11703,11709],"svg",{"xmlns":11704,"width":11705,"height":11706,"viewBox":11707,"preserveAspectRatio":11708},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg","400em","1.5429em","0 0 400000 1080","xMinYMin slice",[11710,11711],"path",{"d":11712},"M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z",[123,11714,525],{"className":11715},[524],[123,11717,11719],{"className":11718},[477],[123,11720,11723],{"className":11721,"style":11722},[481],"height:0.4197em;",[123,11724],{},[123,11726,11727,11730],{"style":1046},[123,11728],{"className":11729,"style":1012},[489],[123,11731],{"className":11732,"style":1054},[1053],[123,11734,11735,11738],{"style":1057},[123,11736],{"className":11737,"style":1012},[489],[123,11739,11741],{"className":11740},[494,495,496,497],[123,11742,11744],{"className":11743},[186,497],[123,11745,80],{"className":11746},[186,497],[123,11748,525],{"className":11749},[524],[123,11751,11753],{"className":11752},[477],[123,11754,11757],{"className":11755,"style":11756},[481],"height:0.8296em;",[123,11758],{},[123,11760],{"className":11761},[538,992],[30,11763,11764,11765,11793,11794,11822,11823,11851,11852,11974],{},"Puedes leer la forma de U directamente de la fórmula: cuando ",[123,11766,11768,11781],{"className":11767},[126],[123,11769,11771],{"className":11770},[130],[132,11772,11773],{"xmlns":134},[136,11774,11775,11779],{},[139,11776,11777],{},[430,11778,6444],{},[166,11780,6444],{"encoding":168},[123,11782,11784],{"className":11783,"ariaHidden":147},[173],[123,11785,11787,11790],{"className":11786},[177],[123,11788],{"className":11789,"style":572},[181],[123,11791,6444],{"className":11792},[186,504]," se acerca a ",[123,11795,11797,11810],{"className":11796},[126],[123,11798,11800],{"className":11799},[130],[132,11801,11802],{"xmlns":134},[136,11803,11804,11808],{},[139,11805,11806],{},[142,11807,1349],{},[166,11809,1349],{"encoding":168},[123,11811,11813],{"className":11812,"ariaHidden":147},[173],[123,11814,11816,11819],{"className":11815},[177],[123,11817],{"className":11818,"style":252},[181],[123,11820,1349],{"className":11821},[186]," o a ",[123,11824,11826,11839],{"className":11825},[126],[123,11827,11829],{"className":11828},[130],[132,11830,11831],{"xmlns":134},[136,11832,11833,11837],{},[139,11834,11835],{},[142,11836,80],{},[166,11838,80],{"encoding":168},[123,11840,11842],{"className":11841,"ariaHidden":147},[173],[123,11843,11845,11848],{"className":11844},[177],[123,11846],{"className":11847,"style":252},[181],[123,11849,80],{"className":11850},[186],", la parte de abajo de la fracción se encoge hacia cero, así que la curva se dispara hacia arriba. El medio, alrededor de ",[123,11853,11855,11879],{"className":11854},[126],[123,11856,11858],{"className":11857},[130],[132,11859,11860],{"xmlns":134},[136,11861,11862,11876],{},[139,11863,11864,11866,11868],{},[430,11865,6444],{},[145,11867,695],{},[11266,11869,11870],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,11871,11872,11874],{},[142,11873,80],{},[142,11875,690],{},[166,11877,11878],{"encoding":168},"x=\\tfrac12",[123,11880,11882,11900],{"className":11881,"ariaHidden":147},[173],[123,11883,11885,11888,11891,11894,11897],{"className":11884},[177],[123,11886],{"className":11887,"style":572},[181],[123,11889,6444],{"className":11890},[186,504],[123,11892],{"className":11893,"style":781},[194],[123,11895,695],{"className":11896},[785],[123,11898],{"className":11899,"style":781},[194],[123,11901,11903,11906],{"className":11902},[177],[123,11904],{"className":11905,"style":1751},[181],[123,11907,11909,11912,11971],{"className":11908},[186],[123,11910],{"className":11911},[458,992],[123,11913,11915],{"className":11914},[426],[123,11916,11918,11963],{"className":11917},[472,473],[123,11919,11921,11960],{"className":11920},[477],[123,11922,11924,11938,11946],{"className":11923,"style":1678},[481],[123,11925,11926,11929],{"style":1008},[123,11927],{"className":11928,"style":1012},[489],[123,11930,11932],{"className":11931},[494,495,496,497],[123,11933,11935],{"className":11934},[186,497],[123,11936,690],{"className":11937},[186,497],[123,11939,11940,11943],{"style":1046},[123,11941],{"className":11942,"style":1012},[489],[123,11944],{"className":11945,"style":1054},[1053],[123,11947,11948,11951],{"style":1057},[123,11949],{"className":11950,"style":1012},[489],[123,11952,11954],{"className":11953},[494,495,496,497],[123,11955,11957],{"className":11956},[186,497],[123,11958,80],{"className":11959},[186,497],[123,11961,525],{"className":11962},[524],[123,11964,11966],{"className":11965},[477],[123,11967,11969],{"className":11968,"style":532},[481],[123,11970],{},[123,11972],{"className":11973},[538,992],", es donde más se hunde.",[30,11976,11977,11978,12012,12013,12047],{},"Para las monedas de verdad, antes de cualquier alejamiento, la versión discreta es igual de limpia. Si se lanza una moneda justa ",[123,11979,11981,11997],{"className":11980},[126],[123,11982,11984],{"className":11983},[130],[132,11985,11986],{"xmlns":134},[136,11987,11988,11994],{},[139,11989,11990,11992],{},[142,11991,690],{},[430,11993,432],{},[166,11995,11996],{"encoding":168},"2n",[123,11998,12000],{"className":11999,"ariaHidden":147},[173],[123,12001,12003,12006,12009],{"className":12002},[177],[123,12004],{"className":12005,"style":252},[181],[123,12007,690],{"className":12008},[186],[123,12010,432],{"className":12011},[186,504]," veces, la probabilidad de que el paseo pase exactamente ",[123,12014,12016,12032],{"className":12015},[126],[123,12017,12019],{"className":12018},[130],[132,12020,12021],{"xmlns":134},[136,12022,12023,12029],{},[139,12024,12025,12027],{},[142,12026,690],{},[430,12028,435],{},[166,12030,12031],{"encoding":168},"2k",[123,12033,12035],{"className":12034,"ariaHidden":147},[173],[123,12036,12038,12041,12044],{"className":12037},[177],[123,12039],{"className":12040,"style":602},[181],[123,12042,690],{"className":12043},[186],[123,12045,435],{"className":12046,"style":505},[186,504]," de esos pasos en el lado positivo es:",[30,12049,12051],{"className":12050},[409],[123,12052,12054,12145],{"className":12053},[126],[123,12055,12057],{"className":12056},[130],[132,12058,12059],{"xmlns":134},[136,12060,12061,12142],{},[139,12062,12063,12082,12084,12100,12128,12130],{},[12064,12065,12066,12068],"msub",{},[430,12067,3265],{},[139,12069,12070,12072,12074,12076,12078,12080],{},[142,12071,690],{},[430,12073,435],{},[145,12075,148],{"separator":147},[1901,12077,8014],{},[142,12079,690],{},[430,12081,432],{},[145,12083,695],{},[139,12085,12086,12088,12098],{},[145,12087,424],{"fence":147},[426,12089,12090,12096],{"linethickness":428},[139,12091,12092,12094],{},[142,12093,690],{},[430,12095,435],{},[430,12097,435],{},[145,12099,438],{"fence":147},[139,12101,12102,12104,12126],{},[145,12103,424],{"fence":147},[426,12105,12106,12118],{"linethickness":428},[139,12107,12108,12110,12112,12114,12116],{},[142,12109,690],{},[430,12111,432],{},[145,12113,885],{},[142,12115,690],{},[430,12117,435],{},[139,12119,12120,12122,12124],{},[430,12121,432],{},[145,12123,885],{},[430,12125,435],{},[145,12127,438],{"fence":147},[1901,12129,8014],{},[2521,12131,12132,12134],{},[142,12133,690],{},[139,12135,12136,12138,12140],{},[145,12137,885],{},[142,12139,690],{},[430,12141,432],{},[166,12143,12144],{"encoding":168},"P_{2k,\\,2n} = \\binom{2k}{k}\\binom{2n-2k}{n-k}\\,2^{-2n}",[123,12146,12148,12226],{"className":12147,"ariaHidden":147},[173],[123,12149,12151,12155,12217,12220,12223],{"className":12150},[177],[123,12152],{"className":12153,"style":12154},[181],"height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;",[123,12156,12158,12161],{"className":12157},[186],[123,12159,3265],{"className":12160,"style":3292},[186,504],[123,12162,12164],{"className":12163},[2549],[123,12165,12167,12208],{"className":12166},[472,473],[123,12168,12170,12205],{"className":12169},[477],[123,12171,12174],{"className":12172,"style":12173},[481],"height:0.3361em;",[123,12175,12177,12180],{"style":12176},"top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;",[123,12178],{"className":12179,"style":490},[489],[123,12181,12183],{"className":12182},[494,495,496,497],[123,12184,12186,12189,12192,12195,12199,12202],{"className":12185},[186,497],[123,12187,690],{"className":12188},[186,497],[123,12190,435],{"className":12191,"style":505},[186,504,497],[123,12193,148],{"className":12194},[190,497],[123,12196],{"className":12197,"style":12198},[194,497],"margin-right:0.1952em;",[123,12200,690],{"className":12201},[186,497],[123,12203,432],{"className":12204},[186,504,497],[123,12206,525],{"className":12207},[524],[123,12209,12211],{"className":12210},[477],[123,12212,12215],{"className":12213,"style":12214},[481],"height:0.2861em;",[123,12216],{},[123,12218],{"className":12219,"style":781},[194],[123,12221,695],{"className":12222},[785],[123,12224],{"className":12225,"style":781},[194],[123,12227,12229,12233,12303,12387,12390],{"className":12228},[177],[123,12230],{"className":12231,"style":12232},[181],"height:1.3334em;vertical-align:-0.4033em;",[123,12234,12236,12242,12297],{"className":12235},[186],[123,12237,12239],{"className":12238,"style":460},[458,459],[123,12240,424],{"className":12241},[464,465],[123,12243,12245],{"className":12244},[426],[123,12246,12248,12289],{"className":12247},[472,473],[123,12249,12251,12286],{"className":12250},[477],[123,12252,12255,12269],{"className":12253,"style":12254},[481],"height:0.9301em;",[123,12256,12257,12260],{"style":485},[123,12258],{"className":12259,"style":490},[489],[123,12261,12263],{"className":12262},[494,495,496,497],[123,12264,12266],{"className":12265},[186,497],[123,12267,435],{"className":12268,"style":505},[186,504,497],[123,12270,12271,12274],{"style":508},[123,12272],{"className":12273,"style":490},[489],[123,12275,12277],{"className":12276},[494,495,496,497],[123,12278,12280,12283],{"className":12279},[186,497],[123,12281,690],{"className":12282},[186,497],[123,12284,435],{"className":12285,"style":505},[186,504,497],[123,12287,525],{"className":12288},[524],[123,12290,12292],{"className":12291},[477],[123,12293,12295],{"className":12294,"style":532},[481],[123,12296],{},[123,12298,12300],{"className":12299,"style":460},[538,459],[123,12301,438],{"className":12302},[464,465],[123,12304,12306,12312,12381],{"className":12305},[186],[123,12307,12309],{"className":12308,"style":460},[458,459],[123,12310,424],{"className":12311},[464,465],[123,12313,12315],{"className":12314},[426],[123,12316,12318,12373],{"className":12317},[472,473],[123,12319,12321,12370],{"className":12320},[477],[123,12322,12324,12344],{"className":12323,"style":12254},[481],[123,12325,12326,12329],{"style":485},[123,12327],{"className":12328,"style":490},[489],[123,12330,12332],{"className":12331},[494,495,496,497],[123,12333,12335,12338,12341],{"className":12334},[186,497],[123,12336,432],{"className":12337},[186,504,497],[123,12339,885],{"className":12340},[300,497],[123,12342,435],{"className":12343,"style":505},[186,504,497],[123,12345,12346,12349],{"style":508},[123,12347],{"className":12348,"style":490},[489],[123,12350,12352],{"className":12351},[494,495,496,497],[123,12353,12355,12358,12361,12364,12367],{"className":12354},[186,497],[123,12356,690],{"className":12357},[186,497],[123,12359,432],{"className":12360},[186,504,497],[123,12362,885],{"className":12363},[300,497],[123,12365,690],{"className":12366},[186,497],[123,12368,435],{"className":12369,"style":505},[186,504,497],[123,12371,525],{"className":12372},[524],[123,12374,12376],{"className":12375},[477],[123,12377,12379],{"className":12378,"style":1730},[481],[123,12380],{},[123,12382,12384],{"className":12383,"style":460},[538,459],[123,12385,438],{"className":12386},[464,465],[123,12388],{"className":12389,"style":195},[194],[123,12391,12393,12396],{"className":12392},[186],[123,12394,690],{"className":12395},[186],[123,12397,12399],{"className":12398},[2549],[123,12400,12402],{"className":12401},[472],[123,12403,12405],{"className":12404},[477],[123,12406,12408],{"className":12407,"style":2827},[481],[123,12409,12410,12413],{"style":2561},[123,12411],{"className":12412,"style":490},[489],[123,12414,12416],{"className":12415},[494,495,496,497],[123,12417,12419,12422,12425],{"className":12418},[186,497],[123,12420,885],{"className":12421},[186,497],[123,12423,690],{"className":12424},[186,497],[123,12426,432],{"className":12427},[186,504,497],[30,12429,12430,12431,8603,12459,12487,12488,12521,12522,12555,12556,12584,12585,12613,12614,12642,12643,827],{},"Aquí ",[123,12432,12434,12447],{"className":12433},[126],[123,12435,12437],{"className":12436},[130],[132,12438,12439],{"xmlns":134},[136,12440,12441,12445],{},[139,12442,12443],{},[430,12444,432],{},[166,12446,432],{"encoding":168},[123,12448,12450],{"className":12449,"ariaHidden":147},[173],[123,12451,12453,12456],{"className":12452},[177],[123,12454],{"className":12455,"style":572},[181],[123,12457,432],{"className":12458},[186,504],[123,12460,12462,12475],{"className":12461},[126],[123,12463,12465],{"className":12464},[130],[132,12466,12467],{"xmlns":134},[136,12468,12469,12473],{},[139,12470,12471],{},[430,12472,435],{},[166,12474,435],{"encoding":168},[123,12476,12478],{"className":12477,"ariaHidden":147},[173],[123,12479,12481,12484],{"className":12480},[177],[123,12482],{"className":12483,"style":602},[181],[123,12485,435],{"className":12486,"style":505},[186,504]," son simplemente contadores — números enteros. Escribimos a propósito el número de lanzamientos como un número par ",[123,12489,12491,12506],{"className":12490},[126],[123,12492,12494],{"className":12493},[130],[132,12495,12496],{"xmlns":134},[136,12497,12498,12504],{},[139,12499,12500,12502],{},[142,12501,690],{},[430,12503,432],{},[166,12505,11996],{"encoding":168},[123,12507,12509],{"className":12508,"ariaHidden":147},[173],[123,12510,12512,12515,12518],{"className":12511},[177],[123,12513],{"className":12514,"style":252},[181],[123,12516,690],{"className":12517},[186],[123,12519,432],{"className":12520},[186,504]," y el tiempo en cabeza como un número par ",[123,12523,12525,12540],{"className":12524},[126],[123,12526,12528],{"className":12527},[130],[132,12529,12530],{"xmlns":134},[136,12531,12532,12538],{},[139,12533,12534,12536],{},[142,12535,690],{},[430,12537,435],{},[166,12539,12031],{"encoding":168},[123,12541,12543],{"className":12542,"ariaHidden":147},[173],[123,12544,12546,12549,12552],{"className":12545},[177],[123,12547],{"className":12548,"style":602},[181],[123,12550,690],{"className":12551},[186],[123,12553,435],{"className":12554,"style":505},[186,504],", porque en esta clase de paseo el marcador solo puede volver a un empate cara-cruz tras un número par de lanzamientos, y el tiempo que un jugador pasa por delante siempre resulta ser par también. El contador ",[123,12557,12559,12572],{"className":12558},[126],[123,12560,12562],{"className":12561},[130],[132,12563,12564],{"xmlns":134},[136,12565,12566,12570],{},[139,12567,12568],{},[430,12569,435],{},[166,12571,435],{"encoding":168},[123,12573,12575],{"className":12574,"ariaHidden":147},[173],[123,12576,12578,12581],{"className":12577},[177],[123,12579],{"className":12580,"style":602},[181],[123,12582,435],{"className":12583,"style":505},[186,504]," va desde ",[123,12586,12588,12601],{"className":12587},[126],[123,12589,12591],{"className":12590},[130],[132,12592,12593],{"xmlns":134},[136,12594,12595,12599],{},[139,12596,12597],{},[142,12598,1349],{},[166,12600,1349],{"encoding":168},[123,12602,12604],{"className":12603,"ariaHidden":147},[173],[123,12605,12607,12610],{"className":12606},[177],[123,12608],{"className":12609,"style":252},[181],[123,12611,1349],{"className":12612},[186]," (nunca en cabeza) hasta ",[123,12615,12617,12630],{"className":12616},[126],[123,12618,12620],{"className":12619},[130],[132,12621,12622],{"xmlns":134},[136,12623,12624,12628],{},[139,12625,12626],{},[430,12627,432],{},[166,12629,432],{"encoding":168},[123,12631,12633],{"className":12632,"ariaHidden":147},[173],[123,12634,12636,12639],{"className":12635},[177],[123,12637],{"className":12638,"style":572},[181],[123,12640,432],{"className":12641},[186,504]," (en cabeza toda la partida), así que la fracción de tiempo por delante es simplemente ",[123,12644,12646,12684],{"className":12645},[126],[123,12647,12649],{"className":12648},[130],[132,12650,12651],{"xmlns":134},[136,12652,12653,12681],{},[139,12654,12655,12671,12673],{},[11266,12656,12657],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,12658,12659,12665],{},[139,12660,12661,12663],{},[142,12662,690],{},[430,12664,435],{},[139,12666,12667,12669],{},[142,12668,690],{},[430,12670,432],{},[145,12672,695],{},[11266,12674,12675],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,12676,12677,12679],{},[430,12678,435],{},[430,12680,432],{},[166,12682,12683],{"encoding":168},"\\tfrac{2k}{2n} = \\tfrac{k}{n}",[123,12685,12687,12776],{"className":12686,"ariaHidden":147},[173],[123,12688,12690,12693,12767,12770,12773],{"className":12689},[177],[123,12691],{"className":12692,"style":1560},[181],[123,12694,12696,12699,12764],{"className":12695},[186],[123,12697],{"className":12698},[458,992],[123,12700,12702],{"className":12701},[426],[123,12703,12705,12756],{"className":12704},[472,473],[123,12706,12708,12753],{"className":12707},[477],[123,12709,12711,12728,12736],{"className":12710,"style":1005},[481],[123,12712,12713,12716],{"style":1008},[123,12714],{"className":12715,"style":1012},[489],[123,12717,12719],{"className":12718},[494,495,496,497],[123,12720,12722,12725],{"className":12721},[186,497],[123,12723,690],{"className":12724},[186,497],[123,12726,432],{"className":12727},[186,504,497],[123,12729,12730,12733],{"style":1046},[123,12731],{"className":12732,"style":1012},[489],[123,12734],{"className":12735,"style":1054},[1053],[123,12737,12738,12741],{"style":1057},[123,12739],{"className":12740,"style":1012},[489],[123,12742,12744],{"className":12743},[494,495,496,497],[123,12745,12747,12750],{"className":12746},[186,497],[123,12748,690],{"className":12749},[186,497],[123,12751,435],{"className":12752,"style":505},[186,504,497],[123,12754,525],{"className":12755},[524],[123,12757,12759],{"className":12758},[477],[123,12760,12762],{"className":12761,"style":532},[481],[123,12763],{},[123,12765],{"className":12766},[538,992],[123,12768],{"className":12769,"style":781},[194],[123,12771,695],{"className":12772},[785],[123,12774],{"className":12775,"style":781},[194],[123,12777,12779,12782],{"className":12778},[177],[123,12780],{"className":12781,"style":1560},[181],[123,12783,12785,12788,12847],{"className":12784},[186],[123,12786],{"className":12787},[458,992],[123,12789,12791],{"className":12790},[426],[123,12792,12794,12839],{"className":12793},[472,473],[123,12795,12797,12836],{"className":12796},[477],[123,12798,12800,12814,12822],{"className":12799,"style":1005},[481],[123,12801,12802,12805],{"style":1008},[123,12803],{"className":12804,"style":1012},[489],[123,12806,12808],{"className":12807},[494,495,496,497],[123,12809,12811],{"className":12810},[186,497],[123,12812,432],{"className":12813},[186,504,497],[123,12815,12816,12819],{"style":1046},[123,12817],{"className":12818,"style":1012},[489],[123,12820],{"className":12821,"style":1054},[1053],[123,12823,12824,12827],{"style":1057},[123,12825],{"className":12826,"style":1012},[489],[123,12828,12830],{"className":12829},[494,495,496,497],[123,12831,12833],{"className":12832},[186,497],[123,12834,435],{"className":12835,"style":505},[186,504,497],[123,12837,525],{"className":12838},[524],[123,12840,12842],{"className":12841},[477],[123,12843,12845],{"className":12844,"style":532},[481],[123,12846],{},[123,12848],{"className":12849},[538,992],[30,12851,12852,12853,12881,12882,8603,12938,12989,12990,13018,13019,13047,13048,10867,13076,13104,13105,13047,13133,10867,13233,13261,13262,13363,13364,13464,13465,13564,13565,13568],{},"Comprobémoslo con un juego diminuto de solo ",[123,12854,12856,12869],{"className":12855},[126],[123,12857,12859],{"className":12858},[130],[132,12860,12861],{"xmlns":134},[136,12862,12863,12867],{},[139,12864,12865],{},[142,12866,151],{},[166,12868,151],{"encoding":168},[123,12870,12872],{"className":12871,"ariaHidden":147},[173],[123,12873,12875,12878],{"className":12874},[177],[123,12876],{"className":12877,"style":252},[181],[123,12879,151],{"className":12880},[186]," lanzamientos, de modo que ",[123,12883,12885,12905],{"className":12884},[126],[123,12886,12888],{"className":12887},[130],[132,12889,12890],{"xmlns":134},[136,12891,12892,12902],{},[139,12893,12894,12896,12898,12900],{},[142,12895,690],{},[430,12897,432],{},[145,12899,695],{},[142,12901,151],{},[166,12903,12904],{"encoding":168},"2n = 4",[123,12906,12908,12929],{"className":12907,"ariaHidden":147},[173],[123,12909,12911,12914,12917,12920,12923,12926],{"className":12910},[177],[123,12912],{"className":12913,"style":252},[181],[123,12915,690],{"className":12916},[186],[123,12918,432],{"className":12919},[186,504],[123,12921],{"className":12922,"style":781},[194],[123,12924,695],{"className":12925},[785],[123,12927],{"className":12928,"style":781},[194],[123,12930,12932,12935],{"className":12931},[177],[123,12933],{"className":12934,"style":252},[181],[123,12936,151],{"className":12937},[186],[123,12939,12941,12959],{"className":12940},[126],[123,12942,12944],{"className":12943},[130],[132,12945,12946],{"xmlns":134},[136,12947,12948,12956],{},[139,12949,12950,12952,12954],{},[430,12951,432],{},[145,12953,695],{},[142,12955,690],{},[166,12957,12958],{"encoding":168},"n = 2",[123,12960,12962,12980],{"className":12961,"ariaHidden":147},[173],[123,12963,12965,12968,12971,12974,12977],{"className":12964},[177],[123,12966],{"className":12967,"style":572},[181],[123,12969,432],{"className":12970},[186,504],[123,12972],{"className":12973,"style":781},[194],[123,12975,695],{"className":12976},[785],[123,12978],{"className":12979,"style":781},[194],[123,12981,12983,12986],{"className":12982},[177],[123,12984],{"className":12985,"style":252},[181],[123,12987,690],{"className":12988},[186],". Ahora ",[123,12991,12993,13006],{"className":12992},[126],[123,12994,12996],{"className":12995},[130],[132,12997,12998],{"xmlns":134},[136,12999,13000,13004],{},[139,13001,13002],{},[430,13003,435],{},[166,13005,435],{"encoding":168},[123,13007,13009],{"className":13008,"ariaHidden":147},[173],[123,13010,13012,13015],{"className":13011},[177],[123,13013],{"className":13014,"style":602},[181],[123,13016,435],{"className":13017,"style":505},[186,504]," solo puede valer ",[123,13020,13022,13035],{"className":13021},[126],[123,13023,13025],{"className":13024},[130],[132,13026,13027],{"xmlns":134},[136,13028,13029,13033],{},[139,13030,13031],{},[142,13032,1349],{},[166,13034,1349],{"encoding":168},[123,13036,13038],{"className":13037,"ariaHidden":147},[173],[123,13039,13041,13044],{"className":13040},[177],[123,13042],{"className":13043,"style":252},[181],[123,13045,1349],{"className":13046},[186],", ",[123,13049,13051,13064],{"className":13050},[126],[123,13052,13054],{"className":13053},[130],[132,13055,13056],{"xmlns":134},[136,13057,13058,13062],{},[139,13059,13060],{},[142,13061,80],{},[166,13063,80],{"encoding":168},[123,13065,13067],{"className":13066,"ariaHidden":147},[173],[123,13068,13070,13073],{"className":13069},[177],[123,13071],{"className":13072,"style":252},[181],[123,13074,80],{"className":13075},[186],[123,13077,13079,13092],{"className":13078},[126],[123,13080,13082],{"className":13081},[130],[132,13083,13084],{"xmlns":134},[136,13085,13086,13090],{},[139,13087,13088],{},[142,13089,690],{},[166,13091,690],{"encoding":168},[123,13093,13095],{"className":13094,"ariaHidden":147},[173],[123,13096,13098,13101],{"className":13097},[177],[123,13099],{"className":13100,"style":252},[181],[123,13102,690],{"className":13103},[186],", así que la fracción de tiempo en cabeza es ",[123,13106,13108,13121],{"className":13107},[126],[123,13109,13111],{"className":13110},[130],[132,13112,13113],{"xmlns":134},[136,13114,13115,13119],{},[139,13116,13117],{},[142,13118,1349],{},[166,13120,1349],{"encoding":168},[123,13122,13124],{"className":13123,"ariaHidden":147},[173],[123,13125,13127,13130],{"className":13126},[177],[123,13128],{"className":13129,"style":252},[181],[123,13131,1349],{"className":13132},[186],[123,13134,13136,13156],{"className":13135},[126],[123,13137,13139],{"className":13138},[130],[132,13140,13141],{"xmlns":134},[136,13142,13143,13153],{},[139,13144,13145],{},[11266,13146,13147],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,13148,13149,13151],{},[142,13150,80],{},[142,13152,690],{},[166,13154,13155],{"encoding":168},"\\tfrac12",[123,13157,13159],{"className":13158,"ariaHidden":147},[173],[123,13160,13162,13165],{"className":13161},[177],[123,13163],{"className":13164,"style":1751},[181],[123,13166,13168,13171,13230],{"className":13167},[186],[123,13169],{"className":13170},[458,992],[123,13172,13174],{"className":13173},[426],[123,13175,13177,13222],{"className":13176},[472,473],[123,13178,13180,13219],{"className":13179},[477],[123,13181,13183,13197,13205],{"className":13182,"style":1678},[481],[123,13184,13185,13188],{"style":1008},[123,13186],{"className":13187,"style":1012},[489],[123,13189,13191],{"className":13190},[494,495,496,497],[123,13192,13194],{"className":13193},[186,497],[123,13195,690],{"className":13196},[186,497],[123,13198,13199,13202],{"style":1046},[123,13200],{"className":13201,"style":1012},[489],[123,13203],{"className":13204,"style":1054},[1053],[123,13206,13207,13210],{"style":1057},[123,13208],{"className":13209,"style":1012},[489],[123,13211,13213],{"className":13212},[494,495,496,497],[123,13214,13216],{"className":13215},[186,497],[123,13217,80],{"className":13218},[186,497],[123,13220,525],{"className":13221},[524],[123,13223,13225],{"className":13224},[477],[123,13226,13228],{"className":13227,"style":532},[481],[123,13229],{},[123,13231],{"className":13232},[538,992],[123,13234,13236,13249],{"className":13235},[126],[123,13237,13239],{"className":13238},[130],[132,13240,13241],{"xmlns":134},[136,13242,13243,13247],{},[139,13244,13245],{},[142,13246,80],{},[166,13248,80],{"encoding":168},[123,13250,13252],{"className":13251,"ariaHidden":147},[173],[123,13253,13255,13258],{"className":13254},[177],[123,13256],{"className":13257,"style":252},[181],[123,13259,80],{"className":13260},[186],". Las tres probabilidades salen ",[123,13263,13265,13286],{"className":13264},[126],[123,13266,13268],{"className":13267},[130],[132,13269,13270],{"xmlns":134},[136,13271,13272,13283],{},[139,13273,13274],{},[11266,13275,13276],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,13277,13278,13280],{},[142,13279,156],{},[142,13281,13282],{},"16",[166,13284,13285],{"encoding":168},"\\tfrac{6}{16}",[123,13287,13289],{"className":13288,"ariaHidden":147},[173],[123,13290,13292,13295],{"className":13291},[177],[123,13293],{"className":13294,"style":1751},[181],[123,13296,13298,13301,13360],{"className":13297},[186],[123,13299],{"className":13300},[458,992],[123,13302,13304],{"className":13303},[426],[123,13305,13307,13352],{"className":13306},[472,473],[123,13308,13310,13349],{"className":13309},[477],[123,13311,13313,13327,13335],{"className":13312,"style":1678},[481],[123,13314,13315,13318],{"style":1008},[123,13316],{"className":13317,"style":1012},[489],[123,13319,13321],{"className":13320},[494,495,496,497],[123,13322,13324],{"className":13323},[186,497],[123,13325,13282],{"className":13326},[186,497],[123,13328,13329,13332],{"style":1046},[123,13330],{"className":13331,"style":1012},[489],[123,13333],{"className":13334,"style":1054},[1053],[123,13336,13337,13340],{"style":1057},[123,13338],{"className":13339,"style":1012},[489],[123,13341,13343],{"className":13342},[494,495,496,497],[123,13344,13346],{"className":13345},[186,497],[123,13347,156],{"className":13348},[186,497],[123,13350,525],{"className":13351},[524],[123,13353,13355],{"className":13354},[477],[123,13356,13358],{"className":13357,"style":532},[481],[123,13359],{},[123,13361],{"className":13362},[538,992]," para «nunca por delante», ",[123,13365,13367,13387],{"className":13366},[126],[123,13368,13370],{"className":13369},[130],[132,13371,13372],{"xmlns":134},[136,13373,13374,13384],{},[139,13375,13376],{},[11266,13377,13378],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,13379,13380,13382],{},[142,13381,151],{},[142,13383,13282],{},[166,13385,13386],{"encoding":168},"\\tfrac{4}{16}",[123,13388,13390],{"className":13389,"ariaHidden":147},[173],[123,13391,13393,13396],{"className":13392},[177],[123,13394],{"className":13395,"style":1751},[181],[123,13397,13399,13402,13461],{"className":13398},[186],[123,13400],{"className":13401},[458,992],[123,13403,13405],{"className":13404},[426],[123,13406,13408,13453],{"className":13407},[472,473],[123,13409,13411,13450],{"className":13410},[477],[123,13412,13414,13428,13436],{"className":13413,"style":1678},[481],[123,13415,13416,13419],{"style":1008},[123,13417],{"className":13418,"style":1012},[489],[123,13420,13422],{"className":13421},[494,495,496,497],[123,13423,13425],{"className":13424},[186,497],[123,13426,13282],{"className":13427},[186,497],[123,13429,13430,13433],{"style":1046},[123,13431],{"className":13432,"style":1012},[489],[123,13434],{"className":13435,"style":1054},[1053],[123,13437,13438,13441],{"style":1057},[123,13439],{"className":13440,"style":1012},[489],[123,13442,13444],{"className":13443},[494,495,496,497],[123,13445,13447],{"className":13446},[186,497],[123,13448,151],{"className":13449},[186,497],[123,13451,525],{"className":13452},[524],[123,13454,13456],{"className":13455},[477],[123,13457,13459],{"className":13458,"style":532},[481],[123,13460],{},[123,13462],{"className":13463},[538,992]," para «por delante exactamente la mitad del tiempo» y ",[123,13466,13468,13487],{"className":13467},[126],[123,13469,13471],{"className":13470},[130],[132,13472,13473],{"xmlns":134},[136,13474,13475,13485],{},[139,13476,13477],{},[11266,13478,13479],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,13480,13481,13483],{},[142,13482,156],{},[142,13484,13282],{},[166,13486,13285],{"encoding":168},[123,13488,13490],{"className":13489,"ariaHidden":147},[173],[123,13491,13493,13496],{"className":13492},[177],[123,13494],{"className":13495,"style":1751},[181],[123,13497,13499,13502,13561],{"className":13498},[186],[123,13500],{"className":13501},[458,992],[123,13503,13505],{"className":13504},[426],[123,13506,13508,13553],{"className":13507},[472,473],[123,13509,13511,13550],{"className":13510},[477],[123,13512,13514,13528,13536],{"className":13513,"style":1678},[481],[123,13515,13516,13519],{"style":1008},[123,13517],{"className":13518,"style":1012},[489],[123,13520,13522],{"className":13521},[494,495,496,497],[123,13523,13525],{"className":13524},[186,497],[123,13526,13282],{"className":13527},[186,497],[123,13529,13530,13533],{"style":1046},[123,13531],{"className":13532,"style":1012},[489],[123,13534],{"className":13535,"style":1054},[1053],[123,13537,13538,13541],{"style":1057},[123,13539],{"className":13540,"style":1012},[489],[123,13542,13544],{"className":13543},[494,495,496,497],[123,13545,13547],{"className":13546},[186,497],[123,13548,156],{"className":13549},[186,497],[123,13551,525],{"className":13552},[524],[123,13554,13556],{"className":13555},[477],[123,13557,13559],{"className":13558,"style":532},[481],[123,13560],{},[123,13562],{"className":13563},[538,992]," para «por delante toda la partida». Incluso en este ejemplo de juguete la U ya está ahí: los dos extremos son cada uno ",[51,13566,13567],{},"más"," probables que el centro de apariencia justa. Alarga el juego y la U solo se hace más profunda.",[30,13570,13571,13572,13575],{},"Y aquí viene la parte que siempre nos saca una sonrisa — literalmente. Dibuja estas probabilidades para un juego pequeño y obtendrás solo un puñado de puntos que trazan la U. Como los valores de los dos extremos se alzan muy por encima del centro hundido, esos puntos de los extremos parecen un par de ojos bien abiertos sobre una boca baja y curvada: la distribución del arcoseno parece estar ",[51,13573,13574],{},"sonriéndonos",". Es una broma de lo más apropiada — la curva cuyo mensaje es que una moneda justa casi siempre parecerá injusta luce una cara que parece bastante satisfecha de ello.",[30,13577,13578],{},[13579,13580],"img",{"alt":13581,"src":13582},"Probabilidades discretas del arcoseno p(2k,2n) frente a la fracción k\u002Fn para un número pequeño de lanzamientos; los pocos puntos forman una U que recuerda a una cara sonriente (los extremos altos son los ojos)","\u002Fimg\u002Fuploads\u002FPlot-of-the-probabilities-p-2k-2n-that-a-particle-spends-a-fraction-k-n-of-its-time-on.png",[30,13584,13585,13586,13589],{},"La parte verdaderamente mágica es que la ",[42,13587,13588],{},"misma"," ley del arcoseno aparece en tres preguntas distintas sobre el mismísimo paseo:",[72,13591,13592,13602,13612],{},[75,13593,13594,13597,13598,13601],{},[42,13595,13596],{},"Primera ley del arcoseno"," — la ",[51,13599,13600],{},"fracción de tiempo pasada en cabeza"," (por encima de cero). Ganan los extremos.",[75,13603,13604,13607,13608,13611],{},[42,13605,13606],{},"Segunda ley del arcoseno"," — el ",[51,13609,13610],{},"momento en que el paseo alcanza su máximo",". Es más probable que la cima ocurra cerca del principio o del final, y menos probable en el medio.",[75,13613,13614,13597,13617,13620],{},[42,13615,13616],{},"Tercera ley del arcoseno",[51,13618,13619],{},"última vez que el paseo toca el cero"," (el empate final). De nuevo: un empate final temprano o tardío es mucho más probable que uno a mitad de camino.",[30,13622,13623],{},"Tres preguntas distintas, una curva rara. Esa repetición es lo que hace que las leyes del arcoseno parezcan una pieza de maquinaria oculta dentro de la propia aleatoriedad.",[30,13625,13626,13627,13630,13631,13636,13637,13640,13641,13644,13645,13673,13674,13869,13870,13977],{},"Una curiosidad sobre el ",[42,13628,13629],{},"arcoseno",". Ya nos hemos cruzado con la palabra «arcoseno» en este blog, en ",[2780,13632,13635],{"href":13633,"rel":13634},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fblog\u002Flanzando-una-moneda-hasta-obtener-pi\u002F",[2784],"el artículo sobre lanzar una moneda hasta llegar a π",". Aquel hablaba de la ",[51,13638,13639],{},"función"," arcoseno de la trigonometría; este habla de la ",[51,13642,13643],{},"distribución"," del arcoseno. Son objetos distintos — pero no desconocidos. La distribución se gana su nombre porque la probabilidad de liderar menos de una fracción ",[123,13646,13648,13661],{"className":13647},[126],[123,13649,13651],{"className":13650},[130],[132,13652,13653],{"xmlns":134},[136,13654,13655,13659],{},[139,13656,13657],{},[430,13658,6444],{},[166,13660,6444],{"encoding":168},[123,13662,13664],{"className":13663,"ariaHidden":147},[173],[123,13665,13667,13670],{"className":13666},[177],[123,13668],{"className":13669,"style":572},[181],[123,13671,6444],{"className":13672},[186,504]," del tiempo es exactamente ",[123,13675,13677,13716],{"className":13676},[126],[123,13678,13680],{"className":13679},[130],[132,13681,13682],{"xmlns":134},[136,13683,13684,13713],{},[139,13685,13686,13694,13697,13700,13703],{},[11266,13687,13688],{"scriptlevel":1349,"displaystyle":868},[426,13689,13690,13692],{},[142,13691,690],{},[430,13693,11552],{},[430,13695,13696],{},"arcsin",[145,13698,13699],{},"⁡",[1901,13701,13702],{}," ⁣",[139,13704,13705,13707,13711],{},[145,13706,424],{"fence":147},[11554,13708,13709],{},[430,13710,6444],{},[145,13712,438],{"fence":147},[166,13714,13715],{"encoding":168},"\\tfrac{2}{\\pi}\\arcsin\\!\\left(\\sqrt{x}\\right)",[123,13717,13719],{"className":13718,"ariaHidden":147},[173],[123,13720,13722,13725,13793,13796,13799,13803,13806],{"className":13721},[177],[123,13723],{"className":13724,"style":1751},[181],[123,13726,13728,13731,13790],{"className":13727},[186],[123,13729],{"className":13730},[458,992],[123,13732,13734],{"className":13733},[426],[123,13735,13737,13782],{"className":13736},[472,473],[123,13738,13740,13779],{"className":13739},[477],[123,13741,13743,13757,13765],{"className":13742,"style":1678},[481],[123,13744,13745,13748],{"style":1008},[123,13746],{"className":13747,"style":1012},[489],[123,13749,13751],{"className":13750},[494,495,496,497],[123,13752,13754],{"className":13753},[186,497],[123,13755,11552],{"className":13756,"style":11644},[186,504,497],[123,13758,13759,13762],{"style":1046},[123,13760],{"className":13761,"style":1012},[489],[123,13763],{"className":13764,"style":1054},[1053],[123,13766,13767,13770],{"style":1057},[123,13768],{"className":13769,"style":1012},[489],[123,13771,13773],{"className":13772},[494,495,496,497],[123,13774,13776],{"className":13775},[186,497],[123,13777,690],{"className":13778},[186,497],[123,13780,525],{"className":13781},[524],[123,13783,13785],{"className":13784},[477],[123,13786,13788],{"className":13787,"style":532},[481],[123,13789],{},[123,13791],{"className":13792},[538,992],[123,13794],{"className":13795,"style":195},[194],[123,13797,13696],{"className":13798},[8118],[123,13800],{"className":13801,"style":13802},[194],"margin-right:-0.1667em;",[123,13804],{"className":13805,"style":195},[194],[123,13807,13809,13812,13866],{"className":13808},[2195],[123,13810,424],{"className":13811,"style":460},[458,459],[123,13813,13815],{"className":13814},[186,11648],[123,13816,13818,13857],{"className":13817},[472,473],[123,13819,13821,13854],{"className":13820},[477],[123,13822,13825,13839],{"className":13823,"style":13824},[481],"height:0.8003em;",[123,13826,13829,13832],{"className":13827,"style":13828},[11662],"top:-3em;",[123,13830],{"className":13831,"style":1012},[489],[123,13833,13836],{"className":13834,"style":13835},[186],"padding-left:0.833em;",[123,13837,6444],{"className":13838},[186,504],[123,13840,13842,13845],{"style":13841},"top:-2.7603em;",[123,13843],{"className":13844,"style":1012},[489],[123,13846,13849],{"className":13847,"style":13848},[11699],"min-width:0.853em;height:1.08em;",[11702,13850,13852],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":13851,"viewBox":11707,"preserveAspectRatio":11708},"1.08em",[11710,13853],{"d":11712},[123,13855,525],{"className":13856},[524],[123,13858,13860],{"className":13859},[477],[123,13861,13864],{"className":13862,"style":13863},[481],"height:0.2397em;",[123,13865],{},[123,13867,438],{"className":13868,"style":460},[538,459],", la función arcoseno disfrazada. Y ambas historias están secretamente impulsadas por el mismo número, el coeficiente binomial central ",[123,13871,13873,13899],{"className":13872},[126],[123,13874,13876],{"className":13875},[130],[132,13877,13878],{"xmlns":134},[136,13879,13880,13896],{},[139,13881,13882,13884,13894],{},[145,13883,424],{"fence":147},[426,13885,13886,13892],{"linethickness":428},[139,13887,13888,13890],{},[142,13889,690],{},[430,13891,432],{},[430,13893,432],{},[145,13895,438],{"fence":147},[166,13897,13898],{"encoding":168},"\\binom{2n}{n}",[123,13900,13902],{"className":13901,"ariaHidden":147},[173],[123,13903,13905,13908],{"className":13904},[177],[123,13906],{"className":13907,"style":710},[181],[123,13909,13911,13917,13971],{"className":13910},[186],[123,13912,13914],{"className":13913,"style":460},[458,459],[123,13915,424],{"className":13916},[464,465],[123,13918,13920],{"className":13919},[426],[123,13921,13923,13963],{"className":13922},[472,473],[123,13924,13926,13960],{"className":13925},[477],[123,13927,13929,13943],{"className":13928,"style":732},[481],[123,13930,13931,13934],{"style":485},[123,13932],{"className":13933,"style":490},[489],[123,13935,13937],{"className":13936},[494,495,496,497],[123,13938,13940],{"className":13939},[186,497],[123,13941,432],{"className":13942},[186,504,497],[123,13944,13945,13948],{"style":508},[123,13946],{"className":13947,"style":490},[489],[123,13949,13951],{"className":13950},[494,495,496,497],[123,13952,13954,13957],{"className":13953},[186,497],[123,13955,690],{"className":13956},[186,497],[123,13958,432],{"className":13959},[186,504,497],[123,13961,525],{"className":13962},[524],[123,13964,13966],{"className":13965},[477],[123,13967,13969],{"className":13968,"style":532},[481],[123,13970],{},[123,13972,13974],{"className":13973,"style":460},[538,459],[123,13975,438],{"className":13976},[464,465],". La aleatoriedad no deja de reutilizar sus piezas favoritas.",[34,13979,13981],{"id":13980},"lo-que-el-teorema-central-del-límite-no-nos-cuenta","Lo que el Teorema Central del Límite no nos cuenta",[30,13983,13984,13985],{},"Llegados a este punto, un\u002Fa lector\u002Fa atento\u002Fa siente venir una contradicción. Dijimos que el marcador final sigue una campana ordenada, centrada en el empate. Ahora decimos que el liderazgo casi nunca se reparte por igual. ",[42,13986,13987],{},"¿Está mal el Teorema Central del Límite?",[30,13989,13990],{},"No. Las dos leyes responden a dos preguntas completamente distintas sobre la misma moneda. Esta es la separación entre viaje y destino que comentábamos al principio, hecha precisa:",[2633,13992,13993,14003],{},[2636,13994,13995],{},[2639,13996,13997,14000],{},[2642,13998,13999],{"align":2900},"Lo que medimos",[2642,14001,14002],{"align":2900},"Qué ley lo gobierna",[2736,14004,14005,14013,14021,14028],{},[2639,14006,14007,14010],{},[2741,14008,14009],{"align":2900},"Marcador final (dónde acaba el paseo)",[2741,14011,14012],{"align":2900},"Teorema Central del Límite — campana",[2639,14014,14015,14018],{},[2741,14016,14017],{"align":2900},"Fracción del tiempo en cabeza",[2741,14019,14020],{"align":2900},"Ley del arcoseno — forma de U",[2639,14022,14023,14026],{},[2741,14024,14025],{"align":2900},"Momento del liderazgo máximo",[2741,14027,14020],{"align":2900},[2639,14029,14030,14033],{},[2741,14031,14032],{"align":2900},"Instante del último empate",[2741,14034,14020],{"align":2900},[30,14036,14037,14038,14041],{},"El mismo proceso. Observables distintos. Respuestas distintas. La moneda puede acabar casi nivelada (la campana, sobre el destino) ",[51,14039,14040],{},"y"," pasar casi todo el juego desequilibrada (la ley del arcoseno, sobre el viaje). No hay contradicción — solo dos verdades que viven en el hueco que marcamos al principio.",[34,14043,14045],{"id":14044},"una-reflexión-final-sobre-el-azar","Una reflexión final sobre el azar",[30,14047,14048,14049,14052],{},"¿Por qué la forma de U nos resulta tan contraintuitiva? Porque somos contadores de historias. No vivimos un año, ni un juego, ni una vida como un único marcador final. Lo vivimos momento a momento, como un ",[51,14050,14051],{},"camino",". Y un camino que se queda en un lado durante una eternidad nos suena a impulso, a racha, a mano caliente, a destino — incluso cuando no es más que una moneda justa haciendo exactamente lo que hacen las monedas justas.",[30,14054,14055,14056,14059,14060,14065,14066,14069],{},"Nuestra intuición falla en ",[51,14057,14058],{},"ambos"," extremos. Subestimamos gravemente cuánto tiempo se mantendrá de un solo lado una moneda justa corriente — y sobrestimamos igual de mal las rachas verdaderamente espectaculares. Como explica Evelyn Lamb en ",[2780,14061,14064],{"href":14062,"rel":14063},"https:\u002F\u002Fwww.scientificamerican.com\u002Fblog\u002Froots-of-unity\u002Fhas-anyone-ever-flipped-heads-76-times-in-a-row\u002F",[2784],"un artículo genial sobre si alguien ha sacado alguna vez 76 caras seguidas",", las rachas que ",[51,14067,14068],{},"parecen"," que deberían aparecer de vez en cuando son tan astronómicamente improbables que, entre todas las monedas jamás lanzadas, podemos presumir que nunca han ocurrido.",[30,14071,14072,14073,14076],{},"El Teorema Central del Límite promete que la aleatoriedad se equilibra a largo plazo. Las leyes del arcoseno añaden un aviso más silencioso y más extraño: ",[42,14074,14075],{},"ese equilibrio puede permanecer completamente invisible mientras está ocurriendo."," Las cuentas solo se igualan cuando te alejas lo suficiente para ver el conjunto entero de una sola vez.",[30,14078,14079],{},"Así que la próxima vez que un proceso justo parezca injusto — una moneda en racha, una temporada en la que nada te sale bien — acuérdate de la molécula en el río. No está atascada. No está rota. Simplemente nunca prometió quedarse en el centro. La vida son rachas y como decía Einstein, La vida es como una bicicleta; para mantener el equilibrio tienes que seguir adelante».",[30,14081,10698,14082,14085],{},[2780,14083,10703],{"href":10701,"rel":14084},[2784]," y observa cómo una moneda justa parece injusta y cómo rachas de resultados repetidos son mucho más probables de lo que cabría esperar.",{"title":105,"searchDepth":10706,"depth":10706,"links":14087},[14088,14089,14090,14091,14092,14093,14094],{"id":10783,"depth":10706,"text":10784},{"id":10918,"depth":10706,"text":10919},{"id":11030,"depth":10706,"text":11031},{"id":11142,"depth":10706,"text":11143},{"id":11451,"depth":10706,"text":11452},{"id":13980,"depth":10706,"text":13981},{"id":14044,"depth":10706,"text":14045},"2026-06-06T10:00:00Z","Una moneda justa tiende a acabar casi en empate, pero pasa casi toda su vida con una cara en cabeza. La historia de los paseos aleatorios, el movimiento browniano y las leyes del arcoseno.",{"type":23,"value":14098},[14099,14101],[26,14100,10747],{"id":10752},[30,14102,10755],{},"advanced",{},"\u002Fblog\u002Ffair-coin-looks-unfair.es",{"title":10747,"description":14096},"moneda-justa-paseo-aleatorio-ley-del-arcoseno","blog\u002Ffair-coin-looks-unfair.es",[10870,11052,10780,14110,14111,14112,14113,14114,14115,14116,14117],"teorema central del límite","campana de Gauss","distribución normal","distribución binomial","distribución de probabilidad","tablero de Galton","moneda justa","rachas","5jIN2vhZ6FLlpRcyvxzqw_e3VnvvMdkSTijNt-iFL9A",{"id":14120,"title":14121,"_locale":8,"author":3,"body":14122,"date":26898,"description":26899,"excerpt":26900,"extension":10730,"level":14103,"meta":27046,"navigation":10733,"path":27047,"published":10733,"seo":27048,"series":15,"seriesOrder":10712,"slug":27049,"stem":27050,"tags":27051,"__hash__":27053},"blog\u002Fblog\u002Fpi-coin-flips-catalan-numbers.es.md","Lanzando una moneda hasta que obtenemos PI",{"type":23,"value":14123,"toc":26884},[14124,14127,14242,14278,14287,14290,14309,14312,14603,14607,14622,14626,14629,14667,14887,14891,14898,14943,15288,15292,15299,15306,15309,15315,15390,15514,15517,15523,15642,15679,15817,16164,16168,16175,16179,17546,17549,17969,18066,18069,18073,18211,18240,18243,18274,18542,18844,18847,19356,19862,20126,20133,20137,20338,20342,20401,21193,21252,21678,21681,23115,23288,23292,23295,23555,23818,24331,24334,25105,25111,25609,25698,25752,26120,26232,26372,26375,26683,26728,26731,26767,26772,26774,26777,26808,26840,26843,26875,26878],[26,14125,14121],{"id":14126},"lanzando-una-moneda-hasta-que-obtenemos-pi",[30,14128,14129,14130,14135,14136,14141,14142,827],{},"Matt Parker, del canal ",[2780,14131,14134],{"href":14132,"rel":14133},"https:\u002F\u002Fwww.youtube.com\u002F@standupmaths",[2784],"Stand-up Maths",", publicó recientemente ",[2780,14137,14140],{"href":14138,"rel":14139},"https:\u002F\u002Fwww.youtube.com\u002Fwatch?v=kahGSss6SsU",[2784],"un vídeo"," con una premisa tan simple de enunciar como difícil de creer: si lanzamos una moneda repetidamente hasta que haya más caras que cruces, y calculamos la proporción media de caras respecto al total de lanzamientos... el resultado es ",[123,14143,14145,14163],{"className":14144},[126],[123,14146,14148],{"className":14147},[130],[132,14149,14150],{"xmlns":134},[136,14151,14152,14160],{},[139,14153,14154],{},[426,14155,14156,14158],{},[430,14157,11552],{},[142,14159,151],{},[166,14161,14162],{"encoding":168},"\\frac{\\pi}{4}",[123,14164,14166],{"className":14165,"ariaHidden":147},[173],[123,14167,14169,14173],{"className":14168},[177],[123,14170],{"className":14171,"style":14172},[181],"height:1.0404em;vertical-align:-0.345em;",[123,14174,14176,14179,14239],{"className":14175},[186],[123,14177],{"className":14178},[458,992],[123,14180,14182],{"className":14181},[426],[123,14183,14185,14231],{"className":14184},[472,473],[123,14186,14188,14228],{"className":14187},[477],[123,14189,14192,14206,14214],{"className":14190,"style":14191},[481],"height:0.6954em;",[123,14193,14194,14197],{"style":1008},[123,14195],{"className":14196,"style":1012},[489],[123,14198,14200],{"className":14199},[494,495,496,497],[123,14201,14203],{"className":14202},[186,497],[123,14204,151],{"className":14205},[186,497],[123,14207,14208,14211],{"style":1046},[123,14209],{"className":14210,"style":1012},[489],[123,14212],{"className":14213,"style":1054},[1053],[123,14215,14216,14219],{"style":1057},[123,14217],{"className":14218,"style":1012},[489],[123,14220,14222],{"className":14221},[494,495,496,497],[123,14223,14225],{"className":14224},[186,497],[123,14226,11552],{"className":14227,"style":11644},[186,504,497],[123,14229,525],{"className":14230},[524],[123,14232,14234],{"className":14233},[477],[123,14235,14237],{"className":14236,"style":532},[481],[123,14238],{},[123,14240],{"className":14241},[538,992],[30,14243,14244,14245,10904,14274,14277],{},"Sí, ",[123,14246,14248,14262],{"className":14247},[126],[123,14249,14251],{"className":14250},[130],[132,14252,14253],{"xmlns":134},[136,14254,14255,14259],{},[139,14256,14257],{},[430,14258,11552],{},[166,14260,14261],{"encoding":168},"\\pi",[123,14263,14265],{"className":14264,"ariaHidden":147},[173],[123,14266,14268,14271],{"className":14267},[177],[123,14269],{"className":14270,"style":572},[181],[123,14272,11552],{"className":14273,"style":11644},[186,504],[51,14275,14276],{},"El número de los círculos",". Escondido dentro de lanzamientos de moneda.",[30,14279,14280,14281,14286],{},"En nuestro ",[2780,14282,14285],{"href":14283,"rel":14284},"https:\u002F\u002Fflipthecoin.app\u002Fes\u002Fblog\u002Ftriangulo-de-tartaglia-combinatoria-y-probabilidad\u002F",[2784],"artículo anterior sobre el triángulo de Tartaglia"," vimos cómo un triángulo de sumas sencillas contenía, en su interior, la combinatoria, el álgebra y la probabilidad. Hoy vamos a tirar del mismo hilo. Y nos va a llevar a un lugar que nadie esperaba.",[30,14288,14289],{},"Las reglas del experimento son sencillas:",[72,14291,14292,14295,14302],{},[75,14293,14294],{},"Lanzamos una moneda justa repetidamente.",[75,14296,14297,14298,14301],{},"Nos detenemos ",[42,14299,14300],{},"en el momento exacto"," en que el número de caras supera al de cruces.",[75,14303,14304,14305,14308],{},"Anotamos la ",[42,14306,14307],{},"proporción de caras"," respecto al total de lanzamientos de esa secuencia.",[30,14310,14311],{},"La pregunta del artículo será: si repetimos este proceso infinitas veces y calculamos la media de todas esas proporciones... ¿qué obtenemos?",[30,14313,14314,14315,14435,14436,14534,14535,8603,14574,14602],{},"Antes de responder, pensemos en qué rango puede moverse esa proporción. En el mejor de los casos, el primer lanzamiento es cara: paramos inmediatamente y la proporción es ",[123,14316,14318,14340],{"className":14317},[126],[123,14319,14321],{"className":14320},[130],[132,14322,14323],{"xmlns":134},[136,14324,14325,14337],{},[139,14326,14327,14333,14335],{},[426,14328,14329,14331],{},[142,14330,80],{},[142,14332,80],{},[145,14334,695],{},[142,14336,80],{},[166,14338,14339],{"encoding":168},"\\frac{1}{1} = 1",[123,14341,14343,14426],{"className":14342,"ariaHidden":147},[173],[123,14344,14346,14349,14417,14420,14423],{"className":14345},[177],[123,14347],{"className":14348,"style":1751},[181],[123,14350,14352,14355,14414],{"className":14351},[186],[123,14353],{"className":14354},[458,992],[123,14356,14358],{"className":14357},[426],[123,14359,14361,14406],{"className":14360},[472,473],[123,14362,14364,14403],{"className":14363},[477],[123,14365,14367,14381,14389],{"className":14366,"style":1678},[481],[123,14368,14369,14372],{"style":1008},[123,14370],{"className":14371,"style":1012},[489],[123,14373,14375],{"className":14374},[494,495,496,497],[123,14376,14378],{"className":14377},[186,497],[123,14379,80],{"className":14380},[186,497],[123,14382,14383,14386],{"style":1046},[123,14384],{"className":14385,"style":1012},[489],[123,14387],{"className":14388,"style":1054},[1053],[123,14390,14391,14394],{"style":1057},[123,14392],{"className":14393,"style":1012},[489],[123,14395,14397],{"className":14396},[494,495,496,497],[123,14398,14400],{"className":14399},[186,497],[123,14401,80],{"className":14402},[186,497],[123,14404,525],{"className":14405},[524],[123,14407,14409],{"className":14408},[477],[123,14410,14412],{"className":14411,"style":532},[481],[123,14413],{},[123,14415],{"className":14416},[538,992],[123,14418],{"className":14419,"style":781},[194],[123,14421,695],{"className":14422},[785],[123,14424],{"className":14425,"style":781},[194],[123,14427,14429,14432],{"className":14428},[177],[123,14430],{"className":14431,"style":252},[181],[123,14433,80],{"className":14434},[186]," (el 100 % son caras). En el peor, necesitamos miles de lanzamientos hasta que las caras superen a las cruces por uno, y la proporción será apenas superior a ",[123,14437,14439,14457],{"className":14438},[126],[123,14440,14442],{"className":14441},[130],[132,14443,14444],{"xmlns":134},[136,14445,14446,14454],{},[139,14447,14448],{},[426,14449,14450,14452],{},[142,14451,80],{},[142,14453,690],{},[166,14455,14456],{"encoding":168},"\\frac{1}{2}",[123,14458,14460],{"className":14459,"ariaHidden":147},[173],[123,14461,14463,14466],{"className":14462},[177],[123,14464],{"className":14465,"style":1751},[181],[123,14467,14469,14472,14531],{"className":14468},[186],[123,14470],{"className":14471},[458,992],[123,14473,14475],{"className":14474},[426],[123,14476,14478,14523],{"className":14477},[472,473],[123,14479,14481,14520],{"className":14480},[477],[123,14482,14484,14498,14506],{"className":14483,"style":1678},[481],[123,14485,14486,14489],{"style":1008},[123,14487],{"className":14488,"style":1012},[489],[123,14490,14492],{"className":14491},[494,495,496,497],[123,14493,14495],{"className":14494},[186,497],[123,14496,690],{"className":14497},[186,497],[123,14499,14500,14503],{"style":1046},[123,14501],{"className":14502,"style":1012},[489],[123,14504],{"className":14505,"style":1054},[1053],[123,14507,14508,14511],{"style":1057},[123,14509],{"className":14510,"style":1012},[489],[123,14512,14514],{"className":14513},[494,495,496,497],[123,14515,14517],{"className":14516},[186,497],[123,14518,80],{"className":14519},[186,497],[123,14521,525],{"className":14522},[524],[123,14524,14526],{"className":14525},[477],[123,14527,14529],{"className":14528,"style":532},[481],[123,14530],{},[123,14532],{"className":14533},[538,992],". Así que la media estará en algún punto entre ",[123,14536,14538,14553],{"className":14537},[126],[123,14539,14541],{"className":14540},[130],[132,14542,14543],{"xmlns":134},[136,14544,14545,14550],{},[139,14546,14547],{},[142,14548,14549],{},"0,5",[166,14551,14552],{"encoding":168},"0{,}5",[123,14554,14556],{"className":14555,"ariaHidden":147},[173],[123,14557,14559,14562,14565,14571],{"className":14558},[177],[123,14560],{"className":14561,"style":182},[181],[123,14563,1349],{"className":14564},[186],[123,14566,14568],{"className":14567},[186],[123,14569,148],{"className":14570},[190],[123,14572,2761],{"className":14573},[186],[123,14575,14577,14590],{"className":14576},[126],[123,14578,14580],{"className":14579},[130],[132,14581,14582],{"xmlns":134},[136,14583,14584,14588],{},[139,14585,14586],{},[142,14587,80],{},[166,14589,80],{"encoding":168},[123,14591,14593],{"className":14592,"ariaHidden":147},[173],[123,14594,14596,14599],{"className":14595},[177],[123,14597],{"className":14598,"style":252},[181],[123,14600,80],{"className":14601},[186],". Veamos exactamente dónde.",[34,14604,14606],{"id":14605},"construyendo-las-secuencias-paso-a-paso","Construyendo las secuencias, paso a paso",[30,14608,14609,14610,14613,14614,14617,14618,827],{},"Vamos a construir las secuencias posibles empezando por las más cortas. Usaremos ",[42,14611,14612],{},"O"," para cara y ",[42,14615,14616],{},"X"," para cruz — la misma notación que usamos en ",[2780,14619,14621],{"href":10701,"rel":14620},[2784],"nuestra herramienta de lanzamiento",[395,14623,14625],{"id":14624},"longitud-1","Longitud 1",[30,14627,14628],{},"La secuencia más corta posible: lanzamos una vez y sale cara.",[30,14630,14632],{"className":14631},[409],[123,14633,14635,14650],{"className":14634},[126],[123,14636,14638],{"className":14637},[130],[132,14639,14640],{"xmlns":134},[136,14641,14642,14647],{},[139,14643,14644],{},[1901,14645,14612],{"mathvariant":14646},"bold",[166,14648,14649],{"encoding":168},"\\textbf{O}",[123,14651,14653],{"className":14652,"ariaHidden":147},[173],[123,14654,14656,14660],{"className":14655},[177],[123,14657],{"className":14658,"style":14659},[181],"height:0.6861em;",[123,14661,14663],{"className":14662},[186,104],[123,14664,14612],{"className":14665},[186,14666],"textbf",[30,14668,14669,14670,14789,14790,827],{},"Paramos. Tenemos 1 cara y 0 cruces. La proporción es ",[123,14671,14673,14694],{"className":14672},[126],[123,14674,14676],{"className":14675},[130],[132,14677,14678],{"xmlns":134},[136,14679,14680,14692],{},[139,14681,14682,14688,14690],{},[426,14683,14684,14686],{},[142,14685,80],{},[142,14687,80],{},[145,14689,695],{},[142,14691,80],{},[166,14693,14339],{"encoding":168},[123,14695,14697,14780],{"className":14696,"ariaHidden":147},[173],[123,14698,14700,14703,14771,14774,14777],{"className":14699},[177],[123,14701],{"className":14702,"style":1751},[181],[123,14704,14706,14709,14768],{"className":14705},[186],[123,14707],{"className":14708},[458,992],[123,14710,14712],{"className":14711},[426],[123,14713,14715,14760],{"className":14714},[472,473],[123,14716,14718,14757],{"className":14717},[477],[123,14719,14721,14735,14743],{"className":14720,"style":1678},[481],[123,14722,14723,14726],{"style":1008},[123,14724],{"className":14725,"style":1012},[489],[123,14727,14729],{"className":14728},[494,495,496,497],[123,14730,14732],{"className":14731},[186,497],[123,14733,80],{"className":14734},[186,497],[123,14736,14737,14740],{"style":1046},[123,14738],{"className":14739,"style":1012},[489],[123,14741],{"className":14742,"style":1054},[1053],[123,14744,14745,14748],{"style":1057},[123,14746],{"className":14747,"style":1012},[489],[123,14749,14751],{"className":14750},[494,495,496,497],[123,14752,14754],{"className":14753},[186,497],[123,14755,80],{"className":14756},[186,497],[123,14758,525],{"className":14759},[524],[123,14761,14763],{"className":14762},[477],[123,14764,14766],{"className":14765,"style":532},[481],[123,14767],{},[123,14769],{"className":14770},[538,992],[123,14772],{"className":14773,"style":781},[194],[123,14775,695],{"className":14776},[785],[123,14778],{"className":14779,"style":781},[194],[123,14781,14783,14786],{"className":14782},[177],[123,14784],{"className":14785,"style":252},[181],[123,14787,80],{"className":14788},[186]," y la probabilidad de que esto ocurra es ",[123,14791,14793,14810],{"className":14792},[126],[123,14794,14796],{"className":14795},[130],[132,14797,14798],{"xmlns":134},[136,14799,14800,14808],{},[139,14801,14802],{},[426,14803,14804,14806],{},[142,14805,80],{},[142,14807,690],{},[166,14809,14456],{"encoding":168},[123,14811,14813],{"className":14812,"ariaHidden":147},[173],[123,14814,14816,14819],{"className":14815},[177],[123,14817],{"className":14818,"style":1751},[181],[123,14820,14822,14825,14884],{"className":14821},[186],[123,14823],{"className":14824},[458,992],[123,14826,14828],{"className":14827},[426],[123,14829,14831,14876],{"className":14830},[472,473],[123,14832,14834,14873],{"className":14833},[477],[123,14835,14837,14851,14859],{"className":14836,"style":1678},[481],[123,14838,14839,14842],{"style":1008},[123,14840],{"className":14841,"style":1012},[489],[123,14843,14845],{"className":14844},[494,495,496,497],[123,14846,14848],{"className":14847},[186,497],[123,14849,690],{"className":14850},[186,497],[123,14852,14853,14856],{"style":1046},[123,14854],{"className":14855,"style":1012},[489],[123,14857],{"className":14858,"style":1054},[1053],[123,14860,14861,14864],{"style":1057},[123,14862],{"className":14863,"style":1012},[489],[123,14865,14867],{"className":14866},[494,495,496,497],[123,14868,14870],{"className":14869},[186,497],[123,14871,80],{"className":14872},[186,497],[123,14874,525],{"className":14875},[524],[123,14877,14879],{"className":14878},[477],[123,14880,14882],{"className":14881,"style":532},[481],[123,14883],{},[123,14885],{"className":14886},[538,992],[395,14888,14890],{"id":14889},"longitud-3","Longitud 3",[30,14892,14893,14894,14897],{},"Si el primer lanzamiento es cruz, no podemos parar. Y con sólo dos lanzamientos, lo mejor que podemos lograr es empatar (1 cara, 1 cruz) — empatar no basta, necesitamos que las caras ",[51,14895,14896],{},"superen"," a las cruces. Así que la siguiente secuencia posible tiene longitud 3:",[30,14899,14901],{"className":14900},[409],[123,14902,14904,14927],{"className":14903},[126],[123,14905,14907],{"className":14906},[130],[132,14908,14909],{"xmlns":134},[136,14910,14911,14924],{},[139,14912,14913,14915,14918,14920,14922],{},[1901,14914,14616],{"mathvariant":14646},[1901,14916,14917],{}," ",[1901,14919,14612],{"mathvariant":14646},[1901,14921,14917],{},[1901,14923,14612],{"mathvariant":14646},[166,14925,14926],{"encoding":168},"\\textbf{X O O}",[123,14928,14930],{"className":14929,"ariaHidden":147},[173],[123,14931,14933,14936],{"className":14932},[177],[123,14934],{"className":14935,"style":14659},[181],[123,14937,14939],{"className":14938},[186,104],[123,14940,14942],{"className":14941},[186,14666],"X O O",[30,14944,14945,14946,15044,15045,15287],{},"Cruz, cara, cara. El tercer lanzamiento nos da 2 caras frente a 1 cruz. Proporción: ",[123,14947,14949,14967],{"className":14948},[126],[123,14950,14952],{"className":14951},[130],[132,14953,14954],{"xmlns":134},[136,14955,14956,14964],{},[139,14957,14958],{},[426,14959,14960,14962],{},[142,14961,690],{},[142,14963,271],{},[166,14965,14966],{"encoding":168},"\\frac{2}{3}",[123,14968,14970],{"className":14969,"ariaHidden":147},[173],[123,14971,14973,14976],{"className":14972},[177],[123,14974],{"className":14975,"style":1751},[181],[123,14977,14979,14982,15041],{"className":14978},[186],[123,14980],{"className":14981},[458,992],[123,14983,14985],{"className":14984},[426],[123,14986,14988,15033],{"className":14987},[472,473],[123,14989,14991,15030],{"className":14990},[477],[123,14992,14994,15008,15016],{"className":14993,"style":1678},[481],[123,14995,14996,14999],{"style":1008},[123,14997],{"className":14998,"style":1012},[489],[123,15000,15002],{"className":15001},[494,495,496,497],[123,15003,15005],{"className":15004},[186,497],[123,15006,271],{"className":15007},[186,497],[123,15009,15010,15013],{"style":1046},[123,15011],{"className":15012,"style":1012},[489],[123,15014],{"className":15015,"style":1054},[1053],[123,15017,15018,15021],{"style":1057},[123,15019],{"className":15020,"style":1012},[489],[123,15022,15024],{"className":15023},[494,495,496,497],[123,15025,15027],{"className":15026},[186,497],[123,15028,690],{"className":15029},[186,497],[123,15031,525],{"className":15032},[524],[123,15034,15036],{"className":15035},[477],[123,15037,15039],{"className":15038,"style":532},[481],[123,15040],{},[123,15042],{"className":15043},[538,992]," (2 caras de 3 lanzamientos). Probabilidad: ",[123,15046,15048,15084],{"className":15047},[126],[123,15049,15051],{"className":15050},[130],[132,15052,15053],{"xmlns":134},[136,15054,15055,15081],{},[139,15056,15057,15073,15075],{},[2521,15058,15059,15071],{},[139,15060,15061,15063,15069],{},[145,15062,424],{"fence":147},[426,15064,15065,15067],{},[142,15066,80],{},[142,15068,690],{},[145,15070,438],{"fence":147},[142,15072,271],{},[145,15074,695],{},[426,15076,15077,15079],{},[142,15078,80],{},[142,15080,2428],{},[166,15082,15083],{"encoding":168},"\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}",[123,15085,15087,15213],{"className":15086,"ariaHidden":147},[173],[123,15088,15090,15094,15204,15207,15210],{"className":15089},[177],[123,15091],{"className":15092,"style":15093},[181],"height:1.404em;vertical-align:-0.35em;",[123,15095,15097,15180],{"className":15096},[2195],[123,15098,15100,15106,15174],{"className":15099},[2195],[123,15101,15103],{"className":15102,"style":460},[458,459],[123,15104,424],{"className":15105},[464,465],[123,15107,15109,15112,15171],{"className":15108},[186],[123,15110],{"className":15111},[458,992],[123,15113,15115],{"className":15114},[426],[123,15116,15118,15163],{"className":15117},[472,473],[123,15119,15121,15160],{"className":15120},[477],[123,15122,15124,15138,15146],{"className":15123,"style":1678},[481],[123,15125,15126,15129],{"style":1008},[123,15127],{"className":15128,"style":1012},[489],[123,15130,15132],{"className":15131},[494,495,496,497],[123,15133,15135],{"className":15134},[186,497],[123,15136,690],{"className":15137},[186,497],[123,15139,15140,15143],{"style":1046},[123,15141],{"className":15142,"style":1012},[489],[123,15144],{"className":15145,"style":1054},[1053],[123,15147,15148,15151],{"style":1057},[123,15149],{"className":15150,"style":1012},[489],[123,15152,15154],{"className":15153},[494,495,496,497],[123,15155,15157],{"className":15156},[186,497],[123,15158,80],{"className":15159},[186,497],[123,15161,525],{"className":15162},[524],[123,15164,15166],{"className":15165},[477],[123,15167,15169],{"className":15168,"style":532},[481],[123,15170],{},[123,15172],{"className":15173},[538,992],[123,15175,15177],{"className":15176,"style":460},[538,459],[123,15178,438],{"className":15179},[464,465],[123,15181,15183],{"className":15182},[2549],[123,15184,15186],{"className":15185},[472],[123,15187,15189],{"className":15188},[477],[123,15190,15193],{"className":15191,"style":15192},[481],"height:1.054em;",[123,15194,15195,15198],{"style":9281},[123,15196],{"className":15197,"style":490},[489],[123,15199,15201],{"className":15200},[494,495,496,497],[123,15202,271],{"className":15203},[186,497],[123,15205],{"className":15206,"style":781},[194],[123,15208,695],{"className":15209},[785],[123,15211],{"className":15212,"style":781},[194],[123,15214,15216,15219],{"className":15215},[177],[123,15217],{"className":15218,"style":1751},[181],[123,15220,15222,15225,15284],{"className":15221},[186],[123,15223],{"className":15224},[458,992],[123,15226,15228],{"className":15227},[426],[123,15229,15231,15276],{"className":15230},[472,473],[123,15232,15234,15273],{"className":15233},[477],[123,15235,15237,15251,15259],{"className":15236,"style":1678},[481],[123,15238,15239,15242],{"style":1008},[123,15240],{"className":15241,"style":1012},[489],[123,15243,15245],{"className":15244},[494,495,496,497],[123,15246,15248],{"className":15247},[186,497],[123,15249,2428],{"className":15250},[186,497],[123,15252,15253,15256],{"style":1046},[123,15254],{"className":15255,"style":1012},[489],[123,15257],{"className":15258,"style":1054},[1053],[123,15260,15261,15264],{"style":1057},[123,15262],{"className":15263,"style":1012},[489],[123,15265,15267],{"className":15266},[494,495,496,497],[123,15268,15270],{"className":15269},[186,497],[123,15271,80],{"className":15272},[186,497],[123,15274,525],{"className":15275},[524],[123,15277,15279],{"className":15278},[477],[123,15280,15282],{"className":15281,"style":532},[481],[123,15283],{},[123,15285],{"className":15286},[538,992],". Y es la única secuencia posible de esta longitud.",[395,15289,15291],{"id":15290},"longitud-5","Longitud 5",[30,15293,15294,15295,15298],{},"Aquí se pone interesante. Necesitamos 3 caras y 2 cruces, y el quinto lanzamiento (el que nos detiene) tiene que ser cara. Además — y esto es clave — ",[42,15296,15297],{},"en ningún momento antes del final podemos haber tenido más caras que cruces",", porque si eso hubiera ocurrido, nos habríamos detenido antes.",[30,15300,15301,15302,15305],{},"No basta con que la secuencia termine con más caras que cruces; tiene que ser ",[42,15303,15304],{},"la primera vez"," que ocurre.",[30,15307,15308],{},"¿Cuántas secuencias cumplen estas condiciones? Sólo dos:",[99,15310,15313],{"className":15311,"code":15312,"language":104,"meta":105},[102],"X X O O O\nX O X O O\n",[107,15314,15312],{"__ignoreMap":105},[30,15316,15317,15318,15321,15322,15355,15356,15389],{},"Comprobemos la primera: ",[42,15319,15320],{},"XXOOO",". Si contamos O como ",[123,15323,15325,15340],{"className":15324},[126],[123,15326,15328],{"className":15327},[130],[132,15329,15330],{"xmlns":134},[136,15331,15332,15338],{},[139,15333,15334,15336],{},[145,15335,274],{},[142,15337,80],{},[166,15339,10806],{"encoding":168},[123,15341,15343],{"className":15342,"ariaHidden":147},[173],[123,15344,15346,15349,15352],{"className":15345},[177],[123,15347],{"className":15348,"style":289},[181],[123,15350,274],{"className":15351},[186],[123,15353,80],{"className":15354},[186]," y X como ",[123,15357,15359,15374],{"className":15358},[126],[123,15360,15362],{"className":15361},[130],[132,15363,15364],{"xmlns":134},[136,15365,15366,15372],{},[139,15367,15368,15370],{},[145,15369,885],{},[142,15371,80],{},[166,15373,10977],{"encoding":168},[123,15375,15377],{"className":15376,"ariaHidden":147},[173],[123,15378,15380,15383,15386],{"className":15379},[177],[123,15381],{"className":15382,"style":289},[181],[123,15384,885],{"className":15385},[186],[123,15387,80],{"className":15388},[186],", las sumas parciales son:",[30,15391,15393],{"className":15392},[409],[123,15394,15396,15442],{"className":15395},[126],[123,15397,15399],{"className":15398},[130],[132,15400,15401],{"xmlns":134},[136,15402,15403,15439],{},[139,15404,15405,15407,15409,15411,15413,15415,15417,15419,15421,15423,15425,15427,15429,15431,15433,15435,15437],{},[145,15406,885],{},[142,15408,80],{},[145,15410,148],{"separator":147},[1901,15412,1903],{},[145,15414,885],{},[142,15416,690],{},[145,15418,148],{"separator":147},[1901,15420,1903],{},[145,15422,885],{},[142,15424,80],{},[145,15426,148],{"separator":147},[1901,15428,1903],{},[142,15430,1349],{},[145,15432,148],{"separator":147},[1901,15434,1903],{},[145,15436,274],{},[142,15438,80],{},[166,15440,15441],{"encoding":168},"-1,\\; -2,\\; -1,\\; 0,\\; +1",[123,15443,15445],{"className":15444,"ariaHidden":147},[173],[123,15446,15448,15451,15454,15457,15460,15463,15466,15469,15472,15475,15478,15481,15484,15487,15490,15493,15496,15499,15502,15505,15508,15511],{"className":15447},[177],[123,15449],{"className":15450,"style":182},[181],[123,15452,885],{"className":15453},[186],[123,15455,80],{"className":15456},[186],[123,15458,148],{"className":15459},[190],[123,15461],{"className":15462,"style":781},[194],[123,15464],{"className":15465,"style":195},[194],[123,15467,885],{"className":15468},[186],[123,15470,690],{"className":15471},[186],[123,15473,148],{"className":15474},[190],[123,15476],{"className":15477,"style":781},[194],[123,15479],{"className":15480,"style":195},[194],[123,15482,885],{"className":15483},[186],[123,15485,80],{"className":15486},[186],[123,15488,148],{"className":15489},[190],[123,15491],{"className":15492,"style":781},[194],[123,15494],{"className":15495,"style":195},[194],[123,15497,1349],{"className":15498},[186],[123,15500,148],{"className":15501},[190],[123,15503],{"className":15504,"style":781},[194],[123,15506],{"className":15507,"style":195},[194],[123,15509,274],{"className":15510},[186],[123,15512,80],{"className":15513},[186],[30,15515,15516],{},"Nunca supera el cero hasta el quinto lanzamiento. ✅",[30,15518,15519,15520,827],{},"Ahora la segunda: ",[42,15521,15522],{},"XOXOO",[30,15524,15526],{"className":15525},[409],[123,15527,15529,15573],{"className":15528},[126],[123,15530,15532],{"className":15531},[130],[132,15533,15534],{"xmlns":134},[136,15535,15536,15570],{},[139,15537,15538,15540,15542,15544,15546,15548,15550,15552,15554,15556,15558,15560,15562,15564,15566,15568],{},[145,15539,885],{},[142,15541,80],{},[145,15543,148],{"separator":147},[1901,15545,1903],{},[142,15547,1349],{},[145,15549,148],{"separator":147},[1901,15551,1903],{},[145,15553,885],{},[142,15555,80],{},[145,15557,148],{"separator":147},[1901,15559,1903],{},[142,15561,1349],{},[145,15563,148],{"separator":147},[1901,15565,1903],{},[145,15567,274],{},[142,15569,80],{},[166,15571,15572],{"encoding":168},"-1,\\; 0,\\; -1,\\; 0,\\; +1",[123,15574,15576],{"className":15575,"ariaHidden":147},[173],[123,15577,15579,15582,15585,15588,15591,15594,15597,15600,15603,15606,15609,15612,15615,15618,15621,15624,15627,15630,15633,15636,15639],{"className":15578},[177],[123,15580],{"className":15581,"style":182},[181],[123,15583,885],{"className":15584},[186],[123,15586,80],{"className":15587},[186],[123,15589,148],{"className":15590},[190],[123,15592],{"className":15593,"style":781},[194],[123,15595],{"className":15596,"style":195},[194],[123,15598,1349],{"className":15599},[186],[123,15601,148],{"className":15602},[190],[123,15604],{"className":15605,"style":781},[194],[123,15607],{"className":15608,"style":195},[194],[123,15610,885],{"className":15611},[186],[123,15613,80],{"className":15614},[186],[123,15616,148],{"className":15617},[190],[123,15619],{"className":15620,"style":781},[194],[123,15622],{"className":15623,"style":195},[194],[123,15625,1349],{"className":15626},[186],[123,15628,148],{"className":15629},[190],[123,15631],{"className":15632,"style":781},[194],[123,15634],{"className":15635,"style":195},[194],[123,15637,274],{"className":15638},[186],[123,15640,80],{"className":15641},[186],[30,15643,15644,15645,15678],{},"Vuelve a cero en el segundo y cuarto lanzamiento, pero nunca lo supera. Es la primera vez que llega a ",[123,15646,15648,15663],{"className":15647},[126],[123,15649,15651],{"className":15650},[130],[132,15652,15653],{"xmlns":134},[136,15654,15655,15661],{},[139,15656,15657,15659],{},[145,15658,274],{},[142,15660,80],{},[166,15662,10806],{"encoding":168},[123,15664,15666],{"className":15665,"ariaHidden":147},[173],[123,15667,15669,15672,15675],{"className":15668},[177],[123,15670],{"className":15671,"style":289},[181],[123,15673,274],{"className":15674},[186],[123,15676,80],{"className":15677},[186],". ✅",[30,15680,15681,15682,15685,15686,15782,15783,15816],{},"¿Y qué pasa con ",[42,15683,15684],{},"OXXOO","? Veamos: ",[123,15687,15689,15725],{"className":15688},[126],[123,15690,15692],{"className":15691},[130],[132,15693,15694],{"xmlns":134},[136,15695,15696,15722],{},[139,15697,15698,15700,15702,15704,15706,15708,15710,15712,15714,15716,15718,15720],{},[145,15699,274],{},[142,15701,80],{},[145,15703,148],{"separator":147},[142,15705,1349],{},[145,15707,148],{"separator":147},[145,15709,885],{},[142,15711,80],{},[145,15713,148],{"separator":147},[142,15715,1349],{},[145,15717,148],{"separator":147},[145,15719,274],{},[142,15721,80],{},[166,15723,15724],{"encoding":168},"+1, 0, -1, 0, +1",[123,15726,15728],{"className":15727,"ariaHidden":147},[173],[123,15729,15731,15734,15737,15740,15743,15746,15749,15752,15755,15758,15761,15764,15767,15770,15773,15776,15779],{"className":15730},[177],[123,15732],{"className":15733,"style":182},[181],[123,15735,274],{"className":15736},[186],[123,15738,80],{"className":15739},[186],[123,15741,148],{"className":15742},[190],[123,15744],{"className":15745,"style":195},[194],[123,15747,1349],{"className":15748},[186],[123,15750,148],{"className":15751},[190],[123,15753],{"className":15754,"style":195},[194],[123,15756,885],{"className":15757},[186],[123,15759,80],{"className":15760},[186],[123,15762,148],{"className":15763},[190],[123,15765],{"className":15766,"style":195},[194],[123,15768,1349],{"className":15769},[186],[123,15771,148],{"className":15772},[190],[123,15774],{"className":15775,"style":195},[194],[123,15777,274],{"className":15778},[186],[123,15780,80],{"className":15781},[186],". El primer lanzamiento ya nos pone en ",[123,15784,15786,15801],{"className":15785},[126],[123,15787,15789],{"className":15788},[130],[132,15790,15791],{"xmlns":134},[136,15792,15793,15799],{},[139,15794,15795,15797],{},[145,15796,274],{},[142,15798,80],{},[166,15800,10806],{"encoding":168},[123,15802,15804],{"className":15803,"ariaHidden":147},[173],[123,15805,15807,15810,15813],{"className":15806},[177],[123,15808],{"className":15809,"style":289},[181],[123,15811,274],{"className":15812},[186],[123,15814,80],{"className":15815},[186],": nos habríamos detenido ahí. No es válida. ❌",[30,15818,15819,15820,15823,15824,16064,16065,16163],{},"Así que hay exactamente ",[42,15821,15822],{},"2 secuencias"," de longitud 5, cada una con probabilidad ",[123,15825,15827,15863],{"className":15826},[126],[123,15828,15830],{"className":15829},[130],[132,15831,15832],{"xmlns":134},[136,15833,15834,15860],{},[139,15835,15836,15852,15854],{},[2521,15837,15838,15850],{},[139,15839,15840,15842,15848],{},[145,15841,424],{"fence":147},[426,15843,15844,15846],{},[142,15845,80],{},[142,15847,690],{},[145,15849,438],{"fence":147},[142,15851,2761],{},[145,15853,695],{},[426,15855,15856,15858],{},[142,15857,80],{},[142,15859,2764],{},[166,15861,15862],{"encoding":168},"\\left(\\frac{1}{2}\\right)^5 = \\frac{1}{32}",[123,15864,15866,15990],{"className":15865,"ariaHidden":147},[173],[123,15867,15869,15872,15981,15984,15987],{"className":15868},[177],[123,15870],{"className":15871,"style":15093},[181],[123,15873,15875,15958],{"className":15874},[2195],[123,15876,15878,15884,15952],{"className":15877},[2195],[123,15879,15881],{"className":15880,"style":460},[458,459],[123,15882,424],{"className":15883},[464,465],[123,15885,15887,15890,15949],{"className":15886},[186],[123,15888],{"className":15889},[458,992],[123,15891,15893],{"className":15892},[426],[123,15894,15896,15941],{"className":15895},[472,473],[123,15897,15899,15938],{"className":15898},[477],[123,15900,15902,15916,15924],{"className":15901,"style":1678},[481],[123,15903,15904,15907],{"style":1008},[123,15905],{"className":15906,"style":1012},[489],[123,15908,15910],{"className":15909},[494,495,496,497],[123,15911,15913],{"className":15912},[186,497],[123,15914,690],{"className":15915},[186,497],[123,15917,15918,15921],{"style":1046},[123,15919],{"className":15920,"style":1012},[489],[123,15922],{"className":15923,"style":1054},[1053],[123,15925,15926,15929],{"style":1057},[123,15927],{"className":15928,"style":1012},[489],[123,15930,15932],{"className":15931},[494,495,496,497],[123,15933,15935],{"className":15934},[186,497],[123,15936,80],{"className":15937},[186,497],[123,15939,525],{"className":15940},[524],[123,15942,15944],{"className":15943},[477],[123,15945,15947],{"className":15946,"style":532},[481],[123,15948],{},[123,15950],{"className":15951},[538,992],[123,15953,15955],{"className":15954,"style":460},[538,459],[123,15956,438],{"className":15957},[464,465],[123,15959,15961],{"className":15960},[2549],[123,15962,15964],{"className":15963},[472],[123,15965,15967],{"className":15966},[477],[123,15968,15970],{"className":15969,"style":15192},[481],[123,15971,15972,15975],{"style":9281},[123,15973],{"className":15974,"style":490},[489],[123,15976,15978],{"className":15977},[494,495,496,497],[123,15979,2761],{"className":15980},[186,497],[123,15982],{"className":15983,"style":781},[194],[123,15985,695],{"className":15986},[785],[123,15988],{"className":15989,"style":781},[194],[123,15991,15993,15996],{"className":15992},[177],[123,15994],{"className":15995,"style":1751},[181],[123,15997,15999,16002,16061],{"className":15998},[186],[123,16000],{"className":16001},[458,992],[123,16003,16005],{"className":16004},[426],[123,16006,16008,16053],{"className":16007},[472,473],[123,16009,16011,16050],{"className":16010},[477],[123,16012,16014,16028,16036],{"className":16013,"style":1678},[481],[123,16015,16016,16019],{"style":1008},[123,16017],{"className":16018,"style":1012},[489],[123,16020,16022],{"className":16021},[494,495,496,497],[123,16023,16025],{"className":16024},[186,497],[123,16026,2764],{"className":16027},[186,497],[123,16029,16030,16033],{"style":1046},[123,16031],{"className":16032,"style":1012},[489],[123,16034],{"className":16035,"style":1054},[1053],[123,16037,16038,16041],{"style":1057},[123,16039],{"className":16040,"style":1012},[489],[123,16042,16044],{"className":16043},[494,495,496,497],[123,16045,16047],{"className":16046},[186,497],[123,16048,80],{"className":16049},[186,497],[123,16051,525],{"className":16052},[524],[123,16054,16056],{"className":16055},[477],[123,16057,16059],{"className":16058,"style":532},[481],[123,16060],{},[123,16062],{"className":16063},[538,992]," y proporción ",[123,16066,16068,16086],{"className":16067},[126],[123,16069,16071],{"className":16070},[130],[132,16072,16073],{"xmlns":134},[136,16074,16075,16083],{},[139,16076,16077],{},[426,16078,16079,16081],{},[142,16080,271],{},[142,16082,2761],{},[166,16084,16085],{"encoding":168},"\\frac{3}{5}",[123,16087,16089],{"className":16088,"ariaHidden":147},[173],[123,16090,16092,16095],{"className":16091},[177],[123,16093],{"className":16094,"style":1751},[181],[123,16096,16098,16101,16160],{"className":16097},[186],[123,16099],{"className":16100},[458,992],[123,16102,16104],{"className":16103},[426],[123,16105,16107,16152],{"className":16106},[472,473],[123,16108,16110,16149],{"className":16109},[477],[123,16111,16113,16127,16135],{"className":16112,"style":1678},[481],[123,16114,16115,16118],{"style":1008},[123,16116],{"className":16117,"style":1012},[489],[123,16119,16121],{"className":16120},[494,495,496,497],[123,16122,16124],{"className":16123},[186,497],[123,16125,2761],{"className":16126},[186,497],[123,16128,16129,16132],{"style":1046},[123,16130],{"className":16131,"style":1012},[489],[123,16133],{"className":16134,"style":1054},[1053],[123,16136,16137,16140],{"style":1057},[123,16138],{"className":16139,"style":1012},[489],[123,16141,16143],{"className":16142},[494,495,496,497],[123,16144,16146],{"className":16145},[186,497],[123,16147,271],{"className":16148},[186,497],[123,16150,525],{"className":16151},[524],[123,16153,16155],{"className":16154},[477],[123,16156,16158],{"className":16157,"style":532},[481],[123,16159],{},[123,16161],{"className":16162},[538,992]," (3 caras de 5 lanzamientos).",[395,16165,16167],{"id":16166},"longitud-7","Longitud 7",[30,16169,16170,16171,16174],{},"El mismo razonamiento se aplica a secuencias de longitud 7 (4 caras, 3 cruces). Si las enumeramos todas — y créeme, lleva un rato — encontramos exactamente ",[42,16172,16173],{},"5 secuencias"," válidas.",[395,16176,16178],{"id":16177},"la-tabla-resumen","La tabla resumen",[2633,16180,16181,16253],{},[2636,16182,16183],{},[2639,16184,16185,16244,16247,16250],{},[2642,16186,16187,16188,438],{"align":2644},"Longitud (",[123,16189,16191,16211],{"className":16190},[126],[123,16192,16194],{"className":16193},[130],[132,16195,16196],{"xmlns":134},[136,16197,16198,16208],{},[139,16199,16200,16202,16204,16206],{},[142,16201,690],{},[430,16203,432],{},[145,16205,274],{},[142,16207,80],{},[166,16209,16210],{"encoding":168},"2n+1",[123,16212,16214,16235],{"className":16213,"ariaHidden":147},[173],[123,16215,16217,16220,16223,16226,16229,16232],{"className":16216},[177],[123,16218],{"className":16219,"style":289},[181],[123,16221,690],{"className":16222},[186],[123,16224,432],{"className":16225},[186,504],[123,16227],{"className":16228,"style":296},[194],[123,16230,274],{"className":16231},[300],[123,16233],{"className":16234,"style":296},[194],[123,16236,16238,16241],{"className":16237},[177],[123,16239],{"className":16240,"style":252},[181],[123,16242,80],{"className":16243},[186],[2642,16245,16246],{"align":2644},"Proporción de caras",[2642,16248,16249],{"align":2644},"Secuencias válidas",[2642,16251,16252],{"align":2644},"Probabilidad de cada una",[2736,16254,16255,16512,16769,17025,17285],{},[2639,16256,16257,16311,16411,16413],{},[2741,16258,16259,16260,438],{"align":2644},"1 (",[123,16261,16263,16281],{"className":16262},[126],[123,16264,16266],{"className":16265},[130],[132,16267,16268],{"xmlns":134},[136,16269,16270,16278],{},[139,16271,16272,16274,16276],{},[430,16273,432],{},[145,16275,695],{},[142,16277,1349],{},[166,16279,16280],{"encoding":168},"n=0",[123,16282,16284,16302],{"className":16283,"ariaHidden":147},[173],[123,16285,16287,16290,16293,16296,16299],{"className":16286},[177],[123,16288],{"className":16289,"style":572},[181],[123,16291,432],{"className":16292},[186,504],[123,16294],{"className":16295,"style":781},[194],[123,16297,695],{"className":16298},[785],[123,16300],{"className":16301,"style":781},[194],[123,16303,16305,16308],{"className":16304},[177],[123,16306],{"className":16307,"style":252},[181],[123,16309,1349],{"className":16310},[186],[2741,16312,16313],{"align":2644},[123,16314,16316,16334],{"className":16315},[126],[123,16317,16319],{"className":16318},[130],[132,16320,16321],{"xmlns":134},[136,16322,16323,16331],{},[139,16324,16325],{},[426,16326,16327,16329],{},[142,16328,80],{},[142,16330,80],{},[166,16332,16333],{"encoding":168},"\\frac{1}{1}",[123,16335,16337],{"className":16336,"ariaHidden":147},[173],[123,16338,16340,16343],{"className":16339},[177],[123,16341],{"className":16342,"style":1751},[181],[123,16344,16346,16349,16408],{"className":16345},[186],[123,16347],{"className":16348},[458,992],[123,16350,16352],{"className":16351},[426],[123,16353,16355,16400],{"className":16354},[472,473],[123,16356,16358,16397],{"className":16357},[477],[123,16359,16361,16375,16383],{"className":16360,"style":1678},[481],[123,16362,16363,16366],{"style":1008},[123,16364],{"className":16365,"style":1012},[489],[123,16367,16369],{"className":16368},[494,495,496,497],[123,16370,16372],{"className":16371},[186,497],[123,16373,80],{"className":16374},[186,497],[123,16376,16377,16380],{"style":1046},[123,16378],{"className":16379,"style":1012},[489],[123,16381],{"className":16382,"style":1054},[1053],[123,16384,16385,16388],{"style":1057},[123,16386],{"className":16387,"style":1012},[489],[123,16389,16391],{"className":16390},[494,495,496,497],[123,16392,16394],{"className":16393},[186,497],[123,16395,80],{"className":16396},[186,497],[123,16398,525],{"className":16399},[524],[123,16401,16403],{"className":16402},[477],[123,16404,16406],{"className":16405,"style":532},[481],[123,16407],{},[123,16409],{"className":16410},[538,992],[2741,16412,80],{"align":2644},[2741,16414,16415],{"align":2644},[123,16416,16418,16435],{"className":16417},[126],[123,16419,16421],{"className":16420},[130],[132,16422,16423],{"xmlns":134},[136,16424,16425,16433],{},[139,16426,16427],{},[426,16428,16429,16431],{},[142,16430,80],{},[142,16432,690],{},[166,16434,14456],{"encoding":168},[123,16436,16438],{"className":16437,"ariaHidden":147},[173],[123,16439,16441,16444],{"className":16440},[177],[123,16442],{"className":16443,"style":1751},[181],[123,16445,16447,16450,16509],{"className":16446},[186],[123,16448],{"className":16449},[458,992],[123,16451,16453],{"className":16452},[426],[123,16454,16456,16501],{"className":16455},[472,473],[123,16457,16459,16498],{"className":16458},[477],[123,16460,16462,16476,16484],{"className":16461,"style":1678},[481],[123,16463,16464,16467],{"style":1008},[123,16465],{"className":16466,"style":1012},[489],[123,16468,16470],{"className":16469},[494,495,496,497],[123,16471,16473],{"className":16472},[186,497],[123,16474,690],{"className":16475},[186,497],[123,16477,16478,16481],{"style":1046},[123,16479],{"className":16480,"style":1012},[489],[123,16482],{"className":16483,"style":1054},[1053],[123,16485,16486,16489],{"style":1057},[123,16487],{"className":16488,"style":1012},[489],[123,16490,16492],{"className":16491},[494,495,496,497],[123,16493,16495],{"className":16494},[186,497],[123,16496,80],{"className":16497},[186,497],[123,16499,525],{"className":16500},[524],[123,16502,16504],{"className":16503},[477],[123,16505,16507],{"className":16506,"style":532},[481],[123,16508],{},[123,16510],{"className":16511},[538,992],[2639,16513,16514,16568,16667,16669],{},[2741,16515,16516,16517,438],{"align":2644},"3 (",[123,16518,16520,16538],{"className":16519},[126],[123,16521,16523],{"className":16522},[130],[132,16524,16525],{"xmlns":134},[136,16526,16527,16535],{},[139,16528,16529,16531,16533],{},[430,16530,432],{},[145,16532,695],{},[142,16534,80],{},[166,16536,16537],{"encoding":168},"n=1",[123,16539,16541,16559],{"className":16540,"ariaHidden":147},[173],[123,16542,16544,16547,16550,16553,16556],{"className":16543},[177],[123,16545],{"className":16546,"style":572},[181],[123,16548,432],{"className":16549},[186,504],[123,16551],{"className":16552,"style":781},[194],[123,16554,695],{"className":16555},[785],[123,16557],{"className":16558,"style":781},[194],[123,16560,16562,16565],{"className":16561},[177],[123,16563],{"className":16564,"style":252},[181],[123,16566,80],{"className":16567},[186],[2741,16569,16570],{"align":2644},[123,16571,16573,16590],{"className":16572},[126],[123,16574,16576],{"className":16575},[130],[132,16577,16578],{"xmlns":134},[136,16579,16580,16588],{},[139,16581,16582],{},[426,16583,16584,16586],{},[142,16585,690],{},[142,16587,271],{},[166,16589,14966],{"encoding":168},[123,16591,16593],{"className":16592,"ariaHidden":147},[173],[123,16594,16596,16599],{"className":16595},[177],[123,16597],{"className":16598,"style":1751},[181],[123,16600,16602,16605,16664],{"className":16601},[186],[123,16603],{"className":16604},[458,992],[123,16606,16608],{"className":16607},[426],[123,16609,16611,16656],{"className":16610},[472,473],[123,16612,16614,16653],{"className":16613},[477],[123,16615,16617,16631,16639],{"className":16616,"style":1678},[481],[123,16618,16619,16622],{"style":1008},[123,16620],{"className":16621,"style":1012},[489],[123,16623,16625],{"className":16624},[494,495,496,497],[123,16626,16628],{"className":16627},[186,497],[123,16629,271],{"className":16630},[186,497],[123,16632,16633,16636],{"style":1046},[123,16634],{"className":16635,"style":1012},[489],[123,16637],{"className":16638,"style":1054},[1053],[123,16640,16641,16644],{"style":1057},[123,16642],{"className":16643,"style":1012},[489],[123,16645,16647],{"className":16646},[494,495,496,497],[123,16648,16650],{"className":16649},[186,497],[123,16651,690],{"className":16652},[186,497],[123,16654,525],{"className":16655},[524],[123,16657,16659],{"className":16658},[477],[123,16660,16662],{"className":16661,"style":532},[481],[123,16663],{},[123,16665],{"className":16666},[538,992],[2741,16668,80],{"align":2644},[2741,16670,16671],{"align":2644},[123,16672,16674,16692],{"className":16673},[126],[123,16675,16677],{"className":16676},[130],[132,16678,16679],{"xmlns":134},[136,16680,16681,16689],{},[139,16682,16683],{},[426,16684,16685,16687],{},[142,16686,80],{},[142,16688,2428],{},[166,16690,16691],{"encoding":168},"\\frac{1}{8}",[123,16693,16695],{"className":16694,"ariaHidden":147},[173],[123,16696,16698,16701],{"className":16697},[177],[123,16699],{"className":16700,"style":1751},[181],[123,16702,16704,16707,16766],{"className":16703},[186],[123,16705],{"className":16706},[458,992],[123,16708,16710],{"className":16709},[426],[123,16711,16713,16758],{"className":16712},[472,473],[123,16714,16716,16755],{"className":16715},[477],[123,16717,16719,16733,16741],{"className":16718,"style":1678},[481],[123,16720,16721,16724],{"style":1008},[123,16722],{"className":16723,"style":1012},[489],[123,16725,16727],{"className":16726},[494,495,496,497],[123,16728,16730],{"className":16729},[186,497],[123,16731,2428],{"className":16732},[186,497],[123,16734,16735,16738],{"style":1046},[123,16736],{"className":16737,"style":1012},[489],[123,16739],{"className":16740,"style":1054},[1053],[123,16742,16743,16746],{"style":1057},[123,16744],{"className":16745,"style":1012},[489],[123,16747,16749],{"className":16748},[494,495,496,497],[123,16750,16752],{"className":16751},[186,497],[123,16753,80],{"className":16754},[186,497],[123,16756,525],{"className":16757},[524],[123,16759,16761],{"className":16760},[477],[123,16762,16764],{"className":16763,"style":532},[481],[123,16765],{},[123,16767],{"className":16768},[538,992],[2639,16770,16771,16825,16924,16926],{},[2741,16772,16773,16774,438],{"align":2644},"5 (",[123,16775,16777,16795],{"className":16776},[126],[123,16778,16780],{"className":16779},[130],[132,16781,16782],{"xmlns":134},[136,16783,16784,16792],{},[139,16785,16786,16788,16790],{},[430,16787,432],{},[145,16789,695],{},[142,16791,690],{},[166,16793,16794],{"encoding":168},"n=2",[123,16796,16798,16816],{"className":16797,"ariaHidden":147},[173],[123,16799,16801,16804,16807,16810,16813],{"className":16800},[177],[123,16802],{"className":16803,"style":572},[181],[123,16805,432],{"className":16806},[186,504],[123,16808],{"className":16809,"style":781},[194],[123,16811,695],{"className":16812},[785],[123,16814],{"className":16815,"style":781},[194],[123,16817,16819,16822],{"className":16818},[177],[123,16820],{"className":16821,"style":252},[181],[123,16823,690],{"className":16824},[186],[2741,16826,16827],{"align":2644},[123,16828,16830,16847],{"className":16829},[126],[123,16831,16833],{"className":16832},[130],[132,16834,16835],{"xmlns":134},[136,16836,16837,16845],{},[139,16838,16839],{},[426,16840,16841,16843],{},[142,16842,271],{},[142,16844,2761],{},[166,16846,16085],{"encoding":168},[123,16848,16850],{"className":16849,"ariaHidden":147},[173],[123,16851,16853,16856],{"className":16852},[177],[123,16854],{"className":16855,"style":1751},[181],[123,16857,16859,16862,16921],{"className":16858},[186],[123,16860],{"className":16861},[458,992],[123,16863,16865],{"className":16864},[426],[123,16866,16868,16913],{"className":16867},[472,473],[123,16869,16871,16910],{"className":16870},[477],[123,16872,16874,16888,16896],{"className":16873,"style":1678},[481],[123,16875,16876,16879],{"style":1008},[123,16877],{"className":16878,"style":1012},[489],[123,16880,16882],{"className":16881},[494,495,496,497],[123,16883,16885],{"className":16884},[186,497],[123,16886,2761],{"className":16887},[186,497],[123,16889,16890,16893],{"style":1046},[123,16891],{"className":16892,"style":1012},[489],[123,16894],{"className":16895,"style":1054},[1053],[123,16897,16898,16901],{"style":1057},[123,16899],{"className":16900,"style":1012},[489],[123,16902,16904],{"className":16903},[494,495,496,497],[123,16905,16907],{"className":16906},[186,497],[123,16908,271],{"className":16909},[186,497],[123,16911,525],{"className":16912},[524],[123,16914,16916],{"className":16915},[477],[123,16917,16919],{"className":16918,"style":532},[481],[123,16920],{},[123,16922],{"className":16923},[538,992],[2741,16925,690],{"align":2644},[2741,16927,16928],{"align":2644},[123,16929,16931,16948],{"className":16930},[126],[123,16932,16934],{"className":16933},[130],[132,16935,16936],{"xmlns":134},[136,16937,16938,16946],{},[139,16939,16940],{},[426,16941,16942,16944],{},[142,16943,80],{},[142,16945,2764],{},[166,16947,5647],{"encoding":168},[123,16949,16951],{"className":16950,"ariaHidden":147},[173],[123,16952,16954,16957],{"className":16953},[177],[123,16955],{"className":16956,"style":1751},[181],[123,16958,16960,16963,17022],{"className":16959},[186],[123,16961],{"className":16962},[458,992],[123,16964,16966],{"className":16965},[426],[123,16967,16969,17014],{"className":16968},[472,473],[123,16970,16972,17011],{"className":16971},[477],[123,16973,16975,16989,16997],{"className":16974,"style":1678},[481],[123,16976,16977,16980],{"style":1008},[123,16978],{"className":16979,"style":1012},[489],[123,16981,16983],{"className":16982},[494,495,496,497],[123,16984,16986],{"className":16985},[186,497],[123,16987,2764],{"className":16988},[186,497],[123,16990,16991,16994],{"style":1046},[123,16992],{"className":16993,"style":1012},[489],[123,16995],{"className":16996,"style":1054},[1053],[123,16998,16999,17002],{"style":1057},[123,17000],{"className":17001,"style":1012},[489],[123,17003,17005],{"className":17004},[494,495,496,497],[123,17006,17008],{"className":17007},[186,497],[123,17009,80],{"className":17010},[186,497],[123,17012,525],{"className":17013},[524],[123,17015,17017],{"className":17016},[477],[123,17018,17020],{"className":17019,"style":532},[481],[123,17021],{},[123,17023],{"className":17024},[538,992],[2639,17026,17027,17081,17182,17184],{},[2741,17028,17029,17030,438],{"align":2644},"7 (",[123,17031,17033,17051],{"className":17032},[126],[123,17034,17036],{"className":17035},[130],[132,17037,17038],{"xmlns":134},[136,17039,17040,17048],{},[139,17041,17042,17044,17046],{},[430,17043,432],{},[145,17045,695],{},[142,17047,271],{},[166,17049,17050],{"encoding":168},"n=3",[123,17052,17054,17072],{"className":17053,"ariaHidden":147},[173],[123,17055,17057,17060,17063,17066,17069],{"className":17056},[177],[123,17058],{"className":17059,"style":572},[181],[123,17061,432],{"className":17062},[186,504],[123,17064],{"className":17065,"style":781},[194],[123,17067,695],{"className":17068},[785],[123,17070],{"className":17071,"style":781},[194],[123,17073,17075,17078],{"className":17074},[177],[123,17076],{"className":17077,"style":252},[181],[123,17079,271],{"className":17080},[186],[2741,17082,17083],{"align":2644},[123,17084,17086,17105],{"className":17085},[126],[123,17087,17089],{"className":17088},[130],[132,17090,17091],{"xmlns":134},[136,17092,17093,17102],{},[139,17094,17095],{},[426,17096,17097,17099],{},[142,17098,151],{},[142,17100,17101],{},"7",[166,17103,17104],{"encoding":168},"\\frac{4}{7}",[123,17106,17108],{"className":17107,"ariaHidden":147},[173],[123,17109,17111,17114],{"className":17110},[177],[123,17112],{"className":17113,"style":1751},[181],[123,17115,17117,17120,17179],{"className":17116},[186],[123,17118],{"className":17119},[458,992],[123,17121,17123],{"className":17122},[426],[123,17124,17126,17171],{"className":17125},[472,473],[123,17127,17129,17168],{"className":17128},[477],[123,17130,17132,17146,17154],{"className":17131,"style":1678},[481],[123,17133,17134,17137],{"style":1008},[123,17135],{"className":17136,"style":1012},[489],[123,17138,17140],{"className":17139},[494,495,496,497],[123,17141,17143],{"className":17142},[186,497],[123,17144,17101],{"className":17145},[186,497],[123,17147,17148,17151],{"style":1046},[123,17149],{"className":17150,"style":1012},[489],[123,17152],{"className":17153,"style":1054},[1053],[123,17155,17156,17159],{"style":1057},[123,17157],{"className":17158,"style":1012},[489],[123,17160,17162],{"className":17161},[494,495,496,497],[123,17163,17165],{"className":17164},[186,497],[123,17166,151],{"className":17167},[186,497],[123,17169,525],{"className":17170},[524],[123,17172,17174],{"className":17173},[477],[123,17175,17177],{"className":17176,"style":532},[481],[123,17178],{},[123,17180],{"className":17181},[538,992],[2741,17183,2761],{"align":2644},[2741,17185,17186],{"align":2644},[123,17187,17189,17208],{"className":17188},[126],[123,17190,17192],{"className":17191},[130],[132,17193,17194],{"xmlns":134},[136,17195,17196,17205],{},[139,17197,17198],{},[426,17199,17200,17202],{},[142,17201,80],{},[142,17203,17204],{},"128",[166,17206,17207],{"encoding":168},"\\frac{1}{128}",[123,17209,17211],{"className":17210,"ariaHidden":147},[173],[123,17212,17214,17217],{"className":17213},[177],[123,17215],{"className":17216,"style":1751},[181],[123,17218,17220,17223,17282],{"className":17219},[186],[123,17221],{"className":17222},[458,992],[123,17224,17226],{"className":17225},[426],[123,17227,17229,17274],{"className":17228},[472,473],[123,17230,17232,17271],{"className":17231},[477],[123,17233,17235,17249,17257],{"className":17234,"style":1678},[481],[123,17236,17237,17240],{"style":1008},[123,17238],{"className":17239,"style":1012},[489],[123,17241,17243],{"className":17242},[494,495,496,497],[123,17244,17246],{"className":17245},[186,497],[123,17247,17204],{"className":17248},[186,497],[123,17250,17251,17254],{"style":1046},[123,17252],{"className":17253,"style":1012},[489],[123,17255],{"className":17256,"style":1054},[1053],[123,17258,17259,17262],{"style":1057},[123,17260],{"className":17261,"style":1012},[489],[123,17263,17265],{"className":17264},[494,495,496,497],[123,17266,17268],{"className":17267},[186,497],[123,17269,80],{"className":17270},[186,497],[123,17272,525],{"className":17273},[524],[123,17275,17277],{"className":17276},[477],[123,17278,17280],{"className":17279,"style":532},[481],[123,17281],{},[123,17283],{"className":17284},[538,992],[2639,17286,17287,17341,17442,17445],{},[2741,17288,17289,17290,438],{"align":2644},"9 (",[123,17291,17293,17311],{"className":17292},[126],[123,17294,17296],{"className":17295},[130],[132,17297,17298],{"xmlns":134},[136,17299,17300,17308],{},[139,17301,17302,17304,17306],{},[430,17303,432],{},[145,17305,695],{},[142,17307,151],{},[166,17309,17310],{"encoding":168},"n=4",[123,17312,17314,17332],{"className":17313,"ariaHidden":147},[173],[123,17315,17317,17320,17323,17326,17329],{"className":17316},[177],[123,17318],{"className":17319,"style":572},[181],[123,17321,432],{"className":17322},[186,504],[123,17324],{"className":17325,"style":781},[194],[123,17327,695],{"className":17328},[785],[123,17330],{"className":17331,"style":781},[194],[123,17333,17335,17338],{"className":17334},[177],[123,17336],{"className":17337,"style":252},[181],[123,17339,151],{"className":17340},[186],[2741,17342,17343],{"align":2644},[123,17344,17346,17365],{"className":17345},[126],[123,17347,17349],{"className":17348},[130],[132,17350,17351],{"xmlns":134},[136,17352,17353,17362],{},[139,17354,17355],{},[426,17356,17357,17359],{},[142,17358,2761],{},[142,17360,17361],{},"9",[166,17363,17364],{"encoding":168},"\\frac{5}{9}",[123,17366,17368],{"className":17367,"ariaHidden":147},[173],[123,17369,17371,17374],{"className":17370},[177],[123,17372],{"className":17373,"style":1751},[181],[123,17375,17377,17380,17439],{"className":17376},[186],[123,17378],{"className":17379},[458,992],[123,17381,17383],{"className":17382},[426],[123,17384,17386,17431],{"className":17385},[472,473],[123,17387,17389,17428],{"className":17388},[477],[123,17390,17392,17406,17414],{"className":17391,"style":1678},[481],[123,17393,17394,17397],{"style":1008},[123,17395],{"className":17396,"style":1012},[489],[123,17398,17400],{"className":17399},[494,495,496,497],[123,17401,17403],{"className":17402},[186,497],[123,17404,17361],{"className":17405},[186,497],[123,17407,17408,17411],{"style":1046},[123,17409],{"className":17410,"style":1012},[489],[123,17412],{"className":17413,"style":1054},[1053],[123,17415,17416,17419],{"style":1057},[123,17417],{"className":17418,"style":1012},[489],[123,17420,17422],{"className":17421},[494,495,496,497],[123,17423,17425],{"className":17424},[186,497],[123,17426,2761],{"className":17427},[186,497],[123,17429,525],{"className":17430},[524],[123,17432,17434],{"className":17433},[477],[123,17435,17437],{"className":17436,"style":532},[481],[123,17438],{},[123,17440],{"className":17441},[538,992],[2741,17443,17444],{"align":2644},"14",[2741,17446,17447],{"align":2644},[123,17448,17450,17469],{"className":17449},[126],[123,17451,17453],{"className":17452},[130],[132,17454,17455],{"xmlns":134},[136,17456,17457,17466],{},[139,17458,17459],{},[426,17460,17461,17463],{},[142,17462,80],{},[142,17464,17465],{},"512",[166,17467,17468],{"encoding":168},"\\frac{1}{512}",[123,17470,17472],{"className":17471,"ariaHidden":147},[173],[123,17473,17475,17478],{"className":17474},[177],[123,17476],{"className":17477,"style":1751},[181],[123,17479,17481,17484,17543],{"className":17480},[186],[123,17482],{"className":17483},[458,992],[123,17485,17487],{"className":17486},[426],[123,17488,17490,17535],{"className":17489},[472,473],[123,17491,17493,17532],{"className":17492},[477],[123,17494,17496,17510,17518],{"className":17495,"style":1678},[481],[123,17497,17498,17501],{"style":1008},[123,17499],{"className":17500,"style":1012},[489],[123,17502,17504],{"className":17503},[494,495,496,497],[123,17505,17507],{"className":17506},[186,497],[123,17508,17465],{"className":17509},[186,497],[123,17511,17512,17515],{"style":1046},[123,17513],{"className":17514,"style":1012},[489],[123,17516],{"className":17517,"style":1054},[1053],[123,17519,17520,17523],{"style":1057},[123,17521],{"className":17522,"style":1012},[489],[123,17524,17526],{"className":17525},[494,495,496,497],[123,17527,17529],{"className":17528},[186,497],[123,17530,80],{"className":17531},[186,497],[123,17533,525],{"className":17534},[524],[123,17536,17538],{"className":17537},[477],[123,17539,17541],{"className":17540,"style":532},[481],[123,17542],{},[123,17544],{"className":17545},[538,992],[30,17547,17548],{},"Observa los patrones:",[6417,17550,17551,17610,17740],{},[75,17552,17553,17554,827],{},"La longitud siempre es impar: ",[123,17555,17557,17577],{"className":17556},[126],[123,17558,17560],{"className":17559},[130],[132,17561,17562],{"xmlns":134},[136,17563,17564,17574],{},[139,17565,17566,17568,17570,17572],{},[142,17567,690],{},[430,17569,432],{},[145,17571,274],{},[142,17573,80],{},[166,17575,17576],{"encoding":168},"2n + 1",[123,17578,17580,17601],{"className":17579,"ariaHidden":147},[173],[123,17581,17583,17586,17589,17592,17595,17598],{"className":17582},[177],[123,17584],{"className":17585,"style":289},[181],[123,17587,690],{"className":17588},[186],[123,17590,432],{"className":17591},[186,504],[123,17593],{"className":17594,"style":296},[194],[123,17596,274],{"className":17597},[300],[123,17599],{"className":17600,"style":296},[194],[123,17602,17604,17607],{"className":17603},[177],[123,17605],{"className":17606,"style":252},[181],[123,17608,80],{"className":17609},[186],[75,17611,17612,17613,827],{},"La proporción de caras es siempre ",[123,17614,17616,17648],{"className":17615},[126],[123,17617,17619],{"className":17618},[130],[132,17620,17621],{"xmlns":134},[136,17622,17623,17645],{},[139,17624,17625],{},[426,17626,17627,17635],{},[139,17628,17629,17631,17633],{},[430,17630,432],{},[145,17632,274],{},[142,17634,80],{},[139,17636,17637,17639,17641,17643],{},[142,17638,690],{},[430,17640,432],{},[145,17642,274],{},[142,17644,80],{},[166,17646,17647],{"encoding":168},"\\frac{n+1}{2n+1}",[123,17649,17651],{"className":17650,"ariaHidden":147},[173],[123,17652,17654,17657],{"className":17653},[177],[123,17655],{"className":17656,"style":1659},[181],[123,17658,17660,17663,17737],{"className":17659},[186],[123,17661],{"className":17662},[458,992],[123,17664,17666],{"className":17665},[426],[123,17667,17669,17729],{"className":17668},[472,473],[123,17670,17672,17726],{"className":17671},[477],[123,17673,17675,17698,17706],{"className":17674,"style":1678},[481],[123,17676,17677,17680],{"style":1008},[123,17678],{"className":17679,"style":1012},[489],[123,17681,17683],{"className":17682},[494,495,496,497],[123,17684,17686,17689,17692,17695],{"className":17685},[186,497],[123,17687,690],{"className":17688},[186,497],[123,17690,432],{"className":17691},[186,504,497],[123,17693,274],{"className":17694},[300,497],[123,17696,80],{"className":17697},[186,497],[123,17699,17700,17703],{"style":1046},[123,17701],{"className":17702,"style":1012},[489],[123,17704],{"className":17705,"style":1054},[1053],[123,17707,17708,17711],{"style":1057},[123,17709],{"className":17710,"style":1012},[489],[123,17712,17714],{"className":17713},[494,495,496,497],[123,17715,17717,17720,17723],{"className":17716},[186,497],[123,17718,432],{"className":17719},[186,504,497],[123,17721,274],{"className":17722},[300,497],[123,17724,80],{"className":17725},[186,497],[123,17727,525],{"className":17728},[524],[123,17730,17732],{"className":17731},[477],[123,17733,17735],{"className":17734,"style":1730},[481],[123,17736],{},[123,17738],{"className":17739},[538,992],[75,17741,17742,17743,17912,17913,17968],{},"La probabilidad de cada secuencia individual es ",[123,17744,17746,17782],{"className":17745},[126],[123,17747,17749],{"className":17748},[130],[132,17750,17751],{"xmlns":134},[136,17752,17753,17779],{},[139,17754,17755],{},[2521,17756,17757,17769],{},[139,17758,17759,17761,17767],{},[145,17760,424],{"fence":147},[426,17762,17763,17765],{},[142,17764,80],{},[142,17766,690],{},[145,17768,438],{"fence":147},[139,17770,17771,17773,17775,17777],{},[142,17772,690],{},[430,17774,432],{},[145,17776,274],{},[142,17778,80],{},[166,17780,17781],{"encoding":168},"\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2n+1}",[123,17783,17785],{"className":17784,"ariaHidden":147},[173],[123,17786,17788,17791],{"className":17787},[177],[123,17789],{"className":17790,"style":15093},[181],[123,17792,17794,17877],{"className":17793},[2195],[123,17795,17797,17803,17871],{"className":17796},[2195],[123,17798,17800],{"className":17799,"style":460},[458,459],[123,17801,424],{"className":17802},[464,465],[123,17804,17806,17809,17868],{"className":17805},[186],[123,17807],{"className":17808},[458,992],[123,17810,17812],{"className":17811},[426],[123,17813,17815,17860],{"className":17814},[472,473],[123,17816,17818,17857],{"className":17817},[477],[123,17819,17821,17835,17843],{"className":17820,"style":1678},[481],[123,17822,17823,17826],{"style":1008},[123,17824],{"className":17825,"style":1012},[489],[123,17827,17829],{"className":17828},[494,495,496,497],[123,17830,17832],{"className":17831},[186,497],[123,17833,690],{"className":17834},[186,497],[123,17836,17837,17840],{"style":1046},[123,17838],{"className":17839,"style":1012},[489],[123,17841],{"className":17842,"style":1054},[1053],[123,17844,17845,17848],{"style":1057},[123,17846],{"className":17847,"style":1012},[489],[123,17849,17851],{"className":17850},[494,495,496,497],[123,17852,17854],{"className":17853},[186,497],[123,17855,80],{"className":17856},[186,497],[123,17858,525],{"className":17859},[524],[123,17861,17863],{"className":17862},[477],[123,17864,17866],{"className":17865,"style":532},[481],[123,17867],{},[123,17869],{"className":17870},[538,992],[123,17872,17874],{"className":17873,"style":460},[538,459],[123,17875,438],{"className":17876},[464,465],[123,17878,17880],{"className":17879},[2549],[123,17881,17883],{"className":17882},[472],[123,17884,17886],{"className":17885},[477],[123,17887,17889],{"className":17888,"style":15192},[481],[123,17890,17891,17894],{"style":9281},[123,17892],{"className":17893,"style":490},[489],[123,17895,17897],{"className":17896},[494,495,496,497],[123,17898,17900,17903,17906,17909],{"className":17899},[186,497],[123,17901,690],{"className":17902},[186,497],[123,17904,432],{"className":17905},[186,504,497],[123,17907,274],{"className":17908},[300,497],[123,17910,80],{"className":17911},[186,497]," — cada uno de los ",[123,17914,17916,17935],{"className":17915},[126],[123,17917,17919],{"className":17918},[130],[132,17920,17921],{"xmlns":134},[136,17922,17923,17933],{},[139,17924,17925,17927,17929,17931],{},[142,17926,690],{},[430,17928,432],{},[145,17930,274],{},[142,17932,80],{},[166,17934,16210],{"encoding":168},[123,17936,17938,17959],{"className":17937,"ariaHidden":147},[173],[123,17939,17941,17944,17947,17950,17953,17956],{"className":17940},[177],[123,17942],{"className":17943,"style":289},[181],[123,17945,690],{"className":17946},[186],[123,17948,432],{"className":17949},[186,504],[123,17951],{"className":17952,"style":296},[194],[123,17954,274],{"className":17955},[300],[123,17957],{"className":17958,"style":296},[194],[123,17960,17962,17965],{"className":17961},[177],[123,17963],{"className":17964,"style":252},[181],[123,17966,80],{"className":17967},[186]," lanzamientos tiene una probabilidad de un medio.",[30,17970,17971,17972],{},"Pero la columna que realmente importa es la de las secuencias válidas: ",[123,17973,17975,18009],{"className":17974},[126],[123,17976,17978],{"className":17977},[130],[132,17979,17980],{"xmlns":134},[136,17981,17982,18006],{},[139,17983,17984,17986,17988,17990,17992,17994,17996,17998,18000,18002,18004],{},[142,17985,80],{},[145,17987,148],{"separator":147},[142,17989,80],{},[145,17991,148],{"separator":147},[142,17993,690],{},[145,17995,148],{"separator":147},[142,17997,2761],{},[145,17999,148],{"separator":147},[142,18001,17444],{},[145,18003,148],{"separator":147},[145,18005,1938],{},[166,18007,18008],{"encoding":168},"1, 1, 2, 5, 14, \\ldots",[123,18010,18012],{"className":18011,"ariaHidden":147},[173],[123,18013,18015,18018,18021,18024,18027,18030,18033,18036,18039,18042,18045,18048,18051,18054,18057,18060,18063],{"className":18014},[177],[123,18016],{"className":18017,"style":182},[181],[123,18019,80],{"className":18020},[186],[123,18022,148],{"className":18023},[190],[123,18025],{"className":18026,"style":195},[194],[123,18028,80],{"className":18029},[186],[123,18031,148],{"className":18032},[190],[123,18034],{"className":18035,"style":195},[194],[123,18037,690],{"className":18038},[186],[123,18040,148],{"className":18041},[190],[123,18043],{"className":18044,"style":195},[194],[123,18046,2761],{"className":18047},[186],[123,18049,148],{"className":18050},[190],[123,18052],{"className":18053,"style":195},[194],[123,18055,17444],{"className":18056},[186],[123,18058,148],{"className":18059},[190],[123,18061],{"className":18062,"style":195},[194],[123,18064,1938],{"className":18065},[2195],[30,18067,18068],{},"¿Te suena?",[34,18070,18072],{"id":18071},"del-conteo-manual-a-los-números-de-catalan","Del conteo manual a los números de Catalan",[30,18074,18075,18076,18198,18199,18206,18207,18210],{},"Esos números — ",[123,18077,18079,18123],{"className":18078},[126],[123,18080,18082],{"className":18081},[130],[132,18083,18084],{"xmlns":134},[136,18085,18086,18120],{},[139,18087,18088,18090,18092,18094,18096,18098,18100,18102,18104,18106,18108,18111,18113,18116,18118],{},[142,18089,80],{},[145,18091,148],{"separator":147},[142,18093,80],{},[145,18095,148],{"separator":147},[142,18097,690],{},[145,18099,148],{"separator":147},[142,18101,2761],{},[145,18103,148],{"separator":147},[142,18105,17444],{},[145,18107,148],{"separator":147},[142,18109,18110],{},"42",[145,18112,148],{"separator":147},[142,18114,18115],{},"132",[145,18117,148],{"separator":147},[145,18119,1938],{},[166,18121,18122],{"encoding":168},"1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, \\ldots",[123,18124,18126],{"className":18125,"ariaHidden":147},[173],[123,18127,18129,18132,18135,18138,18141,18144,18147,18150,18153,18156,18159,18162,18165,18168,18171,18174,18177,18180,18183,18186,18189,18192,18195],{"className":18128},[177],[123,18130],{"className":18131,"style":182},[181],[123,18133,80],{"className":18134},[186],[123,18136,148],{"className":18137},[190],[123,18139],{"className":18140,"style":195},[194],[123,18142,80],{"className":18143},[186],[123,18145,148],{"className":18146},[190],[123,18148],{"className":18149,"style":195},[194],[123,18151,690],{"className":18152},[186],[123,18154,148],{"className":18155},[190],[123,18157],{"className":18158,"style":195},[194],[123,18160,2761],{"className":18161},[186],[123,18163,148],{"className":18164},[190],[123,18166],{"className":18167,"style":195},[194],[123,18169,17444],{"className":18170},[186],[123,18172,148],{"className":18173},[190],[123,18175],{"className":18176,"style":195},[194],[123,18178,18110],{"className":18179},[186],[123,18181,148],{"className":18182},[190],[123,18184],{"className":18185,"style":195},[194],[123,18187,18115],{"className":18188},[186],[123,18190,148],{"className":18191},[190],[123,18193],{"className":18194,"style":195},[194],[123,18196,1938],{"className":18197},[2195]," — tienen nombre propio. Son los ",[2780,18200,18203],{"href":18201,"rel":18202},"https:\u002F\u002Fes.wikipedia.org\u002Fwiki\u002FN%C3%BAmeros_de_Catalan",[2784],[42,18204,18205],{},"números de Catalan",", una de las secuencias más ubicuas de toda la combinatoria. (Y no, no son de origen ",[51,18208,18209],{},"Catalán",".)",[30,18212,18213,18214,18221,18222,18225,18226,18229,18230,18235,18236,18239],{},"Su historia es en sí misma una historia de conexiones inesperadas. El matemático mongol ",[2780,18215,18218],{"href":18216,"rel":18217},"https:\u002F\u002Fes.wikipedia.org\u002Fwiki\u002FMinggatu",[2784],[42,18219,18220],{},"Mingantu"," (c. 1692–1763), trabajando en China, fue la primera persona conocida en utilizarlos — alrededor de la década de 1730, en series trigonométricas incluidas en su libro ",[51,18223,18224],{},"Ge Yuan Mi Lu Jie Fa",". Dos décadas más tarde, en 1751, ",[42,18227,18228],{},"Leonhard Euler"," ",[2780,18231,18234],{"href":18232,"rel":18233},"https:\u002F\u002Fes.wikipedia.org\u002Fwiki\u002FN%C3%BAmeros_de_Catalan#Historia",[2784],"descubrió la misma secuencia de forma independiente"," en una carta a Goldbach, esta vez contando las formas de dividir un polígono en triángulos. Y casi un siglo después de Mingantu, el matemático franco-belga ",[42,18237,18238],{},"Eugène Charles Catalan"," (1814–1894) los encontró de nuevo en 1838, al contar las formas de colocar paréntesis en un producto de factores. La secuencia lleva su nombre — acuñado por John Riordan en el siglo XX — a pesar de que los números habían estado apareciendo, bajo diferentes formas, durante más de cien años antes que él.",[30,18241,18242],{},"La misma secuencia, descubierta de forma independiente en tres partes del mundo y a lo largo de tres siglos, cada vez en un contexto completamente distinto. Si ese patrón te suena familiar... sigue leyendo.",[30,18244,10672,18245,18273],{},[123,18246,18248,18261],{"className":18247},[126],[123,18249,18251],{"className":18250},[130],[132,18252,18253],{"xmlns":134},[136,18254,18255,18259],{},[139,18256,18257],{},[430,18258,432],{},[166,18260,432],{"encoding":168},[123,18262,18264],{"className":18263,"ariaHidden":147},[173],[123,18265,18267,18270],{"className":18266},[177],[123,18268],{"className":18269,"style":572},[181],[123,18271,432],{"className":18272},[186,504],"-ésimo número de Catalan se define como:",[30,18275,18277],{"className":18276},[409],[123,18278,18280,18329],{"className":18279},[126],[123,18281,18283],{"className":18282},[130],[132,18284,18285],{"xmlns":134},[136,18286,18287,18326],{},[139,18288,18289,18296,18298,18310],{},[12064,18290,18291,18294],{},[430,18292,18293],{},"C",[430,18295,432],{},[145,18297,695],{},[426,18299,18300,18302],{},[142,18301,80],{},[139,18303,18304,18306,18308],{},[430,18305,432],{},[145,18307,274],{},[142,18309,80],{},[139,18311,18312,18314,18324],{},[145,18313,424],{"fence":147},[426,18315,18316,18322],{"linethickness":428},[139,18317,18318,18320],{},[142,18319,690],{},[430,18321,432],{},[430,18323,432],{},[145,18325,438],{"fence":147},[166,18327,18328],{"encoding":168},"C_n = \\frac{1}{n+1}\\binom{2n}{n}",[123,18330,18332,18392],{"className":18331,"ariaHidden":147},[173],[123,18333,18335,18339,18383,18386,18389],{"className":18334},[177],[123,18336],{"className":18337,"style":18338},[181],"height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;",[123,18340,18342,18346],{"className":18341},[186],[123,18343,18293],{"className":18344,"style":18345},[186,504],"margin-right:0.0715em;",[123,18347,18349],{"className":18348},[2549],[123,18350,18352,18374],{"className":18351},[472,473],[123,18353,18355,18371],{"className":18354},[477],[123,18356,18359],{"className":18357,"style":18358},[481],"height:0.1514em;",[123,18360,18362,18365],{"style":18361},"top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;",[123,18363],{"className":18364,"style":490},[489],[123,18366,18368],{"className":18367},[494,495,496,497],[123,18369,432],{"className":18370},[186,504,497],[123,18372,525],{"className":18373},[524],[123,18375,18377],{"className":18376},[477],[123,18378,18381],{"className":18379,"style":18380},[481],"height:0.15em;",[123,18382],{},[123,18384],{"className":18385,"style":781},[194],[123,18387,695],{"className":18388},[785],[123,18390],{"className":18391,"style":781},[194],[123,18393,18395,18399,18473],{"className":18394},[177],[123,18396],{"className":18397,"style":18398},[181],"height:1.2984em;vertical-align:-0.4033em;",[123,18400,18402,18405,18470],{"className":18401},[186],[123,18403],{"className":18404},[458,992],[123,18406,18408],{"className":18407},[426],[123,18409,18411,18462],{"className":18410},[472,473],[123,18412,18414,18459],{"className":18413},[477],[123,18415,18417,18437,18445],{"className":18416,"style":1678},[481],[123,18418,18419,18422],{"style":1008},[123,18420],{"className":18421,"style":1012},[489],[123,18423,18425],{"className":18424},[494,495,496,497],[123,18426,18428,18431,18434],{"className":18427},[186,497],[123,18429,432],{"className":18430},[186,504,497],[123,18432,274],{"className":18433},[300,497],[123,18435,80],{"className":18436},[186,497],[123,18438,18439,18442],{"style":1046},[123,18440],{"className":18441,"style":1012},[489],[123,18443],{"className":18444,"style":1054},[1053],[123,18446,18447,18450],{"style":1057},[123,18448],{"className":18449,"style":1012},[489],[123,18451,18453],{"className":18452},[494,495,496,497],[123,18454,18456],{"className":18455},[186,497],[123,18457,80],{"className":18458},[186,497],[123,18460,525],{"className":18461},[524],[123,18463,18465],{"className":18464},[477],[123,18466,18468],{"className":18467,"style":1730},[481],[123,18469],{},[123,18471],{"className":18472},[538,992],[123,18474,18476,18482,18536],{"className":18475},[186],[123,18477,18479],{"className":18478,"style":460},[458,459],[123,18480,424],{"className":18481},[464,465],[123,18483,18485],{"className":18484},[426],[123,18486,18488,18528],{"className":18487},[472,473],[123,18489,18491,18525],{"className":18490},[477],[123,18492,18494,18508],{"className":18493,"style":732},[481],[123,18495,18496,18499],{"style":485},[123,18497],{"className":18498,"style":490},[489],[123,18500,18502],{"className":18501},[494,495,496,497],[123,18503,18505],{"className":18504},[186,497],[123,18506,432],{"className":18507},[186,504,497],[123,18509,18510,18513],{"style":508},[123,18511],{"className":18512,"style":490},[489],[123,18514,18516],{"className":18515},[494,495,496,497],[123,18517,18519,18522],{"className":18518},[186,497],[123,18520,690],{"className":18521},[186,497],[123,18523,432],{"className":18524},[186,504,497],[123,18526,525],{"className":18527},[524],[123,18529,18531],{"className":18530},[477],[123,18532,18534],{"className":18533,"style":532},[481],[123,18535],{},[123,18537,18539],{"className":18538,"style":460},[538,459],[123,18540,438],{"className":18541},[464,465],[30,18543,2573,18544,18650,18651,576,18684,18712,18713,18715,18716,635,18744,18777,18778,3050,18806,18839,18840,827],{},[123,18545,18547,18572],{"className":18546},[126],[123,18548,18550],{"className":18549},[130],[132,18551,18552],{"xmlns":134},[136,18553,18554,18570],{},[139,18555,18556,18558,18568],{},[145,18557,424],{"fence":147},[426,18559,18560,18566],{"linethickness":428},[139,18561,18562,18564],{},[142,18563,690],{},[430,18565,432],{},[430,18567,432],{},[145,18569,438],{"fence":147},[166,18571,13898],{"encoding":168},[123,18573,18575],{"className":18574,"ariaHidden":147},[173],[123,18576,18578,18581],{"className":18577},[177],[123,18579],{"className":18580,"style":710},[181],[123,18582,18584,18590,18644],{"className":18583},[186],[123,18585,18587],{"className":18586,"style":460},[458,459],[123,18588,424],{"className":18589},[464,465],[123,18591,18593],{"className":18592},[426],[123,18594,18596,18636],{"className":18595},[472,473],[123,18597,18599,18633],{"className":18598},[477],[123,18600,18602,18616],{"className":18601,"style":732},[481],[123,18603,18604,18607],{"style":485},[123,18605],{"className":18606,"style":490},[489],[123,18608,18610],{"className":18609},[494,495,496,497],[123,18611,18613],{"className":18612},[186,497],[123,18614,432],{"className":18615},[186,504,497],[123,18617,18618,18621],{"style":508},[123,18619],{"className":18620,"style":490},[489],[123,18622,18624],{"className":18623},[494,495,496,497],[123,18625,18627,18630],{"className":18626},[186,497],[123,18628,690],{"className":18629},[186,497],[123,18631,432],{"className":18632},[186,504,497],[123,18634,525],{"className":18635},[524],[123,18637,18639],{"className":18638},[477],[123,18640,18642],{"className":18641,"style":532},[481],[123,18643],{},[123,18645,18647],{"className":18646,"style":460},[538,459],[123,18648,438],{"className":18649},[464,465]," — se lee «",[123,18652,18654,18669],{"className":18653},[126],[123,18655,18657],{"className":18656},[130],[132,18658,18659],{"xmlns":134},[136,18660,18661,18667],{},[139,18662,18663,18665],{},[142,18664,690],{},[430,18666,432],{},[166,18668,11996],{"encoding":168},[123,18670,18672],{"className":18671,"ariaHidden":147},[173],[123,18673,18675,18678,18681],{"className":18674},[177],[123,18676],{"className":18677,"style":252},[181],[123,18679,690],{"className":18680},[186],[123,18682,432],{"className":18683},[186,504],[123,18685,18687,18700],{"className":18686},[126],[123,18688,18690],{"className":18689},[130],[132,18691,18692],{"xmlns":134},[136,18693,18694,18698],{},[139,18695,18696],{},[430,18697,432],{},[166,18699,432],{"encoding":168},[123,18701,18703],{"className":18702,"ariaHidden":147},[173],[123,18704,18706,18709],{"className":18705},[177],[123,18707],{"className":18708,"style":572},[181],[123,18710,432],{"className":18711},[186,504],"» — es el ",[42,18714,404],{},": el número de formas de elegir ",[123,18717,18719,18732],{"className":18718},[126],[123,18720,18722],{"className":18721},[130],[132,18723,18724],{"xmlns":134},[136,18725,18726,18730],{},[139,18727,18728],{},[430,18729,432],{},[166,18731,432],{"encoding":168},[123,18733,18735],{"className":18734,"ariaHidden":147},[173],[123,18736,18738,18741],{"className":18737},[177],[123,18739],{"className":18740,"style":572},[181],[123,18742,432],{"className":18743},[186,504],[123,18745,18747,18762],{"className":18746},[126],[123,18748,18750],{"className":18749},[130],[132,18751,18752],{"xmlns":134},[136,18753,18754,18760],{},[139,18755,18756,18758],{},[142,18757,690],{},[430,18759,432],{},[166,18761,11996],{"encoding":168},[123,18763,18765],{"className":18764,"ariaHidden":147},[173],[123,18766,18768,18771,18774],{"className":18767},[177],[123,18769],{"className":18770,"style":252},[181],[123,18772,690],{"className":18773},[186],[123,18775,432],{"className":18776},[186,504],". En la práctica, responde a preguntas como «¿de cuántas formas puedo distribuir ",[123,18779,18781,18794],{"className":18780},[126],[123,18782,18784],{"className":18783},[130],[132,18785,18786],{"xmlns":134},[136,18787,18788,18792],{},[139,18789,18790],{},[430,18791,432],{},[166,18793,432],{"encoding":168},[123,18795,18797],{"className":18796,"ariaHidden":147},[173],[123,18798,18800,18803],{"className":18799},[177],[123,18801],{"className":18802,"style":572},[181],[123,18804,432],{"className":18805},[186,504],[123,18807,18809,18824],{"className":18808},[126],[123,18810,18812],{"className":18811},[130],[132,18813,18814],{"xmlns":134},[136,18815,18816,18822],{},[139,18817,18818,18820],{},[142,18819,690],{},[430,18821,432],{},[166,18823,11996],{"encoding":168},[123,18825,18827],{"className":18826,"ariaHidden":147},[173],[123,18828,18830,18833,18836],{"className":18829},[177],[123,18831],{"className":18832,"style":252},[181],[123,18834,690],{"className":18835},[186],[123,18837,432],{"className":18838},[186,504]," lanzamientos?» Exploramos esta notación en detalle en el ",[2780,18841,18843],{"href":14283,"rel":18842},[2784],"artículo sobre el triángulo de Tartaglia",[30,18845,18846],{},"Comprobemos con nuestros datos:",[30,18848,18850],{"className":18849},[409],[123,18851,18853,18928],{"className":18852},[126],[123,18854,18856],{"className":18855},[130],[132,18857,18858],{"xmlns":134},[136,18859,18860,18925],{},[139,18861,18862,18868,18870,18876,18888,18890,18892,18895,18901,18903,18909,18921,18923],{},[12064,18863,18864,18866],{},[430,18865,18293],{},[142,18867,1349],{},[145,18869,695],{},[426,18871,18872,18874],{},[142,18873,80],{},[142,18875,80],{},[139,18877,18878,18880,18886],{},[145,18879,424],{"fence":147},[426,18881,18882,18884],{"linethickness":428},[142,18883,1349],{},[142,18885,1349],{},[145,18887,438],{"fence":147},[145,18889,695],{},[142,18891,80],{},[194,18893],{"width":18894},"2em",[12064,18896,18897,18899],{},[430,18898,18293],{},[142,18900,80],{},[145,18902,695],{},[426,18904,18905,18907],{},[142,18906,80],{},[142,18908,690],{},[139,18910,18911,18913,18919],{},[145,18912,424],{"fence":147},[426,18914,18915,18917],{"linethickness":428},[142,18916,690],{},[142,18918,80],{},[145,18920,438],{"fence":147},[145,18922,695],{},[142,18924,80],{},[166,18926,18927],{"encoding":168},"C_0 = \\frac{1}{1}\\binom{0}{0} = 1 \\qquad C_1 = \\frac{1}{2}\\binom{2}{1} = 1",[123,18929,18931,18987,19136,19198,19347],{"className":18930,"ariaHidden":147},[173],[123,18932,18934,18937,18978,18981,18984],{"className":18933},[177],[123,18935],{"className":18936,"style":18338},[181],[123,18938,18940,18943],{"className":18939},[186],[123,18941,18293],{"className":18942,"style":18345},[186,504],[123,18944,18946],{"className":18945},[2549],[123,18947,18949,18970],{"className":18948},[472,473],[123,18950,18952,18967],{"className":18951},[477],[123,18953,18956],{"className":18954,"style":18955},[481],"height:0.3011em;",[123,18957,18958,18961],{"style":18361},[123,18959],{"className":18960,"style":490},[489],[123,18962,18964],{"className":18963},[494,495,496,497],[123,18965,1349],{"className":18966},[186,497],[123,18968,525],{"className":18969},[524],[123,18971,18973],{"className":18972},[477],[123,18974,18976],{"className":18975,"style":18380},[481],[123,18977],{},[123,18979],{"className":18980,"style":781},[194],[123,18982,695],{"className":18983},[785],[123,18985],{"className":18986,"style":781},[194],[123,18988,18990,18993,19061,19127,19130,19133],{"className":18989},[177],[123,18991],{"className":18992,"style":710},[181],[123,18994,18996,18999,19058],{"className":18995},[186],[123,18997],{"className":18998},[458,992],[123,19000,19002],{"className":19001},[426],[123,19003,19005,19050],{"className":19004},[472,473],[123,19006,19008,19047],{"className":19007},[477],[123,19009,19011,19025,19033],{"className":19010,"style":1678},[481],[123,19012,19013,19016],{"style":1008},[123,19014],{"className":19015,"style":1012},[489],[123,19017,19019],{"className":19018},[494,495,496,497],[123,19020,19022],{"className":19021},[186,497],[123,19023,80],{"className":19024},[186,497],[123,19026,19027,19030],{"style":1046},[123,19028],{"className":19029,"style":1012},[489],[123,19031],{"className":19032,"style":1054},[1053],[123,19034,19035,19038],{"style":1057},[123,19036],{"className":19037,"style":1012},[489],[123,19039,19041],{"className":19040},[494,495,496,497],[123,19042,19044],{"className":19043},[186,497],[123,19045,80],{"className":19046},[186,497],[123,19048,525],{"className":19049},[524],[123,19051,19053],{"className":19052},[477],[123,19054,19056],{"className":19055,"style":532},[481],[123,19057],{},[123,19059],{"className":19060},[538,992],[123,19062,19064,19070,19121],{"className":19063},[186],[123,19065,19067],{"className":19066,"style":460},[458,459],[123,19068,424],{"className":19069},[464,465],[123,19071,19073],{"className":19072},[426],[123,19074,19076,19113],{"className":19075},[472,473],[123,19077,19079,19110],{"className":19078},[477],[123,19080,19082,19096],{"className":19081,"style":732},[481],[123,19083,19084,19087],{"style":485},[123,19085],{"className":19086,"style":490},[489],[123,19088,19090],{"className":19089},[494,495,496,497],[123,19091,19093],{"className":19092},[186,497],[123,19094,1349],{"className":19095},[186,497],[123,19097,19098,19101],{"style":508},[123,19099],{"className":19100,"style":490},[489],[123,19102,19104],{"className":19103},[494,495,496,497],[123,19105,19107],{"className":19106},[186,497],[123,19108,1349],{"className":19109},[186,497],[123,19111,525],{"className":19112},[524],[123,19114,19116],{"className":19115},[477],[123,19117,19119],{"className":19118,"style":532},[481],[123,19120],{},[123,19122,19124],{"className":19123,"style":460},[538,459],[123,19125,438],{"className":19126},[464,465],[123,19128],{"className":19129,"style":781},[194],[123,19131,695],{"className":19132},[785],[123,19134],{"className":19135,"style":781},[194],[123,19137,19139,19142,19145,19149,19189,19192,19195],{"className":19138},[177],[123,19140],{"className":19141,"style":18338},[181],[123,19143,80],{"className":19144},[186],[123,19146],{"className":19147,"style":19148},[194],"margin-right:2em;",[123,19150,19152,19155],{"className":19151},[186],[123,19153,18293],{"className":19154,"style":18345},[186,504],[123,19156,19158],{"className":19157},[2549],[123,19159,19161,19181],{"className":19160},[472,473],[123,19162,19164,19178],{"className":19163},[477],[123,19165,19167],{"className":19166,"style":18955},[481],[123,19168,19169,19172],{"style":18361},[123,19170],{"className":19171,"style":490},[489],[123,19173,19175],{"className":19174},[494,495,496,497],[123,19176,80],{"className":19177},[186,497],[123,19179,525],{"className":19180},[524],[123,19182,19184],{"className":19183},[477],[123,19185,19187],{"className":19186,"style":18380},[481],[123,19188],{},[123,19190],{"className":19191,"style":781},[194],[123,19193,695],{"className":19194},[785],[123,19196],{"className":19197,"style":781},[194],[123,19199,19201,19204,19272,19338,19341,19344],{"className":19200},[177],[123,19202],{"className":19203,"style":710},[181],[123,19205,19207,19210,19269],{"className":19206},[186],[123,19208],{"className":19209},[458,992],[123,19211,19213],{"className":19212},[426],[123,19214,19216,19261],{"className":19215},[472,473],[123,19217,19219,19258],{"className":19218},[477],[123,19220,19222,19236,19244],{"className":19221,"style":1678},[481],[123,19223,19224,19227],{"style":1008},[123,19225],{"className":19226,"style":1012},[489],[123,19228,19230],{"className":19229},[494,495,496,497],[123,19231,19233],{"className":19232},[186,497],[123,19234,690],{"className":19235},[186,497],[123,19237,19238,19241],{"style":1046},[123,19239],{"className":19240,"style":1012},[489],[123,19242],{"className":19243,"style":1054},[1053],[123,19245,19246,19249],{"style":1057},[123,19247],{"className":19248,"style":1012},[489],[123,19250,19252],{"className":19251},[494,495,496,497],[123,19253,19255],{"className":19254},[186,497],[123,19256,80],{"className":19257},[186,497],[123,19259,525],{"className":19260},[524],[123,19262,19264],{"className":19263},[477],[123,19265,19267],{"className":19266,"style":532},[481],[123,19268],{},[123,19270],{"className":19271},[538,992],[123,19273,19275,19281,19332],{"className":19274},[186],[123,19276,19278],{"className":19277,"style":460},[458,459],[123,19279,424],{"className":19280},[464,465],[123,19282,19284],{"className":19283},[426],[123,19285,19287,19324],{"className":19286},[472,473],[123,19288,19290,19321],{"className":19289},[477],[123,19291,19293,19307],{"className":19292,"style":732},[481],[123,19294,19295,19298],{"style":485},[123,19296],{"className":19297,"style":490},[489],[123,19299,19301],{"className":19300},[494,495,496,497],[123,19302,19304],{"className":19303},[186,497],[123,19305,80],{"className":19306},[186,497],[123,19308,19309,19312],{"style":508},[123,19310],{"className":19311,"style":490},[489],[123,19313,19315],{"className":19314},[494,495,496,497],[123,19316,19318],{"className":19317},[186,497],[123,19319,690],{"className":19320},[186,497],[123,19322,525],{"className":19323},[524],[123,19325,19327],{"className":19326},[477],[123,19328,19330],{"className":19329,"style":532},[481],[123,19331],{},[123,19333,19335],{"className":19334,"style":460},[538,459],[123,19336,438],{"className":19337},[464,465],[123,19339],{"className":19340,"style":781},[194],[123,19342,695],{"className":19343},[785],[123,19345],{"className":19346,"style":781},[194],[123,19348,19350,19353],{"className":19349},[177],[123,19351],{"className":19352,"style":252},[181],[123,19354,80],{"className":19355},[186],[30,19357,19359],{"className":19358},[409],[123,19360,19362,19436],{"className":19361},[126],[123,19363,19365],{"className":19364},[130],[132,19366,19367],{"xmlns":134},[136,19368,19369,19433],{},[139,19370,19371,19377,19379,19385,19397,19399,19401,19403,19409,19411,19417,19429,19431],{},[12064,19372,19373,19375],{},[430,19374,18293],{},[142,19376,690],{},[145,19378,695],{},[426,19380,19381,19383],{},[142,19382,80],{},[142,19384,271],{},[139,19386,19387,19389,19395],{},[145,19388,424],{"fence":147},[426,19390,19391,19393],{"linethickness":428},[142,19392,151],{},[142,19394,690],{},[145,19396,438],{"fence":147},[145,19398,695],{},[142,19400,690],{},[194,19402],{"width":18894},[12064,19404,19405,19407],{},[430,19406,18293],{},[142,19408,271],{},[145,19410,695],{},[426,19412,19413,19415],{},[142,19414,80],{},[142,19416,151],{},[139,19418,19419,19421,19427],{},[145,19420,424],{"fence":147},[426,19422,19423,19425],{"linethickness":428},[142,19424,156],{},[142,19426,271],{},[145,19428,438],{"fence":147},[145,19430,695],{},[142,19432,2761],{},[166,19434,19435],{"encoding":168},"C_2 = \\frac{1}{3}\\binom{4}{2} = 2 \\qquad C_3 = \\frac{1}{4}\\binom{6}{3} = 5 ",[123,19437,19439,19494,19643,19704,19853],{"className":19438,"ariaHidden":147},[173],[123,19440,19442,19445,19485,19488,19491],{"className":19441},[177],[123,19443],{"className":19444,"style":18338},[181],[123,19446,19448,19451],{"className":19447},[186],[123,19449,18293],{"className":19450,"style":18345},[186,504],[123,19452,19454],{"className":19453},[2549],[123,19455,19457,19477],{"className":19456},[472,473],[123,19458,19460,19474],{"className":19459},[477],[123,19461,19463],{"className":19462,"style":18955},[481],[123,19464,19465,19468],{"style":18361},[123,19466],{"className":19467,"style":490},[489],[123,19469,19471],{"className":19470},[494,495,496,497],[123,19472,690],{"className":19473},[186,497],[123,19475,525],{"className":19476},[524],[123,19478,19480],{"className":19479},[477],[123,19481,19483],{"className":19482,"style":18380},[481],[123,19484],{},[123,19486],{"className":19487,"style":781},[194],[123,19489,695],{"className":19490},[785],[123,19492],{"className":19493,"style":781},[194],[123,19495,19497,19500,19568,19634,19637,19640],{"className":19496},[177],[123,19498],{"className":19499,"style":710},[181],[123,19501,19503,19506,19565],{"className":19502},[186],[123,19504],{"className":19505},[458,992],[123,19507,19509],{"className":19508},[426],[123,19510,19512,19557],{"className":19511},[472,473],[123,19513,19515,19554],{"className":19514},[477],[123,19516,19518,19532,19540],{"className":19517,"style":1678},[481],[123,19519,19520,19523],{"style":1008},[123,19521],{"className":19522,"style":1012},[489],[123,19524,19526],{"className":19525},[494,495,496,497],[123,19527,19529],{"className":19528},[186,497],[123,19530,271],{"className":19531},[186,497],[123,19533,19534,19537],{"style":1046},[123,19535],{"className":19536,"style":1012},[489],[123,19538],{"className":19539,"style":1054},[1053],[123,19541,19542,19545],{"style":1057},[123,19543],{"className":19544,"style":1012},[489],[123,19546,19548],{"className":19547},[494,495,496,497],[123,19549,19551],{"className":19550},[186,497],[123,19552,80],{"className":19553},[186,497],[123,19555,525],{"className":19556},[524],[123,19558,19560],{"className":19559},[477],[123,19561,19563],{"className":19562,"style":532},[481],[123,19564],{},[123,19566],{"className":19567},[538,992],[123,19569,19571,19577,19628],{"className":19570},[186],[123,19572,19574],{"className":19573,"style":460},[458,459],[123,19575,424],{"className":19576},[464,465],[123,19578,19580],{"className":19579},[426],[123,19581,19583,19620],{"className":19582},[472,473],[123,19584,19586,19617],{"className":19585},[477],[123,19587,19589,19603],{"className":19588,"style":732},[481],[123,19590,19591,19594],{"style":485},[123,19592],{"className":19593,"style":490},[489],[123,19595,19597],{"className":19596},[494,495,496,497],[123,19598,19600],{"className":19599},[186,497],[123,19601,690],{"className":19602},[186,497],[123,19604,19605,19608],{"style":508},[123,19606],{"className":19607,"style":490},[489],[123,19609,19611],{"className":19610},[494,495,496,497],[123,19612,19614],{"className":19613},[186,497],[123,19615,151],{"className":19616},[186,497],[123,19618,525],{"className":19619},[524],[123,19621,19623],{"className":19622},[477],[123,19624,19626],{"className":19625,"style":532},[481],[123,19627],{},[123,19629,19631],{"className":19630,"style":460},[538,459],[123,19632,438],{"className":19633},[464,465],[123,19635],{"className":19636,"style":781},[194],[123,19638,695],{"className":19639},[785],[123,19641],{"className":19642,"style":781},[194],[123,19644,19646,19649,19652,19655,19695,19698,19701],{"className":19645},[177],[123,19647],{"className":19648,"style":18338},[181],[123,19650,690],{"className":19651},[186],[123,19653],{"className":19654,"style":19148},[194],[123,19656,19658,19661],{"className":19657},[186],[123,19659,18293],{"className":19660,"style":18345},[186,504],[123,19662,19664],{"className":19663},[2549],[123,19665,19667,19687],{"className":19666},[472,473],[123,19668,19670,19684],{"className":19669},[477],[123,19671,19673],{"className":19672,"style":18955},[481],[123,19674,19675,19678],{"style":18361},[123,19676],{"className":19677,"style":490},[489],[123,19679,19681],{"className":19680},[494,495,496,497],[123,19682,271],{"className":19683},[186,497],[123,19685,525],{"className":19686},[524],[123,19688,19690],{"className":19689},[477],[123,19691,19693],{"className":19692,"style":18380},[481],[123,19694],{},[123,19696],{"className":19697,"style":781},[194],[123,19699,695],{"className":19700},[785],[123,19702],{"className":19703,"style":781},[194],[123,19705,19707,19710,19778,19844,19847,19850],{"className":19706},[177],[123,19708],{"className":19709,"style":710},[181],[123,19711,19713,19716,19775],{"className":19712},[186],[123,19714],{"className":19715},[458,992],[123,19717,19719],{"className":19718},[426],[123,19720,19722,19767],{"className":19721},[472,473],[123,19723,19725,19764],{"className":19724},[477],[123,19726,19728,19742,19750],{"className":19727,"style":1678},[481],[123,19729,19730,19733],{"style":1008},[123,19731],{"className":19732,"style":1012},[489],[123,19734,19736],{"className":19735},[494,495,496,497],[123,19737,19739],{"className":19738},[186,497],[123,19740,151],{"className":19741},[186,497],[123,19743,19744,19747],{"style":1046},[123,19745],{"className":19746,"style":1012},[489],[123,19748],{"className":19749,"style":1054},[1053],[123,19751,19752,19755],{"style":1057},[123,19753],{"className":19754,"style":1012},[489],[123,19756,19758],{"className":19757},[494,495,496,497],[123,19759,19761],{"className":19760},[186,497],[123,19762,80],{"className":19763},[186,497],[123,19765,525],{"className":19766},[524],[123,19768,19770],{"className":19769},[477],[123,19771,19773],{"className":19772,"style":532},[481],[123,19774],{},[123,19776],{"className":19777},[538,992],[123,19779,19781,19787,19838],{"className":19780},[186],[123,19782,19784],{"className":19783,"style":460},[458,459],[123,19785,424],{"className":19786},[464,465],[123,19788,19790],{"className":19789},[426],[123,19791,19793,19830],{"className":19792},[472,473],[123,19794,19796,19827],{"className":19795},[477],[123,19797,19799,19813],{"className":19798,"style":732},[481],[123,19800,19801,19804],{"style":485},[123,19802],{"className":19803,"style":490},[489],[123,19805,19807],{"className":19806},[494,495,496,497],[123,19808,19810],{"className":19809},[186,497],[123,19811,271],{"className":19812},[186,497],[123,19814,19815,19818],{"style":508},[123,19816],{"className":19817,"style":490},[489],[123,19819,19821],{"className":19820},[494,495,496,497],[123,19822,19824],{"className":19823},[186,497],[123,19825,156],{"className":19826},[186,497],[123,19828,525],{"className":19829},[524],[123,19831,19833],{"className":19832},[477],[123,19834,19836],{"className":19835,"style":532},[481],[123,19837],{},[123,19839,19841],{"className":19840,"style":460},[538,459],[123,19842,438],{"className":19843},[464,465],[123,19845],{"className":19846,"style":781},[194],[123,19848,695],{"className":19849},[785],[123,19851],{"className":19852,"style":781},[194],[123,19854,19856,19859],{"className":19855},[177],[123,19857],{"className":19858,"style":252},[181],[123,19860,2761],{"className":19861},[186],[30,19863,19865],{"className":19864},[409],[123,19866,19868,19910],{"className":19867},[126],[123,19869,19871],{"className":19870},[130],[132,19872,19873],{"xmlns":134},[136,19874,19875,19907],{},[139,19876,19877,19883,19885,19891,19903,19905],{},[12064,19878,19879,19881],{},[430,19880,18293],{},[142,19882,151],{},[145,19884,695],{},[426,19886,19887,19889],{},[142,19888,80],{},[142,19890,2761],{},[139,19892,19893,19895,19901],{},[145,19894,424],{"fence":147},[426,19896,19897,19899],{"linethickness":428},[142,19898,2428],{},[142,19900,151],{},[145,19902,438],{"fence":147},[145,19904,695],{},[142,19906,17444],{},[166,19908,19909],{"encoding":168},"C_4 = \\frac{1}{5}\\binom{8}{4} = 14",[123,19911,19913,19968,20117],{"className":19912,"ariaHidden":147},[173],[123,19914,19916,19919,19959,19962,19965],{"className":19915},[177],[123,19917],{"className":19918,"style":18338},[181],[123,19920,19922,19925],{"className":19921},[186],[123,19923,18293],{"className":19924,"style":18345},[186,504],[123,19926,19928],{"className":19927},[2549],[123,19929,19931,19951],{"className":19930},[472,473],[123,19932,19934,19948],{"className":19933},[477],[123,19935,19937],{"className":19936,"style":18955},[481],[123,19938,19939,19942],{"style":18361},[123,19940],{"className":19941,"style":490},[489],[123,19943,19945],{"className":19944},[494,495,496,497],[123,19946,151],{"className":19947},[186,497],[123,19949,525],{"className":19950},[524],[123,19952,19954],{"className":19953},[477],[123,19955,19957],{"className":19956,"style":18380},[481],[123,19958],{},[123,19960],{"className":19961,"style":781},[194],[123,19963,695],{"className":19964},[785],[123,19966],{"className":19967,"style":781},[194],[123,19969,19971,19974,20042,20108,20111,20114],{"className":19970},[177],[123,19972],{"className":19973,"style":710},[181],[123,19975,19977,19980,20039],{"className":19976},[186],[123,19978],{"className":19979},[458,992],[123,19981,19983],{"className":19982},[426],[123,19984,19986,20031],{"className":19985},[472,473],[123,19987,19989,20028],{"className":19988},[477],[123,19990,19992,20006,20014],{"className":19991,"style":1678},[481],[123,19993,19994,19997],{"style":1008},[123,19995],{"className":19996,"style":1012},[489],[123,19998,20000],{"className":19999},[494,495,496,497],[123,20001,20003],{"className":20002},[186,497],[123,20004,2761],{"className":20005},[186,497],[123,20007,20008,20011],{"style":1046},[123,20009],{"className":20010,"style":1012},[489],[123,20012],{"className":20013,"style":1054},[1053],[123,20015,20016,20019],{"style":1057},[123,20017],{"className":20018,"style":1012},[489],[123,20020,20022],{"className":20021},[494,495,496,497],[123,20023,20025],{"className":20024},[186,497],[123,20026,80],{"className":20027},[186,497],[123,20029,525],{"className":20030},[524],[123,20032,20034],{"className":20033},[477],[123,20035,20037],{"className":20036,"style":532},[481],[123,20038],{},[123,20040],{"className":20041},[538,992],[123,20043,20045,20051,20102],{"className":20044},[186],[123,20046,20048],{"className":20047,"style":460},[458,459],[123,20049,424],{"className":20050},[464,465],[123,20052,20054],{"className":20053},[426],[123,20055,20057,20094],{"className":20056},[472,473],[123,20058,20060,20091],{"className":20059},[477],[123,20061,20063,20077],{"className":20062,"style":732},[481],[123,20064,20065,20068],{"style":485},[123,20066],{"className":20067,"style":490},[489],[123,20069,20071],{"className":20070},[494,495,496,497],[123,20072,20074],{"className":20073},[186,497],[123,20075,151],{"className":20076},[186,497],[123,20078,20079,20082],{"style":508},[123,20080],{"className":20081,"style":490},[489],[123,20083,20085],{"className":20084},[494,495,496,497],[123,20086,20088],{"className":20087},[186,497],[123,20089,2428],{"className":20090},[186,497],[123,20092,525],{"className":20093},[524],[123,20095,20097],{"className":20096},[477],[123,20098,20100],{"className":20099,"style":532},[481],[123,20101],{},[123,20103,20105],{"className":20104,"style":460},[538,459],[123,20106,438],{"className":20107},[464,465],[123,20109],{"className":20110,"style":781},[194],[123,20112,695],{"className":20113},[785],[123,20115],{"className":20116,"style":781},[194],[123,20118,20120,20123],{"className":20119},[177],[123,20121],{"className":20122,"style":252},[181],[123,20124,17444],{"className":20125},[186],[30,20127,20128,20129,20132],{},"Exacto. Los números de Catalan cuentan precisamente cuántas secuencias de lanzamientos terminan ",[42,20130,20131],{},"por primera vez"," con más caras que cruces en cada longitud posible.",[34,20134,20136],{"id":20135},"la-conexión-con-el-triángulo-de-tartaglia","La conexión con el triángulo de Tartaglia",[30,20138,20139,20140,20142,20143,20198,20199,20328,20329,20333,20334,827],{},"Hay otra forma de ver por qué aparecen los números de Catalan aquí. Pensemos en cada secuencia de lanzamientos como un ",[42,20141,14051],{}," en una retícula: cara sube un paso, cruz baja un paso. El número total de caminos de longitud ",[123,20144,20146,20165],{"className":20145},[126],[123,20147,20149],{"className":20148},[130],[132,20150,20151],{"xmlns":134},[136,20152,20153,20163],{},[139,20154,20155,20157,20159,20161],{},[142,20156,690],{},[430,20158,432],{},[145,20160,274],{},[142,20162,80],{},[166,20164,16210],{"encoding":168},[123,20166,20168,20189],{"className":20167,"ariaHidden":147},[173],[123,20169,20171,20174,20177,20180,20183,20186],{"className":20170},[177],[123,20172],{"className":20173,"style":289},[181],[123,20175,690],{"className":20176},[186],[123,20178,432],{"className":20179},[186,504],[123,20181],{"className":20182,"style":296},[194],[123,20184,274],{"className":20185},[300],[123,20187],{"className":20188,"style":296},[194],[123,20190,20192,20195],{"className":20191},[177],[123,20193],{"className":20194,"style":252},[181],[123,20196,80],{"className":20197},[186]," que terminan un paso por encima de cero es el coeficiente binomial ",[123,20200,20202,20238],{"className":20201},[126],[123,20203,20205],{"className":20204},[130],[132,20206,20207],{"xmlns":134},[136,20208,20209,20235],{},[139,20210,20211,20213,20233],{},[145,20212,424],{"fence":147},[426,20214,20215,20225],{"linethickness":428},[139,20216,20217,20219,20221,20223],{},[142,20218,690],{},[430,20220,432],{},[145,20222,274],{},[142,20224,80],{},[139,20226,20227,20229,20231],{},[430,20228,432],{},[145,20230,274],{},[142,20232,80],{},[145,20234,438],{"fence":147},[166,20236,20237],{"encoding":168},"\\binom{2n+1}{n+1}",[123,20239,20241],{"className":20240,"ariaHidden":147},[173],[123,20242,20244,20247],{"className":20243},[177],[123,20245],{"className":20246,"style":18398},[181],[123,20248,20250,20256,20322],{"className":20249},[186],[123,20251,20253],{"className":20252,"style":460},[458,459],[123,20254,424],{"className":20255},[464,465],[123,20257,20259],{"className":20258},[426],[123,20260,20262,20314],{"className":20261},[472,473],[123,20263,20265,20311],{"className":20264},[477],[123,20266,20268,20288],{"className":20267,"style":732},[481],[123,20269,20270,20273],{"style":485},[123,20271],{"className":20272,"style":490},[489],[123,20274,20276],{"className":20275},[494,495,496,497],[123,20277,20279,20282,20285],{"className":20278},[186,497],[123,20280,432],{"className":20281},[186,504,497],[123,20283,274],{"className":20284},[300,497],[123,20286,80],{"className":20287},[186,497],[123,20289,20290,20293],{"style":508},[123,20291],{"className":20292,"style":490},[489],[123,20294,20296],{"className":20295},[494,495,496,497],[123,20297,20299,20302,20305,20308],{"className":20298},[186,497],[123,20300,690],{"className":20301},[186,497],[123,20303,432],{"className":20304},[186,504,497],[123,20306,274],{"className":20307},[300,497],[123,20309,80],{"className":20310},[186,497],[123,20312,525],{"className":20313},[524],[123,20315,20317],{"className":20316},[477],[123,20318,20320],{"className":20319,"style":1730},[481],[123,20321],{},[123,20323,20325],{"className":20324,"style":460},[538,459],[123,20326,438],{"className":20327},[464,465]," — una entrada del triángulo de Tartaglia. Los números de Catalan cuentan sólo los caminos que nunca cruzan por encima de cero antes del paso final. Son, literalmente, una selección filtrada dentro del triángulo — la misma herramienta que usamos en el ",[2780,20330,20332],{"href":14283,"rel":20331},[2784],"artículo anterior"," para contar combinaciones de monedas, ahora con una restricción adicional. Si quieres explorar esta conexión en más detalle, Matt Parker la explica de forma brillante en ",[2780,20335,20337],{"href":14138,"rel":20336},[2784],"su vídeo",[34,20339,20341],{"id":20340},"la-serie-infinita","La serie infinita",[30,20343,20344,20345,20400],{},"Volvamos a nuestra tabla. La contribución de las secuencias de longitud ",[123,20346,20348,20367],{"className":20347},[126],[123,20349,20351],{"className":20350},[130],[132,20352,20353],{"xmlns":134},[136,20354,20355,20365],{},[139,20356,20357,20359,20361,20363],{},[142,20358,690],{},[430,20360,432],{},[145,20362,274],{},[142,20364,80],{},[166,20366,16210],{"encoding":168},[123,20368,20370,20391],{"className":20369,"ariaHidden":147},[173],[123,20371,20373,20376,20379,20382,20385,20388],{"className":20372},[177],[123,20374],{"className":20375,"style":289},[181],[123,20377,690],{"className":20378},[186],[123,20380,432],{"className":20381},[186,504],[123,20383],{"className":20384,"style":296},[194],[123,20386,274],{"className":20387},[300],[123,20389],{"className":20390,"style":296},[194],[123,20392,20394,20397],{"className":20393},[177],[123,20395],{"className":20396,"style":252},[181],[123,20398,80],{"className":20399},[186]," al promedio total es:",[30,20402,20404],{"className":20403},[409],[123,20405,20407,20515],{"className":20406},[126],[123,20408,20410],{"className":20409},[130],[132,20411,20412],{"xmlns":134},[136,20413,20414,20512],{},[139,20415,20416,20450,20452,20467,20469],{},[20417,20418,20419,20448],"munder",{},[20417,20420,20421,20445],{},[2521,20422,20423,20435],{},[139,20424,20425,20427,20433],{},[145,20426,424],{"fence":147},[426,20428,20429,20431],{},[142,20430,80],{},[142,20432,690],{},[145,20434,438],{"fence":147},[139,20436,20437,20439,20441,20443],{},[142,20438,690],{},[430,20440,432],{},[145,20442,274],{},[142,20444,80],{},[145,20446,20447],{"stretchy":147},"⏟",[1901,20449,3246],{},[145,20451,1210],{},[20417,20453,20454,20464],{},[20417,20455,20456,20462],{},[12064,20457,20458,20460],{},[430,20459,18293],{},[430,20461,432],{},[145,20463,20447],{"stretchy":147},[1901,20465,20466],{},"n.º de secuencias",[145,20468,1210],{},[20417,20470,20471,20495],{},[20417,20472,20473,20493],{},[426,20474,20475,20483],{},[139,20476,20477,20479,20481],{},[430,20478,432],{},[145,20480,274],{},[142,20482,80],{},[139,20484,20485,20487,20489,20491],{},[142,20486,690],{},[430,20488,432],{},[145,20490,274],{},[142,20492,80],{},[145,20494,20447],{"stretchy":147},[139,20496,20497,20500,20509],{},[1901,20498,20499],{},"proporci",[20501,20502,20503,20506],"mover",{"accent":147},[1901,20504,20505],{},"o",[145,20507,20508],{},"ˊ",[1901,20510,20511],{},"n de caras",[166,20513,20514],{"encoding":168},"\\underbrace{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2n+1}}_{\\text{probabilidad}} \\times \\underbrace{C_n}_{\\text{n.º de secuencias}} \\times \\underbrace{\\frac{n+1}{2n+1}}_{\\text{proporción de caras}}",[123,20516,20518,20780,20946],{"className":20517,"ariaHidden":147},[173],[123,20519,20521,20525,20771,20774,20777],{"className":20520},[177],[123,20522],{"className":20523,"style":20524},[181],"height:4.0743em;vertical-align:-2.4202em;",[123,20526,20528],{"className":20527},[2195,20417],[123,20529,20531,20762],{"className":20530},[472,473],[123,20532,20534,20759],{"className":20533},[477],[123,20535,20538,20557],{"className":20536,"style":20537},[481],"height:1.654em;",[123,20539,20541,20545],{"style":20540},"top:-1.3699em;",[123,20542],{"className":20543,"style":20544},[489],"height:3.654em;",[123,20546,20548],{"className":20547},[494,495,496,497],[123,20549,20551],{"className":20550},[186,497],[123,20552,20554],{"className":20553},[186,104,497],[123,20555,3246],{"className":20556},[186,497],[123,20558,20560,20563],{"style":20559},"top:-3.654em;",[123,20561],{"className":20562,"style":20544},[489],[123,20564,20566],{"className":20565},[2195,20417],[123,20567,20569,20750],{"className":20568},[472,473],[123,20570,20572,20747],{"className":20571},[477],[123,20573,20575,20619],{"className":20574,"style":20537},[481],[123,20576,20579,20582],{"className":20577,"style":20578},[11662],"top:-2.056em;",[123,20580],{"className":20581,"style":20544},[489],[123,20583,20587,20599,20609],{"className":20584,"style":20586},[20585],"stretchy","height:0.548em;min-width:1.6em;",[123,20588,20592],{"className":20589,"style":20591},[20590],"brace-left","height:0.548em;",[11702,20593,20596],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":11708},"0.548em","0 0 400000 548",[11710,20597],{"d":20598},"M0 6l6-6h17c12.688 0 19.313.3 20 1 4 4 7.313 8.3 10 13\n 35.313 51.3 80.813 93.8 136.5 127.5 55.688 33.7 117.188 55.8 184.5 66.5.688\n 0 2 .3 4 1 18.688 2.7 76 4.3 172 5h399450v120H429l-6-1c-124.688-8-235-61.7\n-331-161C60.687 138.7 32.312 99.3 7 54L0 41V6z",[123,20600,20603],{"className":20601,"style":20591},[20602],"brace-center",[11702,20604,20606],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20605},"xMidYMin slice",[11710,20607],{"d":20608},"M199572 214\nc100.7 8.3 195.3 44 280 108 55.3 42 101.7 93 139 153l9 14c2.7-4 5.7-8.7 9-14\n 53.3-86.7 123.7-153 211-199 66.7-36 137.3-56.3 212-62h199568v120H200432c-178.3\n 11.7-311.7 78.3-403 201-6 8-9.7 12-11 12-.7.7-6.7 1-18 1s-17.3-.3-18-1c-1.3 0\n-5-4-11-12-44.7-59.3-101.3-106.3-170-141s-145.3-54.3-229-60H0V214z",[123,20610,20613],{"className":20611,"style":20591},[20612],"brace-right",[11702,20614,20616],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20615},"xMaxYMin slice",[11710,20617],{"d":20618},"M399994 0l6 6v35l-6 11c-56 104-135.3 181.3-238 232-57.3\n 28.7-117 45-179 50H-300V214h399897c43.3-7 81-15 113-26 100.7-33 179.7-91 237\n-174 2.7-5 6-9 10-13 .7-1 7.3-1 20-1h17z",[123,20620,20621,20624],{"style":20559},[123,20622],{"className":20623,"style":20544},[489],[123,20625,20627],{"className":20626},[186],[123,20628,20630,20711],{"className":20629},[2195],[123,20631,20633,20639,20705],{"className":20632},[2195],[123,20634,20636],{"className":20635,"style":460},[458,459],[123,20637,424],{"className":20638},[464,496],[123,20640,20642,20645,20702],{"className":20641},[186],[123,20643],{"className":20644},[458,992],[123,20646,20648],{"className":20647},[426],[123,20649,20651,20693],{"className":20650},[472,473],[123,20652,20654,20690],{"className":20653},[477],[123,20655,20658,20670,20678],{"className":20656,"style":20657},[481],"height:1.3214em;",[123,20659,20661,20664],{"style":20660},"top:-2.314em;",[123,20662],{"className":20663,"style":1012},[489],[123,20665,20667],{"className":20666},[186],[123,20668,690],{"className":20669},[186],[123,20671,20672,20675],{"style":1046},[123,20673],{"className":20674,"style":1012},[489],[123,20676],{"className":20677,"style":1054},[1053],[123,20679,20681,20684],{"style":20680},"top:-3.677em;",[123,20682],{"className":20683,"style":1012},[489],[123,20685,20687],{"className":20686},[186],[123,20688,80],{"className":20689},[186],[123,20691,525],{"className":20692},[524],[123,20694,20696],{"className":20695},[477],[123,20697,20700],{"className":20698,"style":20699},[481],"height:0.686em;",[123,20701],{},[123,20703],{"className":20704},[538,992],[123,20706,20708],{"className":20707,"style":460},[538,459],[123,20709,438],{"className":20710},[464,496],[123,20712,20714],{"className":20713},[2549],[123,20715,20717],{"className":20716},[472],[123,20718,20720],{"className":20719},[477],[123,20721,20723],{"className":20722,"style":20537},[481],[123,20724,20726,20729],{"style":20725},"top:-3.9029em;margin-right:0.05em;",[123,20727],{"className":20728,"style":490},[489],[123,20730,20732],{"className":20731},[494,495,496,497],[123,20733,20735,20738,20741,20744],{"className":20734},[186,497],[123,20736,690],{"className":20737},[186,497],[123,20739,432],{"className":20740},[186,504,497],[123,20742,274],{"className":20743},[300,497],[123,20745,80],{"className":20746},[186,497],[123,20748,525],{"className":20749},[524],[123,20751,20753],{"className":20752},[477],[123,20754,20757],{"className":20755,"style":20756},[481],"height:1.598em;",[123,20758],{},[123,20760,525],{"className":20761},[524],[123,20763,20765],{"className":20764},[477],[123,20766,20769],{"className":20767,"style":20768},[481],"height:2.4202em;",[123,20770],{},[123,20772],{"className":20773,"style":296},[194],[123,20775,1210],{"className":20776},[300],[123,20778],{"className":20779,"style":296},[194],[123,20781,20783,20787,20937,20940,20943],{"className":20782},[177],[123,20784],{"className":20785,"style":20786},[181],"height:2.1674em;vertical-align:-1.4841em;",[123,20788,20790],{"className":20789},[2195,20417],[123,20791,20793,20928],{"className":20792},[472,473],[123,20794,20796,20925],{"className":20795},[477],[123,20797,20799,20817],{"className":20798,"style":3288},[481],[123,20800,20802,20805],{"style":20801},"top:-1.5159em;",[123,20803],{"className":20804,"style":1012},[489],[123,20806,20808],{"className":20807},[494,495,496,497],[123,20809,20811],{"className":20810},[186,497],[123,20812,20814],{"className":20813},[186,104,497],[123,20815,20466],{"className":20816},[186,497],[123,20818,20819,20822],{"style":13828},[123,20820],{"className":20821,"style":1012},[489],[123,20823,20825],{"className":20824},[2195,20417],[123,20826,20828,20916],{"className":20827},[472,473],[123,20829,20831,20913],{"className":20830},[477],[123,20832,20834,20865],{"className":20833,"style":3288},[481],[123,20835,20838,20841],{"className":20836,"style":20837},[11662],"top:-2.202em;",[123,20839],{"className":20840,"style":1012},[489],[123,20842,20844,20851,20858],{"className":20843,"style":20586},[20585],[123,20845,20847],{"className":20846,"style":20591},[20590],[11702,20848,20849],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":11708},[11710,20850],{"d":20598},[123,20852,20854],{"className":20853,"style":20591},[20602],[11702,20855,20856],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20605},[11710,20857],{"d":20608},[123,20859,20861],{"className":20860,"style":20591},[20612],[11702,20862,20863],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20615},[11710,20864],{"d":20618},[123,20866,20867,20870],{"style":13828},[123,20868],{"className":20869,"style":1012},[489],[123,20871,20873],{"className":20872},[186],[123,20874,20876,20879],{"className":20875},[186],[123,20877,18293],{"className":20878,"style":18345},[186,504],[123,20880,20882],{"className":20881},[2549],[123,20883,20885,20905],{"className":20884},[472,473],[123,20886,20888,20902],{"className":20887},[477],[123,20889,20891],{"className":20890,"style":18358},[481],[123,20892,20893,20896],{"style":18361},[123,20894],{"className":20895,"style":490},[489],[123,20897,20899],{"className":20898},[494,495,496,497],[123,20900,432],{"className":20901},[186,504,497],[123,20903,525],{"className":20904},[524],[123,20906,20908],{"className":20907},[477],[123,20909,20911],{"className":20910,"style":18380},[481],[123,20912],{},[123,20914,525],{"className":20915},[524],[123,20917,20919],{"className":20918},[477],[123,20920,20923],{"className":20921,"style":20922},[481],"height:0.798em;",[123,20924],{},[123,20926,525],{"className":20927},[524],[123,20929,20931],{"className":20930},[477],[123,20932,20935],{"className":20933,"style":20934},[481],"height:1.4841em;",[123,20936],{},[123,20938],{"className":20939,"style":296},[194],[123,20941,1210],{"className":20942},[300],[123,20944],{"className":20945,"style":296},[194],[123,20947,20949,20953],{"className":20948},[177],[123,20950],{"className":20951,"style":20952},[181],"height:3.561em;vertical-align:-2.2395em;",[123,20954,20956],{"className":20955},[2195,20417],[123,20957,20959,21184],{"className":20958},[472,473],[123,20960,20962,21181],{"className":20961},[477],[123,20963,20965,21022],{"className":20964,"style":20657},[481],[123,20966,20968,20972],{"style":20967},"top:-1.218em;",[123,20969],{"className":20970,"style":20971},[489],"height:3.3214em;",[123,20973,20975],{"className":20974},[494,495,496,497],[123,20976,20978],{"className":20977},[186,497],[123,20979,20981,20984,21019],{"className":20980},[186,104,497],[123,20982,20499],{"className":20983},[186,497],[123,20985,20988],{"className":20986},[186,20987,497],"accent",[123,20989,20991],{"className":20990},[472],[123,20992,20994],{"className":20993},[477],[123,20995,20997,21006],{"className":20996,"style":602},[481],[123,20998,21000,21003],{"style":20999},"top:-2.7em;",[123,21001],{"className":21002,"style":490},[489],[123,21004,20505],{"className":21005},[186,497],[123,21007,21008,21011],{"style":20999},[123,21009],{"className":21010,"style":490},[489],[123,21012,21016],{"className":21013,"style":21015},[21014],"accent-body","left:-0.25em;",[123,21017,20508],{"className":21018},[186,497],[123,21020,20511],{"className":21021},[186,497],[123,21023,21025,21028],{"style":21024},"top:-3.3214em;",[123,21026],{"className":21027,"style":20971},[489],[123,21029,21031],{"className":21030},[2195,20417],[123,21032,21034,21172],{"className":21033},[472,473],[123,21035,21037,21169],{"className":21036},[477],[123,21038,21040,21071],{"className":21039,"style":20657},[481],[123,21041,21044,21047],{"className":21042,"style":21043},[11662],"top:-1.9041em;",[123,21045],{"className":21046,"style":20971},[489],[123,21048,21050,21057,21064],{"className":21049,"style":20586},[20585],[123,21051,21053],{"className":21052,"style":20591},[20590],[11702,21054,21055],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":11708},[11710,21056],{"d":20598},[123,21058,21060],{"className":21059,"style":20591},[20602],[11702,21061,21062],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20605},[11710,21063],{"d":20608},[123,21065,21067],{"className":21066,"style":20591},[20612],[11702,21068,21069],{"xmlns":11704,"width":11705,"height":20594,"viewBox":20595,"preserveAspectRatio":20615},[11710,21070],{"d":20618},[123,21072,21073,21076],{"style":21024},[123,21074],{"className":21075,"style":20971},[489],[123,21077,21079],{"className":21078},[186],[123,21080,21082,21085,21166],{"className":21081},[186],[123,21083],{"className":21084},[458,992],[123,21086,21088],{"className":21087},[426],[123,21089,21091,21157],{"className":21090},[472,473],[123,21092,21094,21154],{"className":21093},[477],[123,21095,21097,21123,21131],{"className":21096,"style":20657},[481],[123,21098,21099,21102],{"style":20660},[123,21100],{"className":21101,"style":1012},[489],[123,21103,21105,21108,21111,21114,21117,21120],{"className":21104},[186],[123,21106,690],{"className":21107},[186],[123,21109,432],{"className":21110},[186,504],[123,21112],{"className":21113,"style":296},[194],[123,21115,274],{"className":21116},[300],[123,21118],{"className":21119,"style":296},[194],[123,21121,80],{"className":21122},[186],[123,21124,21125,21128],{"style":1046},[123,21126],{"className":21127,"style":1012},[489],[123,21129],{"className":21130,"style":1054},[1053],[123,21132,21133,21136],{"style":20680},[123,21134],{"className":21135,"style":1012},[489],[123,21137,21139,21142,21145,21148,21151],{"className":21138},[186],[123,21140,432],{"className":21141},[186,504],[123,21143],{"className":21144,"style":296},[194],[123,21146,274],{"className":21147},[300],[123,21149],{"className":21150,"style":296},[194],[123,21152,80],{"className":21153},[186],[123,21155,525],{"className":21156},[524],[123,21158,21160],{"className":21159},[477],[123,21161,21164],{"className":21162,"style":21163},[481],"height:0.7693em;",[123,21165],{},[123,21167],{"className":21168},[538,992],[123,21170,525],{"className":21171},[524],[123,21173,21175],{"className":21174},[477],[123,21176,21179],{"className":21177,"style":21178},[481],"height:1.4173em;",[123,21180],{},[123,21182,525],{"className":21183},[524],[123,21185,21187],{"className":21186},[477],[123,21188,21191],{"className":21189,"style":21190},[481],"height:2.2395em;",[123,21192],{},[30,21194,21195,21196,21199,21200,21251],{},"Y la proporción media global es la suma de ",[42,21197,21198],{},"todas"," estas contribuciones, desde ",[123,21201,21203,21221],{"className":21202},[126],[123,21204,21206],{"className":21205},[130],[132,21207,21208],{"xmlns":134},[136,21209,21210,21218],{},[139,21211,21212,21214,21216],{},[430,21213,432],{},[145,21215,695],{},[142,21217,1349],{},[166,21219,21220],{"encoding":168},"n = 0",[123,21222,21224,21242],{"className":21223,"ariaHidden":147},[173],[123,21225,21227,21230,21233,21236,21239],{"className":21226},[177],[123,21228],{"className":21229,"style":572},[181],[123,21231,432],{"className":21232},[186,504],[123,21234],{"className":21235,"style":781},[194],[123,21237,695],{"className":21238},[785],[123,21240],{"className":21241,"style":781},[194],[123,21243,21245,21248],{"className":21244},[177],[123,21246],{"className":21247,"style":252},[181],[123,21249,1349],{"className":21250},[186]," hasta el infinito:",[30,21253,21255],{"className":21254},[409],[123,21256,21258,21335],{"className":21257},[126],[123,21259,21261],{"className":21260},[130],[132,21262,21263],{"xmlns":134},[136,21264,21265,21332],{},[139,21266,21267,21270,21272,21288,21310,21312],{},[1901,21268,21269],{},"Media",[145,21271,695],{},[7985,21273,21274,21276,21284],{},[145,21275,7989],{},[139,21277,21278,21280,21282],{},[430,21279,432],{},[145,21281,695],{},[142,21283,1349],{},[430,21285,21287],{"mathvariant":21286},"normal","∞",[426,21289,21290,21296],{},[12064,21291,21292,21294],{},[430,21293,18293],{},[430,21295,432],{},[2521,21297,21298,21300],{},[142,21299,690],{},[139,21301,21302,21304,21306,21308],{},[142,21303,690],{},[430,21305,432],{},[145,21307,274],{},[142,21309,80],{},[145,21311,878],{},[426,21313,21314,21322],{},[139,21315,21316,21318,21320],{},[430,21317,432],{},[145,21319,274],{},[142,21321,80],{},[139,21323,21324,21326,21328,21330],{},[142,21325,690],{},[430,21327,432],{},[145,21329,274],{},[142,21331,80],{},[166,21333,21334],{"encoding":168},"\\text{Media} = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{C_n}{2^{2n+1}} \\cdot \\frac{n+1}{2n+1}",[123,21336,21338,21359,21589],{"className":21337,"ariaHidden":147},[173],[123,21339,21341,21344,21350,21353,21356],{"className":21340},[177],[123,21342],{"className":21343,"style":602},[181],[123,21345,21347],{"className":21346},[186,104],[123,21348,21269],{"className":21349},[186],[123,21351],{"className":21352,"style":781},[194],[123,21354,695],{"className":21355},[785],[123,21357],{"className":21358,"style":781},[194],[123,21360,21362,21366,21429,21432,21580,21583,21586],{"className":21361},[177],[123,21363],{"className":21364,"style":21365},[181],"height:1.2334em;vertical-align:-0.345em;",[123,21367,21369,21372],{"className":21368},[8118],[123,21370,7989],{"className":21371,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,21373,21375],{"className":21374},[2549],[123,21376,21378,21421],{"className":21377},[472,473],[123,21379,21381,21418],{"className":21380},[477],[123,21382,21384,21404],{"className":21383,"style":8137},[481],[123,21385,21386,21389],{"style":8140},[123,21387],{"className":21388,"style":490},[489],[123,21390,21392],{"className":21391},[494,495,496,497],[123,21393,21395,21398,21401],{"className":21394},[186,497],[123,21396,432],{"className":21397},[186,504,497],[123,21399,695],{"className":21400},[785,497],[123,21402,1349],{"className":21403},[186,497],[123,21405,21406,21409],{"style":8161},[123,21407],{"className":21408,"style":490},[489],[123,21410,21412],{"className":21411},[494,495,496,497],[123,21413,21415],{"className":21414},[186,497],[123,21416,21287],{"className":21417},[186,497],[123,21419,525],{"className":21420},[524],[123,21422,21424],{"className":21423},[477],[123,21425,21427],{"className":21426,"style":8183},[481],[123,21428],{},[123,21430],{"className":21431,"style":195},[194],[123,21433,21435,21438,21577],{"className":21434},[186],[123,21436],{"className":21437},[458,992],[123,21439,21441],{"className":21440},[426],[123,21442,21444,21569],{"className":21443},[472,473],[123,21445,21447,21566],{"className":21446},[477],[123,21448,21451,21503,21511],{"className":21449,"style":21450},[481],"height:0.8884em;",[123,21452,21453,21456],{"style":1008},[123,21454],{"className":21455,"style":1012},[489],[123,21457,21459],{"className":21458},[494,495,496,497],[123,21460,21462],{"className":21461},[186,497],[123,21463,21465,21468],{"className":21464},[186,497],[123,21466,690],{"className":21467},[186,497],[123,21469,21471],{"className":21470},[2549],[123,21472,21474],{"className":21473},[472],[123,21475,21477],{"className":21476},[477],[123,21478,21480],{"className":21479,"style":3577},[481],[123,21481,21482,21485],{"style":3580},[123,21483],{"className":21484,"style":3584},[489],[123,21486,21488],{"className":21487},[494,3588,465,497],[123,21489,21491,21494,21497,21500],{"className":21490},[186,497],[123,21492,690],{"className":21493},[186,497],[123,21495,432],{"className":21496},[186,504,497],[123,21498,274],{"className":21499},[300,497],[123,21501,80],{"className":21502},[186,497],[123,21504,21505,21508],{"style":1046},[123,21506],{"className":21507,"style":1012},[489],[123,21509],{"className":21510,"style":1054},[1053],[123,21512,21514,21517],{"style":21513},"top:-3.4101em;",[123,21515],{"className":21516,"style":1012},[489],[123,21518,21520],{"className":21519},[494,495,496,497],[123,21521,21523],{"className":21522},[186,497],[123,21524,21526,21529],{"className":21525},[186,497],[123,21527,18293],{"className":21528,"style":18345},[186,504,497],[123,21530,21532],{"className":21531},[2549],[123,21533,21535,21557],{"className":21534},[472,473],[123,21536,21538,21554],{"className":21537},[477],[123,21539,21542],{"className":21540,"style":21541},[481],"height:0.1645em;",[123,21543,21545,21548],{"style":21544},"top:-2.357em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.0714em;",[123,21546],{"className":21547,"style":3584},[489],[123,21549,21551],{"className":21550},[494,3588,465,497],[123,21552,432],{"className":21553},[186,504,497],[123,21555,525],{"className":21556},[524],[123,21558,21560],{"className":21559},[477],[123,21561,21564],{"className":21562,"style":21563},[481],"height:0.143em;",[123,21565],{},[123,21567,525],{"className":21568},[524],[123,21570,21572],{"className":21571},[477],[123,21573,21575],{"className":21574,"style":532},[481],[123,21576],{},[123,21578],{"className":21579},[538,992],[123,21581],{"className":21582,"style":296},[194],[123,21584,878],{"className":21585},[300],[123,21587],{"className":21588,"style":296},[194],[123,21590,21592,21595],{"className":21591},[177],[123,21593],{"className":21594,"style":1659},[181],[123,21596,21598,21601,21675],{"className":21597},[186],[123,21599],{"className":21600},[458,992],[123,21602,21604],{"className":21603},[426],[123,21605,21607,21667],{"className":21606},[472,473],[123,21608,21610,21664],{"className":21609},[477],[123,21611,21613,21636,21644],{"className":21612,"style":1678},[481],[123,21614,21615,21618],{"style":1008},[123,21616],{"className":21617,"style":1012},[489],[123,21619,21621],{"className":21620},[494,495,496,497],[123,21622,21624,21627,21630,21633],{"className":21623},[186,497],[123,21625,690],{"className":21626},[186,497],[123,21628,432],{"className":21629},[186,504,497],[123,21631,274],{"className":21632},[300,497],[123,21634,80],{"className":21635},[186,497],[123,21637,21638,21641],{"style":1046},[123,21639],{"className":21640,"style":1012},[489],[123,21642],{"className":21643,"style":1054},[1053],[123,21645,21646,21649],{"style":1057},[123,21647],{"className":21648,"style":1012},[489],[123,21650,21652],{"className":21651},[494,495,496,497],[123,21653,21655,21658,21661],{"className":21654},[186,497],[123,21656,432],{"className":21657},[186,504,497],[123,21659,274],{"className":21660},[300,497],[123,21662,80],{"className":21663},[186,497],[123,21665,525],{"className":21666},[524],[123,21668,21670],{"className":21669},[477],[123,21671,21673],{"className":21672,"style":1730},[481],[123,21674],{},[123,21676],{"className":21677},[538,992],[30,21679,21680],{},"Calculemos los primeros términos:",[2633,21682,21683,21723],{},[2636,21684,21685],{},[2639,21686,21687,21717,21720],{},[2642,21688,21689],{"align":2644},[123,21690,21692,21705],{"className":21691},[126],[123,21693,21695],{"className":21694},[130],[132,21696,21697],{"xmlns":134},[136,21698,21699,21703],{},[139,21700,21701],{},[430,21702,432],{},[166,21704,432],{"encoding":168},[123,21706,21708],{"className":21707,"ariaHidden":147},[173],[123,21709,21711,21714],{"className":21710},[177],[123,21712],{"className":21713,"style":572},[181],[123,21715,432],{"className":21716},[186,504],[2642,21718,21719],{"align":2900},"Contribución",[2642,21721,21722],{"align":2900},"Acumulado",[2736,21724,21725,21946,22239,22531,22823],{},[2639,21726,21727,21729,21904],{},[2741,21728,1349],{"align":2644},[2741,21730,21731],{"align":2900},[123,21732,21734,21764],{"className":21733},[126],[123,21735,21737],{"className":21736},[130],[132,21738,21739],{"xmlns":134},[136,21740,21741,21761],{},[139,21742,21743,21749,21751,21753,21755,21757,21759],{},[426,21744,21745,21747],{},[142,21746,80],{},[142,21748,690],{},[145,21750,1210],{},[142,21752,80],{},[145,21754,1210],{},[142,21756,80],{},[145,21758,695],{},[142,21760,14549],{},[166,21762,21763],{"encoding":168},"\\frac{1}{2} \\times 1 \\times 1 = 0{,}5",[123,21765,21767,21850,21868,21886],{"className":21766,"ariaHidden":147},[173],[123,21768,21770,21773,21841,21844,21847],{"className":21769},[177],[123,21771],{"className":21772,"style":1751},[181],[123,21774,21776,21779,21838],{"className":21775},[186],[123,21777],{"className":21778},[458,992],[123,21780,21782],{"className":21781},[426],[123,21783,21785,21830],{"className":21784},[472,473],[123,21786,21788,21827],{"className":21787},[477],[123,21789,21791,21805,21813],{"className":21790,"style":1678},[481],[123,21792,21793,21796],{"style":1008},[123,21794],{"className":21795,"style":1012},[489],[123,21797,21799],{"className":21798},[494,495,496,497],[123,21800,21802],{"className":21801},[186,497],[123,21803,690],{"className":21804},[186,497],[123,21806,21807,21810],{"style":1046},[123,21808],{"className":21809,"style":1012},[489],[123,21811],{"className":21812,"style":1054},[1053],[123,21814,21815,21818],{"style":1057},[123,21816],{"className":21817,"style":1012},[489],[123,21819,21821],{"className":21820},[494,495,496,497],[123,21822,21824],{"className":21823},[186,497],[123,21825,80],{"className":21826},[186,497],[123,21828,525],{"className":21829},[524],[123,21831,21833],{"className":21832},[477],[123,21834,21836],{"className":21835,"style":532},[481],[123,21837],{},[123,21839],{"className":21840},[538,992],[123,21842],{"className":21843,"style":296},[194],[123,21845,1210],{"className":21846},[300],[123,21848],{"className":21849,"style":296},[194],[123,21851,21853,21856,21859,21862,21865],{"className":21852},[177],[123,21854],{"className":21855,"style":289},[181],[123,21857,80],{"className":21858},[186],[123,21860],{"className":21861,"style":296},[194],[123,21863,1210],{"className":21864},[300],[123,21866],{"className":21867,"style":296},[194],[123,21869,21871,21874,21877,21880,21883],{"className":21870},[177],[123,21872],{"className":21873,"style":252},[181],[123,21875,80],{"className":21876},[186],[123,21878],{"className":21879,"style":781},[194],[123,21881,695],{"className":21882},[785],[123,21884],{"className":21885,"style":781},[194],[123,21887,21889,21892,21895,21901],{"className":21888},[177],[123,21890],{"className":21891,"style":182},[181],[123,21893,1349],{"className":21894},[186],[123,21896,21898],{"className":21897},[186],[123,21899,148],{"className":21900},[190],[123,21902,2761],{"className":21903},[186],[2741,21905,21906],{"align":2900},[123,21907,21909,21924],{"className":21908},[126],[123,21910,21912],{"className":21911},[130],[132,21913,21914],{"xmlns":134},[136,21915,21916,21921],{},[139,21917,21918],{},[142,21919,21920],{},"0,5000",[166,21922,21923],{"encoding":168},"0{,}5000",[123,21925,21927],{"className":21926,"ariaHidden":147},[173],[123,21928,21930,21933,21936,21942],{"className":21929},[177],[123,21931],{"className":21932,"style":182},[181],[123,21934,1349],{"className":21935},[186],[123,21937,21939],{"className":21938},[186],[123,21940,148],{"className":21941},[190],[123,21943,21945],{"className":21944},[186],"5000",[2639,21947,21948,21950,22197],{},[2741,21949,80],{"align":2644},[2741,21951,21952],{"align":2900},[123,21953,21955,21991],{"className":21954},[126],[123,21956,21958],{"className":21957},[130],[132,21959,21960],{"xmlns":134},[136,21961,21962,21988],{},[139,21963,21964,21970,21972,21974,21976,21982,21985],{},[426,21965,21966,21968],{},[142,21967,80],{},[142,21969,2428],{},[145,21971,1210],{},[142,21973,80],{},[145,21975,1210],{},[426,21977,21978,21980],{},[142,21979,690],{},[142,21981,271],{},[145,21983,21984],{},"≈",[142,21986,21987],{},"0,0833",[166,21989,21990],{"encoding":168},"\\frac{1}{8} \\times 1 \\times \\frac{2}{3} \\approx 0{,}0833",[123,21992,21994,22077,22095,22178],{"className":21993,"ariaHidden":147},[173],[123,21995,21997,22000,22068,22071,22074],{"className":21996},[177],[123,21998],{"className":21999,"style":1751},[181],[123,22001,22003,22006,22065],{"className":22002},[186],[123,22004],{"className":22005},[458,992],[123,22007,22009],{"className":22008},[426],[123,22010,22012,22057],{"className":22011},[472,473],[123,22013,22015,22054],{"className":22014},[477],[123,22016,22018,22032,22040],{"className":22017,"style":1678},[481],[123,22019,22020,22023],{"style":1008},[123,22021],{"className":22022,"style":1012},[489],[123,22024,22026],{"className":22025},[494,495,496,497],[123,22027,22029],{"className":22028},[186,497],[123,22030,2428],{"className":22031},[186,497],[123,22033,22034,22037],{"style":1046},[123,22035],{"className":22036,"style":1012},[489],[123,22038],{"className":22039,"style":1054},[1053],[123,22041,22042,22045],{"style":1057},[123,22043],{"className":22044,"style":1012},[489],[123,22046,22048],{"className":22047},[494,495,496,497],[123,22049,22051],{"className":22050},[186,497],[123,22052,80],{"className":22053},[186,497],[123,22055,525],{"className":22056},[524],[123,22058,22060],{"className":22059},[477],[123,22061,22063],{"className":22062,"style":532},[481],[123,22064],{},[123,22066],{"className":22067},[538,992],[123,22069],{"className":22070,"style":296},[194],[123,22072,1210],{"className":22073},[300],[123,22075],{"className":22076,"style":296},[194],[123,22078,22080,22083,22086,22089,22092],{"className":22079},[177],[123,22081],{"className":22082,"style":289},[181],[123,22084,80],{"className":22085},[186],[123,22087],{"className":22088,"style":296},[194],[123,22090,1210],{"className":22091},[300],[123,22093],{"className":22094,"style":296},[194],[123,22096,22098,22101,22169,22172,22175],{"className":22097},[177],[123,22099],{"className":22100,"style":1751},[181],[123,22102,22104,22107,22166],{"className":22103},[186],[123,22105],{"className":22106},[458,992],[123,22108,22110],{"className":22109},[426],[123,22111,22113,22158],{"className":22112},[472,473],[123,22114,22116,22155],{"className":22115},[477],[123,22117,22119,22133,22141],{"className":22118,"style":1678},[481],[123,22120,22121,22124],{"style":1008},[123,22122],{"className":22123,"style":1012},[489],[123,22125,22127],{"className":22126},[494,495,496,497],[123,22128,22130],{"className":22129},[186,497],[123,22131,271],{"className":22132},[186,497],[123,22134,22135,22138],{"style":1046},[123,22136],{"className":22137,"style":1012},[489],[123,22139],{"className":22140,"style":1054},[1053],[123,22142,22143,22146],{"style":1057},[123,22144],{"className":22145,"style":1012},[489],[123,22147,22149],{"className":22148},[494,495,496,497],[123,22150,22152],{"className":22151},[186,497],[123,22153,690],{"className":22154},[186,497],[123,22156,525],{"className":22157},[524],[123,22159,22161],{"className":22160},[477],[123,22162,22164],{"className":22163,"style":532},[481],[123,22165],{},[123,22167],{"className":22168},[538,992],[123,22170],{"className":22171,"style":781},[194],[123,22173,21984],{"className":22174},[785],[123,22176],{"className":22177,"style":781},[194],[123,22179,22181,22184,22187,22193],{"className":22180},[177],[123,22182],{"className":22183,"style":182},[181],[123,22185,1349],{"className":22186},[186],[123,22188,22190],{"className":22189},[186],[123,22191,148],{"className":22192},[190],[123,22194,22196],{"className":22195},[186],"0833",[2741,22198,22199],{"align":2900},[123,22200,22202,22217],{"className":22201},[126],[123,22203,22205],{"className":22204},[130],[132,22206,22207],{"xmlns":134},[136,22208,22209,22214],{},[139,22210,22211],{},[142,22212,22213],{},"0,5833",[166,22215,22216],{"encoding":168},"0{,}5833",[123,22218,22220],{"className":22219,"ariaHidden":147},[173],[123,22221,22223,22226,22229,22235],{"className":22222},[177],[123,22224],{"className":22225,"style":182},[181],[123,22227,1349],{"className":22228},[186],[123,22230,22232],{"className":22231},[186],[123,22233,148],{"className":22234},[190],[123,22236,22238],{"className":22237},[186],"5833",[2639,22240,22241,22243,22489],{},[2741,22242,690],{"align":2644},[2741,22244,22245],{"align":2900},[123,22246,22248,22283],{"className":22247},[126],[123,22249,22251],{"className":22250},[130],[132,22252,22253],{"xmlns":134},[136,22254,22255,22280],{},[139,22256,22257,22263,22265,22267,22269,22275,22277],{},[426,22258,22259,22261],{},[142,22260,80],{},[142,22262,2764],{},[145,22264,1210],{},[142,22266,690],{},[145,22268,1210],{},[426,22270,22271,22273],{},[142,22272,271],{},[142,22274,2761],{},[145,22276,695],{},[142,22278,22279],{},"0,0375",[166,22281,22282],{"encoding":168},"\\frac{1}{32} \\times 2 \\times \\frac{3}{5} = 0{,}0375",[123,22284,22286,22369,22387,22470],{"className":22285,"ariaHidden":147},[173],[123,22287,22289,22292,22360,22363,22366],{"className":22288},[177],[123,22290],{"className":22291,"style":1751},[181],[123,22293,22295,22298,22357],{"className":22294},[186],[123,22296],{"className":22297},[458,992],[123,22299,22301],{"className":22300},[426],[123,22302,22304,22349],{"className":22303},[472,473],[123,22305,22307,22346],{"className":22306},[477],[123,22308,22310,22324,22332],{"className":22309,"style":1678},[481],[123,22311,22312,22315],{"style":1008},[123,22313],{"className":22314,"style":1012},[489],[123,22316,22318],{"className":22317},[494,495,496,497],[123,22319,22321],{"className":22320},[186,497],[123,22322,2764],{"className":22323},[186,497],[123,22325,22326,22329],{"style":1046},[123,22327],{"className":22328,"style":1012},[489],[123,22330],{"className":22331,"style":1054},[1053],[123,22333,22334,22337],{"style":1057},[123,22335],{"className":22336,"style":1012},[489],[123,22338,22340],{"className":22339},[494,495,496,497],[123,22341,22343],{"className":22342},[186,497],[123,22344,80],{"className":22345},[186,497],[123,22347,525],{"className":22348},[524],[123,22350,22352],{"className":22351},[477],[123,22353,22355],{"className":22354,"style":532},[481],[123,22356],{},[123,22358],{"className":22359},[538,992],[123,22361],{"className":22362,"style":296},[194],[123,22364,1210],{"className":22365},[300],[123,22367],{"className":22368,"style":296},[194],[123,22370,22372,22375,22378,22381,22384],{"className":22371},[177],[123,22373],{"className":22374,"style":289},[181],[123,22376,690],{"className":22377},[186],[123,22379],{"className":22380,"style":296},[194],[123,22382,1210],{"className":22383},[300],[123,22385],{"className":22386,"style":296},[194],[123,22388,22390,22393,22461,22464,22467],{"className":22389},[177],[123,22391],{"className":22392,"style":1751},[181],[123,22394,22396,22399,22458],{"className":22395},[186],[123,22397],{"className":22398},[458,992],[123,22400,22402],{"className":22401},[426],[123,22403,22405,22450],{"className":22404},[472,473],[123,22406,22408,22447],{"className":22407},[477],[123,22409,22411,22425,22433],{"className":22410,"style":1678},[481],[123,22412,22413,22416],{"style":1008},[123,22414],{"className":22415,"style":1012},[489],[123,22417,22419],{"className":22418},[494,495,496,497],[123,22420,22422],{"className":22421},[186,497],[123,22423,2761],{"className":22424},[186,497],[123,22426,22427,22430],{"style":1046},[123,22428],{"className":22429,"style":1012},[489],[123,22431],{"className":22432,"style":1054},[1053],[123,22434,22435,22438],{"style":1057},[123,22436],{"className":22437,"style":1012},[489],[123,22439,22441],{"className":22440},[494,495,496,497],[123,22442,22444],{"className":22443},[186,497],[123,22445,271],{"className":22446},[186,497],[123,22448,525],{"className":22449},[524],[123,22451,22453],{"className":22452},[477],[123,22454,22456],{"className":22455,"style":532},[481],[123,22457],{},[123,22459],{"className":22460},[538,992],[123,22462],{"className":22463,"style":781},[194],[123,22465,695],{"className":22466},[785],[123,22468],{"className":22469,"style":781},[194],[123,22471,22473,22476,22479,22485],{"className":22472},[177],[123,22474],{"className":22475,"style":182},[181],[123,22477,1349],{"className":22478},[186],[123,22480,22482],{"className":22481},[186],[123,22483,148],{"className":22484},[190],[123,22486,22488],{"className":22487},[186],"0375",[2741,22490,22491],{"align":2900},[123,22492,22494,22509],{"className":22493},[126],[123,22495,22497],{"className":22496},[130],[132,22498,22499],{"xmlns":134},[136,22500,22501,22506],{},[139,22502,22503],{},[142,22504,22505],{},"0,6208",[166,22507,22508],{"encoding":168},"0{,}6208",[123,22510,22512],{"className":22511,"ariaHidden":147},[173],[123,22513,22515,22518,22521,22527],{"className":22514},[177],[123,22516],{"className":22517,"style":182},[181],[123,22519,1349],{"className":22520},[186],[123,22522,22524],{"className":22523},[186],[123,22525,148],{"className":22526},[190],[123,22528,22530],{"className":22529},[186],"6208",[2639,22532,22533,22535,22781],{},[2741,22534,271],{"align":2644},[2741,22536,22537],{"align":2900},[123,22538,22540,22575],{"className":22539},[126],[123,22541,22543],{"className":22542},[130],[132,22544,22545],{"xmlns":134},[136,22546,22547,22572],{},[139,22548,22549,22555,22557,22559,22561,22567,22569],{},[426,22550,22551,22553],{},[142,22552,80],{},[142,22554,17204],{},[145,22556,1210],{},[142,22558,2761],{},[145,22560,1210],{},[426,22562,22563,22565],{},[142,22564,151],{},[142,22566,17101],{},[145,22568,21984],{},[142,22570,22571],{},"0,0223",[166,22573,22574],{"encoding":168},"\\frac{1}{128} \\times 5 \\times \\frac{4}{7} \\approx 0{,}0223",[123,22576,22578,22661,22679,22762],{"className":22577,"ariaHidden":147},[173],[123,22579,22581,22584,22652,22655,22658],{"className":22580},[177],[123,22582],{"className":22583,"style":1751},[181],[123,22585,22587,22590,22649],{"className":22586},[186],[123,22588],{"className":22589},[458,992],[123,22591,22593],{"className":22592},[426],[123,22594,22596,22641],{"className":22595},[472,473],[123,22597,22599,22638],{"className":22598},[477],[123,22600,22602,22616,22624],{"className":22601,"style":1678},[481],[123,22603,22604,22607],{"style":1008},[123,22605],{"className":22606,"style":1012},[489],[123,22608,22610],{"className":22609},[494,495,496,497],[123,22611,22613],{"className":22612},[186,497],[123,22614,17204],{"className":22615},[186,497],[123,22617,22618,22621],{"style":1046},[123,22619],{"className":22620,"style":1012},[489],[123,22622],{"className":22623,"style":1054},[1053],[123,22625,22626,22629],{"style":1057},[123,22627],{"className":22628,"style":1012},[489],[123,22630,22632],{"className":22631},[494,495,496,497],[123,22633,22635],{"className":22634},[186,497],[123,22636,80],{"className":22637},[186,497],[123,22639,525],{"className":22640},[524],[123,22642,22644],{"className":22643},[477],[123,22645,22647],{"className":22646,"style":532},[481],[123,22648],{},[123,22650],{"className":22651},[538,992],[123,22653],{"className":22654,"style":296},[194],[123,22656,1210],{"className":22657},[300],[123,22659],{"className":22660,"style":296},[194],[123,22662,22664,22667,22670,22673,22676],{"className":22663},[177],[123,22665],{"className":22666,"style":289},[181],[123,22668,2761],{"className":22669},[186],[123,22671],{"className":22672,"style":296},[194],[123,22674,1210],{"className":22675},[300],[123,22677],{"className":22678,"style":296},[194],[123,22680,22682,22685,22753,22756,22759],{"className":22681},[177],[123,22683],{"className":22684,"style":1751},[181],[123,22686,22688,22691,22750],{"className":22687},[186],[123,22689],{"className":22690},[458,992],[123,22692,22694],{"className":22693},[426],[123,22695,22697,22742],{"className":22696},[472,473],[123,22698,22700,22739],{"className":22699},[477],[123,22701,22703,22717,22725],{"className":22702,"style":1678},[481],[123,22704,22705,22708],{"style":1008},[123,22706],{"className":22707,"style":1012},[489],[123,22709,22711],{"className":22710},[494,495,496,497],[123,22712,22714],{"className":22713},[186,497],[123,22715,17101],{"className":22716},[186,497],[123,22718,22719,22722],{"style":1046},[123,22720],{"className":22721,"style":1012},[489],[123,22723],{"className":22724,"style":1054},[1053],[123,22726,22727,22730],{"style":1057},[123,22728],{"className":22729,"style":1012},[489],[123,22731,22733],{"className":22732},[494,495,496,497],[123,22734,22736],{"className":22735},[186,497],[123,22737,151],{"className":22738},[186,497],[123,22740,525],{"className":22741},[524],[123,22743,22745],{"className":22744},[477],[123,22746,22748],{"className":22747,"style":532},[481],[123,22749],{},[123,22751],{"className":22752},[538,992],[123,22754],{"className":22755,"style":781},[194],[123,22757,21984],{"className":22758},[785],[123,22760],{"className":22761,"style":781},[194],[123,22763,22765,22768,22771,22777],{"className":22764},[177],[123,22766],{"className":22767,"style":182},[181],[123,22769,1349],{"className":22770},[186],[123,22772,22774],{"className":22773},[186],[123,22775,148],{"className":22776},[190],[123,22778,22780],{"className":22779},[186],"0223",[2741,22782,22783],{"align":2900},[123,22784,22786,22801],{"className":22785},[126],[123,22787,22789],{"className":22788},[130],[132,22790,22791],{"xmlns":134},[136,22792,22793,22798],{},[139,22794,22795],{},[142,22796,22797],{},"0,6431",[166,22799,22800],{"encoding":168},"0{,}6431",[123,22802,22804],{"className":22803,"ariaHidden":147},[173],[123,22805,22807,22810,22813,22819],{"className":22806},[177],[123,22808],{"className":22809,"style":182},[181],[123,22811,1349],{"className":22812},[186],[123,22814,22816],{"className":22815},[186],[123,22817,148],{"className":22818},[190],[123,22820,22822],{"className":22821},[186],"6431",[2639,22824,22825,22827,23073],{},[2741,22826,151],{"align":2644},[2741,22828,22829],{"align":2900},[123,22830,22832,22867],{"className":22831},[126],[123,22833,22835],{"className":22834},[130],[132,22836,22837],{"xmlns":134},[136,22838,22839,22864],{},[139,22840,22841,22847,22849,22851,22853,22859,22861],{},[426,22842,22843,22845],{},[142,22844,80],{},[142,22846,17465],{},[145,22848,1210],{},[142,22850,17444],{},[145,22852,1210],{},[426,22854,22855,22857],{},[142,22856,2761],{},[142,22858,17361],{},[145,22860,21984],{},[142,22862,22863],{},"0,0152",[166,22865,22866],{"encoding":168},"\\frac{1}{512} \\times 14 \\times \\frac{5}{9} \\approx 0{,}0152",[123,22868,22870,22953,22971,23054],{"className":22869,"ariaHidden":147},[173],[123,22871,22873,22876,22944,22947,22950],{"className":22872},[177],[123,22874],{"className":22875,"style":1751},[181],[123,22877,22879,22882,22941],{"className":22878},[186],[123,22880],{"className":22881},[458,992],[123,22883,22885],{"className":22884},[426],[123,22886,22888,22933],{"className":22887},[472,473],[123,22889,22891,22930],{"className":22890},[477],[123,22892,22894,22908,22916],{"className":22893,"style":1678},[481],[123,22895,22896,22899],{"style":1008},[123,22897],{"className":22898,"style":1012},[489],[123,22900,22902],{"className":22901},[494,495,496,497],[123,22903,22905],{"className":22904},[186,497],[123,22906,17465],{"className":22907},[186,497],[123,22909,22910,22913],{"style":1046},[123,22911],{"className":22912,"style":1012},[489],[123,22914],{"className":22915,"style":1054},[1053],[123,22917,22918,22921],{"style":1057},[123,22919],{"className":22920,"style":1012},[489],[123,22922,22924],{"className":22923},[494,495,496,497],[123,22925,22927],{"className":22926},[186,497],[123,22928,80],{"className":22929},[186,497],[123,22931,525],{"className":22932},[524],[123,22934,22936],{"className":22935},[477],[123,22937,22939],{"className":22938,"style":532},[481],[123,22940],{},[123,22942],{"className":22943},[538,992],[123,22945],{"className":22946,"style":296},[194],[123,22948,1210],{"className":22949},[300],[123,22951],{"className":22952,"style":296},[194],[123,22954,22956,22959,22962,22965,22968],{"className":22955},[177],[123,22957],{"className":22958,"style":289},[181],[123,22960,17444],{"className":22961},[186],[123,22963],{"className":22964,"style":296},[194],[123,22966,1210],{"className":22967},[300],[123,22969],{"className":22970,"style":296},[194],[123,22972,22974,22977,23045,23048,23051],{"className":22973},[177],[123,22975],{"className":22976,"style":1751},[181],[123,22978,22980,22983,23042],{"className":22979},[186],[123,22981],{"className":22982},[458,992],[123,22984,22986],{"className":22985},[426],[123,22987,22989,23034],{"className":22988},[472,473],[123,22990,22992,23031],{"className":22991},[477],[123,22993,22995,23009,23017],{"className":22994,"style":1678},[481],[123,22996,22997,23000],{"style":1008},[123,22998],{"className":22999,"style":1012},[489],[123,23001,23003],{"className":23002},[494,495,496,497],[123,23004,23006],{"className":23005},[186,497],[123,23007,17361],{"className":23008},[186,497],[123,23010,23011,23014],{"style":1046},[123,23012],{"className":23013,"style":1012},[489],[123,23015],{"className":23016,"style":1054},[1053],[123,23018,23019,23022],{"style":1057},[123,23020],{"className":23021,"style":1012},[489],[123,23023,23025],{"className":23024},[494,495,496,497],[123,23026,23028],{"className":23027},[186,497],[123,23029,2761],{"className":23030},[186,497],[123,23032,525],{"className":23033},[524],[123,23035,23037],{"className":23036},[477],[123,23038,23040],{"className":23039,"style":532},[481],[123,23041],{},[123,23043],{"className":23044},[538,992],[123,23046],{"className":23047,"style":781},[194],[123,23049,21984],{"className":23050},[785],[123,23052],{"className":23053,"style":781},[194],[123,23055,23057,23060,23063,23069],{"className":23056},[177],[123,23058],{"className":23059,"style":182},[181],[123,23061,1349],{"className":23062},[186],[123,23064,23066],{"className":23065},[186],[123,23067,148],{"className":23068},[190],[123,23070,23072],{"className":23071},[186],"0152",[2741,23074,23075],{"align":2900},[123,23076,23078,23093],{"className":23077},[126],[123,23079,23081],{"className":23080},[130],[132,23082,23083],{"xmlns":134},[136,23084,23085,23090],{},[139,23086,23087],{},[142,23088,23089],{},"0,6583",[166,23091,23092],{"encoding":168},"0{,}6583",[123,23094,23096],{"className":23095,"ariaHidden":147},[173],[123,23097,23099,23102,23105,23111],{"className":23098},[177],[123,23100],{"className":23101,"style":182},[181],[123,23103,1349],{"className":23104},[186],[123,23106,23108],{"className":23107},[186],[123,23109,148],{"className":23110},[190],[123,23112,23114],{"className":23113},[186],"6583",[30,23116,23117,23118,23155,23156,23287],{},"Con sólo cinco términos ya estamos en ",[123,23119,23121,23134],{"className":23120},[126],[123,23122,23124],{"className":23123},[130],[132,23125,23126],{"xmlns":134},[136,23127,23128,23132],{},[139,23129,23130],{},[142,23131,23089],{},[166,23133,23092],{"encoding":168},[123,23135,23137],{"className":23136,"ariaHidden":147},[173],[123,23138,23140,23143,23146,23152],{"className":23139},[177],[123,23141],{"className":23142,"style":182},[181],[123,23144,1349],{"className":23145},[186],[123,23147,23149],{"className":23148},[186],[123,23150,148],{"className":23151},[190],[123,23153,23114],{"className":23154},[186],", acercándonos lentamente a ",[123,23157,23159,23182],{"className":23158},[126],[123,23160,23162],{"className":23161},[130],[132,23163,23164],{"xmlns":134},[136,23165,23166,23179],{},[139,23167,23168,23174,23176],{},[426,23169,23170,23172],{},[430,23171,11552],{},[142,23173,151],{},[145,23175,21984],{},[142,23177,23178],{},"0,7854",[166,23180,23181],{"encoding":168},"\\frac{\\pi}{4} \\approx 0{,}7854",[123,23183,23185,23268],{"className":23184,"ariaHidden":147},[173],[123,23186,23188,23191,23259,23262,23265],{"className":23187},[177],[123,23189],{"className":23190,"style":14172},[181],[123,23192,23194,23197,23256],{"className":23193},[186],[123,23195],{"className":23196},[458,992],[123,23198,23200],{"className":23199},[426],[123,23201,23203,23248],{"className":23202},[472,473],[123,23204,23206,23245],{"className":23205},[477],[123,23207,23209,23223,23231],{"className":23208,"style":14191},[481],[123,23210,23211,23214],{"style":1008},[123,23212],{"className":23213,"style":1012},[489],[123,23215,23217],{"className":23216},[494,495,496,497],[123,23218,23220],{"className":23219},[186,497],[123,23221,151],{"className":23222},[186,497],[123,23224,23225,23228],{"style":1046},[123,23226],{"className":23227,"style":1012},[489],[123,23229],{"className":23230,"style":1054},[1053],[123,23232,23233,23236],{"style":1057},[123,23234],{"className":23235,"style":1012},[489],[123,23237,23239],{"className":23238},[494,495,496,497],[123,23240,23242],{"className":23241},[186,497],[123,23243,11552],{"className":23244,"style":11644},[186,504,497],[123,23246,525],{"className":23247},[524],[123,23249,23251],{"className":23250},[477],[123,23252,23254],{"className":23253,"style":532},[481],[123,23255],{},[123,23257],{"className":23258},[538,992],[123,23260],{"className":23261,"style":781},[194],[123,23263,21984],{"className":23264},[785],[123,23266],{"className":23267,"style":781},[194],[123,23269,23271,23274,23277,23283],{"className":23270},[177],[123,23272],{"className":23273,"style":182},[181],[123,23275,1349],{"className":23276},[186],[123,23278,23280],{"className":23279},[186],[123,23281,148],{"className":23282},[190],[123,23284,23286],{"className":23285},[186],"7854",". La convergencia es lenta, pero la dirección es inequívoca cuando el número de lanzamientos es suficientemente grande.",[34,23289,23291],{"id":23290},"la-aparición-del-arcoseno","La aparición del arcoseno",[30,23293,23294],{},"Aquí es donde ocurre la magia. Sustituyamos la fórmula de los números de Catalan en nuestra serie:",[30,23296,23298],{"className":23297},[409],[123,23299,23301,23348],{"className":23300},[126],[123,23302,23304],{"className":23303},[130],[132,23305,23306],{"xmlns":134},[136,23307,23308,23346],{},[139,23309,23310,23316,23318,23330],{},[12064,23311,23312,23314],{},[430,23313,18293],{},[430,23315,432],{},[145,23317,695],{},[426,23319,23320,23322],{},[142,23321,80],{},[139,23323,23324,23326,23328],{},[430,23325,432],{},[145,23327,274],{},[142,23329,80],{},[139,23331,23332,23334,23344],{},[145,23333,424],{"fence":147},[426,23335,23336,23342],{"linethickness":428},[139,23337,23338,23340],{},[142,23339,690],{},[430,23341,432],{},[430,23343,432],{},[145,23345,438],{"fence":147},[166,23347,18328],{"encoding":168},[123,23349,23351,23406],{"className":23350,"ariaHidden":147},[173],[123,23352,23354,23357,23397,23400,23403],{"className":23353},[177],[123,23355],{"className":23356,"style":18338},[181],[123,23358,23360,23363],{"className":23359},[186],[123,23361,18293],{"className":23362,"style":18345},[186,504],[123,23364,23366],{"className":23365},[2549],[123,23367,23369,23389],{"className":23368},[472,473],[123,23370,23372,23386],{"className":23371},[477],[123,23373,23375],{"className":23374,"style":18358},[481],[123,23376,23377,23380],{"style":18361},[123,23378],{"className":23379,"style":490},[489],[123,23381,23383],{"className":23382},[494,495,496,497],[123,23384,432],{"className":23385},[186,504,497],[123,23387,525],{"className":23388},[524],[123,23390,23392],{"className":23391},[477],[123,23393,23395],{"className":23394,"style":18380},[481],[123,23396],{},[123,23398],{"className":23399,"style":781},[194],[123,23401,695],{"className":23402},[785],[123,23404],{"className":23405,"style":781},[194],[123,23407,23409,23412,23486],{"className":23408},[177],[123,23410],{"className":23411,"style":18398},[181],[123,23413,23415,23418,23483],{"className":23414},[186],[123,23416],{"className":23417},[458,992],[123,23419,23421],{"className":23420},[426],[123,23422,23424,23475],{"className":23423},[472,473],[123,23425,23427,23472],{"className":23426},[477],[123,23428,23430,23450,23458],{"className":23429,"style":1678},[481],[123,23431,23432,23435],{"style":1008},[123,23433],{"className":23434,"style":1012},[489],[123,23436,23438],{"className":23437},[494,495,496,497],[123,23439,23441,23444,23447],{"className":23440},[186,497],[123,23442,432],{"className":23443},[186,504,497],[123,23445,274],{"className":23446},[300,497],[123,23448,80],{"className":23449},[186,497],[123,23451,23452,23455],{"style":1046},[123,23453],{"className":23454,"style":1012},[489],[123,23456],{"className":23457,"style":1054},[1053],[123,23459,23460,23463],{"style":1057},[123,23461],{"className":23462,"style":1012},[489],[123,23464,23466],{"className":23465},[494,495,496,497],[123,23467,23469],{"className":23468},[186,497],[123,23470,80],{"className":23471},[186,497],[123,23473,525],{"className":23474},[524],[123,23476,23478],{"className":23477},[477],[123,23479,23481],{"className":23480,"style":1730},[481],[123,23482],{},[123,23484],{"className":23485},[538,992],[123,23487,23489,23495,23549],{"className":23488},[186],[123,23490,23492],{"className":23491,"style":460},[458,459],[123,23493,424],{"className":23494},[464,465],[123,23496,23498],{"className":23497},[426],[123,23499,23501,23541],{"className":23500},[472,473],[123,23502,23504,23538],{"className":23503},[477],[123,23505,23507,23521],{"className":23506,"style":732},[481],[123,23508,23509,23512],{"style":485},[123,23510],{"className":23511,"style":490},[489],[123,23513,23515],{"className":23514},[494,495,496,497],[123,23516,23518],{"className":23517},[186,497],[123,23519,432],{"className":23520},[186,504,497],[123,23522,23523,23526],{"style":508},[123,23524],{"className":23525,"style":490},[489],[123,23527,23529],{"className":23528},[494,495,496,497],[123,23530,23532,23535],{"className":23531},[186,497],[123,23533,690],{"className":23534},[186,497],[123,23536,432],{"className":23537},[186,504,497],[123,23539,525],{"className":23540},[524],[123,23542,23544],{"className":23543},[477],[123,23545,23547],{"className":23546,"style":532},[481],[123,23548],{},[123,23550,23552],{"className":23551,"style":460},[538,459],[123,23553,438],{"className":23554},[464,465],[30,23556,23557,23558,23628,23629,23755,23756,23817],{},"Al multiplicar ",[123,23559,23561,23579],{"className":23560},[126],[123,23562,23564],{"className":23563},[130],[132,23565,23566],{"xmlns":134},[136,23567,23568,23576],{},[139,23569,23570],{},[12064,23571,23572,23574],{},[430,23573,18293],{},[430,23575,432],{},[166,23577,23578],{"encoding":168},"C_n",[123,23580,23582],{"className":23581,"ariaHidden":147},[173],[123,23583,23585,23588],{"className":23584},[177],[123,23586],{"className":23587,"style":18338},[181],[123,23589,23591,23594],{"className":23590},[186],[123,23592,18293],{"className":23593,"style":18345},[186,504],[123,23595,23597],{"className":23596},[2549],[123,23598,23600,23620],{"className":23599},[472,473],[123,23601,23603,23617],{"className":23602},[477],[123,23604,23606],{"className":23605,"style":18358},[481],[123,23607,23608,23611],{"style":18361},[123,23609],{"className":23610,"style":490},[489],[123,23612,23614],{"className":23613},[494,495,496,497],[123,23615,432],{"className":23616},[186,504,497],[123,23618,525],{"className":23619},[524],[123,23621,23623],{"className":23622},[477],[123,23624,23626],{"className":23625,"style":18380},[481],[123,23627],{}," por ",[123,23630,23632,23663],{"className":23631},[126],[123,23633,23635],{"className":23634},[130],[132,23636,23637],{"xmlns":134},[136,23638,23639,23661],{},[139,23640,23641],{},[426,23642,23643,23651],{},[139,23644,23645,23647,23649],{},[430,23646,432],{},[145,23648,274],{},[142,23650,80],{},[139,23652,23653,23655,23657,23659],{},[142,23654,690],{},[430,23656,432],{},[145,23658,274],{},[142,23660,80],{},[166,23662,17647],{"encoding":168},[123,23664,23666],{"className":23665,"ariaHidden":147},[173],[123,23667,23669,23672],{"className":23668},[177],[123,23670],{"className":23671,"style":1659},[181],[123,23673,23675,23678,23752],{"className":23674},[186],[123,23676],{"className":23677},[458,992],[123,23679,23681],{"className":23680},[426],[123,23682,23684,23744],{"className":23683},[472,473],[123,23685,23687,23741],{"className":23686},[477],[123,23688,23690,23713,23721],{"className":23689,"style":1678},[481],[123,23691,23692,23695],{"style":1008},[123,23693],{"className":23694,"style":1012},[489],[123,23696,23698],{"className":23697},[494,495,496,497],[123,23699,23701,23704,23707,23710],{"className":23700},[186,497],[123,23702,690],{"className":23703},[186,497],[123,23705,432],{"className":23706},[186,504,497],[123,23708,274],{"className":23709},[300,497],[123,23711,80],{"className":23712},[186,497],[123,23714,23715,23718],{"style":1046},[123,23716],{"className":23717,"style":1012},[489],[123,23719],{"className":23720,"style":1054},[1053],[123,23722,23723,23726],{"style":1057},[123,23724],{"className":23725,"style":1012},[489],[123,23727,23729],{"className":23728},[494,495,496,497],[123,23730,23732,23735,23738],{"className":23731},[186,497],[123,23733,432],{"className":23734},[186,504,497],[123,23736,274],{"className":23737},[300,497],[123,23739,80],{"className":23740},[186,497],[123,23742,525],{"className":23743},[524],[123,23745,23747],{"className":23746},[477],[123,23748,23750],{"className":23749,"style":1730},[481],[123,23751],{},[123,23753],{"className":23754},[538,992],", el factor ",[123,23757,23759,23781],{"className":23758},[126],[123,23760,23762],{"className":23761},[130],[132,23763,23764],{"xmlns":134},[136,23765,23766,23778],{},[139,23767,23768,23770,23772,23774,23776],{},[145,23769,424],{"stretchy":868},[430,23771,432],{},[145,23773,274],{},[142,23775,80],{},[145,23777,438],{"stretchy":868},[166,23779,23780],{"encoding":168},"(n+1)",[123,23782,23784,23805],{"className":23783,"ariaHidden":147},[173],[123,23785,23787,23790,23793,23796,23799,23802],{"className":23786},[177],[123,23788],{"className":23789,"style":3494},[181],[123,23791,424],{"className":23792},[458],[123,23794,432],{"className":23795},[186,504],[123,23797],{"className":23798,"style":296},[194],[123,23800,274],{"className":23801},[300],[123,23803],{"className":23804,"style":296},[194],[123,23806,23808,23811,23814],{"className":23807},[177],[123,23809],{"className":23810,"style":3494},[181],[123,23812,80],{"className":23813},[186],[123,23815,438],{"className":23816},[538]," se cancela limpiamente:",[30,23819,23821],{"className":23820},[409],[123,23822,23824,23916],{"className":23823},[126],[123,23825,23827],{"className":23826},[130],[132,23828,23829],{"xmlns":134},[136,23830,23831,23913],{},[139,23832,23833,23845,23861,23863,23883,23885],{},[426,23834,23835,23837],{},[142,23836,80],{},[139,23838,23839,23841,23843],{},[430,23840,432],{},[145,23842,274],{},[142,23844,80],{},[139,23846,23847,23849,23859],{},[145,23848,424],{"fence":147},[426,23850,23851,23857],{"linethickness":428},[139,23852,23853,23855],{},[142,23854,690],{},[430,23856,432],{},[430,23858,432],{},[145,23860,438],{"fence":147},[145,23862,878],{},[426,23864,23865,23873],{},[139,23866,23867,23869,23871],{},[430,23868,432],{},[145,23870,274],{},[142,23872,80],{},[139,23874,23875,23877,23879,23881],{},[142,23876,690],{},[430,23878,432],{},[145,23880,274],{},[142,23882,80],{},[145,23884,695],{},[426,23886,23887,23903],{},[139,23888,23889,23891,23901],{},[145,23890,424],{"fence":147},[426,23892,23893,23899],{"linethickness":428},[139,23894,23895,23897],{},[142,23896,690],{},[430,23898,432],{},[430,23900,432],{},[145,23902,438],{"fence":147},[139,23904,23905,23907,23909,23911],{},[142,23906,690],{},[430,23908,432],{},[145,23910,274],{},[142,23912,80],{},[166,23914,23915],{"encoding":168},"\\frac{1}{n+1}\\binom{2n}{n} \\cdot \\frac{n+1}{2n+1} = \\frac{\\binom{2n}{n}}{2n+1}",[123,23917,23919,24077,24175],{"className":23918,"ariaHidden":147},[173],[123,23920,23922,23925,23999,24068,24071,24074],{"className":23921},[177],[123,23923],{"className":23924,"style":18398},[181],[123,23926,23928,23931,23996],{"className":23927},[186],[123,23929],{"className":23930},[458,992],[123,23932,23934],{"className":23933},[426],[123,23935,23937,23988],{"className":23936},[472,473],[123,23938,23940,23985],{"className":23939},[477],[123,23941,23943,23963,23971],{"className":23942,"style":1678},[481],[123,23944,23945,23948],{"style":1008},[123,23946],{"className":23947,"style":1012},[489],[123,23949,23951],{"className":23950},[494,495,496,497],[123,23952,23954,23957,23960],{"className":23953},[186,497],[123,23955,432],{"className":23956},[186,504,497],[123,23958,274],{"className":23959},[300,497],[123,23961,80],{"className":23962},[186,497],[123,23964,23965,23968],{"style":1046},[123,23966],{"className":23967,"style":1012},[489],[123,23969],{"className":23970,"style":1054},[1053],[123,23972,23973,23976],{"style":1057},[123,23974],{"className":23975,"style":1012},[489],[123,23977,23979],{"className":23978},[494,495,496,497],[123,23980,23982],{"className":23981},[186,497],[123,23983,80],{"className":23984},[186,497],[123,23986,525],{"className":23987},[524],[123,23989,23991],{"className":23990},[477],[123,23992,23994],{"className":23993,"style":1730},[481],[123,23995],{},[123,23997],{"className":23998},[538,992],[123,24000,24002,24008,24062],{"className":24001},[186],[123,24003,24005],{"className":24004,"style":460},[458,459],[123,24006,424],{"className":24007},[464,465],[123,24009,24011],{"className":24010},[426],[123,24012,24014,24054],{"className":24013},[472,473],[123,24015,24017,24051],{"className":24016},[477],[123,24018,24020,24034],{"className":24019,"style":732},[481],[123,24021,24022,24025],{"style":485},[123,24023],{"className":24024,"style":490},[489],[123,24026,24028],{"className":24027},[494,495,496,497],[123,24029,24031],{"className":24030},[186,497],[123,24032,432],{"className":24033},[186,504,497],[123,24035,24036,24039],{"style":508},[123,24037],{"className":24038,"style":490},[489],[123,24040,24042],{"className":24041},[494,495,496,497],[123,24043,24045,24048],{"className":24044},[186,497],[123,24046,690],{"className":24047},[186,497],[123,24049,432],{"className":24050},[186,504,497],[123,24052,525],{"className":24053},[524],[123,24055,24057],{"className":24056},[477],[123,24058,24060],{"className":24059,"style":532},[481],[123,24061],{},[123,24063,24065],{"className":24064,"style":460},[538,459],[123,24066,438],{"className":24067},[464,465],[123,24069],{"className":24070,"style":296},[194],[123,24072,878],{"className":24073},[300],[123,24075],{"className":24076,"style":296},[194],[123,24078,24080,24083,24166,24169,24172],{"className":24079},[177],[123,24081],{"className":24082,"style":1659},[181],[123,24084,24086,24089,24163],{"className":24085},[186],[123,24087],{"className":24088},[458,992],[123,24090,24092],{"className":24091},[426],[123,24093,24095,24155],{"className":24094},[472,473],[123,24096,24098,24152],{"className":24097},[477],[123,24099,24101,24124,24132],{"className":24100,"style":1678},[481],[123,24102,24103,24106],{"style":1008},[123,24104],{"className":24105,"style":1012},[489],[123,24107,24109],{"className":24108},[494,495,496,497],[123,24110,24112,24115,24118,24121],{"className":24111},[186,497],[123,24113,690],{"className":24114},[186,497],[123,24116,432],{"className":24117},[186,504,497],[123,24119,274],{"className":24120},[300,497],[123,24122,80],{"className":24123},[186,497],[123,24125,24126,24129],{"style":1046},[123,24127],{"className":24128,"style":1012},[489],[123,24130],{"className":24131,"style":1054},[1053],[123,24133,24134,24137],{"style":1057},[123,24135],{"className":24136,"style":1012},[489],[123,24138,24140],{"className":24139},[494,495,496,497],[123,24141,24143,24146,24149],{"className":24142},[186,497],[123,24144,432],{"className":24145},[186,504,497],[123,24147,274],{"className":24148},[300,497],[123,24150,80],{"className":24151},[186,497],[123,24153,525],{"className":24154},[524],[123,24156,24158],{"className":24157},[477],[123,24159,24161],{"className":24160,"style":1730},[481],[123,24162],{},[123,24164],{"className":24165},[538,992],[123,24167],{"className":24168,"style":781},[194],[123,24170,695],{"className":24171},[785],[123,24173],{"className":24174,"style":781},[194],[123,24176,24178,24182],{"className":24177},[177],[123,24179],{"className":24180,"style":24181},[181],"height:1.9133em;vertical-align:-0.4033em;",[123,24183,24185,24188,24328],{"className":24184},[186],[123,24186],{"className":24187},[458,992],[123,24189,24191],{"className":24190},[426],[123,24192,24194,24320],{"className":24193},[472,473],[123,24195,24197,24317],{"className":24196},[477],[123,24198,24200,24223,24231],{"className":24199,"style":3547},[481],[123,24201,24202,24205],{"style":1008},[123,24203],{"className":24204,"style":1012},[489],[123,24206,24208],{"className":24207},[494,495,496,497],[123,24209,24211,24214,24217,24220],{"className":24210},[186,497],[123,24212,690],{"className":24213},[186,497],[123,24215,432],{"className":24216},[186,504,497],[123,24218,274],{"className":24219},[300,497],[123,24221,80],{"className":24222},[186,497],[123,24224,24225,24228],{"style":1046},[123,24226],{"className":24227,"style":1012},[489],[123,24229],{"className":24230,"style":1054},[1053],[123,24232,24233,24236],{"style":3602},[123,24234],{"className":24235,"style":1012},[489],[123,24237,24239],{"className":24238},[494,495,496,497],[123,24240,24242],{"className":24241},[186,497],[123,24243,24245,24254,24308],{"className":24244},[186,497],[123,24246,24248],{"className":24247,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,24249,24251],{"className":24250},[464,465,497],[123,24252,424],{"className":24253},[497],[123,24255,24257],{"className":24256},[426],[123,24258,24260,24300],{"className":24259},[472,473],[123,24261,24263,24297],{"className":24262},[477],[123,24264,24266,24280],{"className":24265,"style":3638},[481],[123,24267,24268,24271],{"style":3641},[123,24269],{"className":24270,"style":3584},[489],[123,24272,24274],{"className":24273},[494,3588,465,497],[123,24275,24277],{"className":24276},[186,497],[123,24278,432],{"className":24279},[186,504,497],[123,24281,24282,24285],{"style":3656},[123,24283],{"className":24284,"style":3584},[489],[123,24286,24288],{"className":24287},[494,3588,465,497],[123,24289,24291,24294],{"className":24290},[186,497],[123,24292,690],{"className":24293},[186,497],[123,24295,432],{"className":24296},[186,504,497],[123,24298,525],{"className":24299},[524],[123,24301,24303],{"className":24302},[477],[123,24304,24306],{"className":24305,"style":3678},[481],[123,24307],{},[123,24309,24311],{"className":24310,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,24312,24314],{"className":24313},[464,465,497],[123,24315,438],{"className":24316},[497],[123,24318,525],{"className":24319},[524],[123,24321,24323],{"className":24322},[477],[123,24324,24326],{"className":24325,"style":1730},[481],[123,24327],{},[123,24329],{"className":24330},[538,992],[30,24332,24333],{},"Y la serie queda:",[30,24335,24337],{"className":24336},[409],[123,24338,24340,24476],{"className":24339},[126],[123,24341,24343],{"className":24342},[130],[132,24344,24345],{"xmlns":134},[136,24346,24347,24473],{},[139,24348,24349,24351,24353,24367,24413,24415,24421,24435],{},[1901,24350,21269],{},[145,24352,695],{},[7985,24354,24355,24357,24365],{},[145,24356,7989],{},[139,24358,24359,24361,24363],{},[430,24360,432],{},[145,24362,695],{},[142,24364,1349],{},[430,24366,21287],{"mathvariant":21286},[426,24368,24369,24385],{},[139,24370,24371,24373,24383],{},[145,24372,424],{"fence":147},[426,24374,24375,24381],{"linethickness":428},[139,24376,24377,24379],{},[142,24378,690],{},[430,24380,432],{},[430,24382,432],{},[145,24384,438],{"fence":147},[139,24386,24387,24401,24403,24405,24407,24409,24411],{},[2521,24388,24389,24391],{},[142,24390,690],{},[139,24392,24393,24395,24397,24399],{},[142,24394,690],{},[430,24396,432],{},[145,24398,274],{},[142,24400,80],{},[145,24402,424],{"stretchy":868},[142,24404,690],{},[430,24406,432],{},[145,24408,274],{},[142,24410,80],{},[145,24412,438],{"stretchy":868},[145,24414,695],{},[426,24416,24417,24419],{},[142,24418,80],{},[142,24420,690],{},[7985,24422,24423,24425,24433],{},[145,24424,7989],{},[139,24426,24427,24429,24431],{},[430,24428,432],{},[145,24430,695],{},[142,24432,1349],{},[430,24434,21287],{"mathvariant":21286},[426,24436,24437,24453],{},[139,24438,24439,24441,24451],{},[145,24440,424],{"fence":147},[426,24442,24443,24449],{"linethickness":428},[139,24444,24445,24447],{},[142,24446,690],{},[430,24448,432],{},[430,24450,432],{},[145,24452,438],{"fence":147},[139,24454,24455,24461,24463,24465,24467,24469,24471],{},[2521,24456,24457,24459],{},[142,24458,151],{},[430,24460,432],{},[145,24462,424],{"stretchy":868},[142,24464,690],{},[430,24466,432],{},[145,24468,274],{},[142,24470,80],{},[145,24472,438],{"stretchy":868},[166,24474,24475],{"encoding":168},"\\text{Media} = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\binom{2n}{n}}{2^{2n+1}(2n+1)} = \\frac{1}{2} \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}",[123,24477,24479,24500,24778],{"className":24478,"ariaHidden":147},[173],[123,24480,24482,24485,24491,24494,24497],{"className":24481},[177],[123,24483],{"className":24484,"style":602},[181],[123,24486,24488],{"className":24487},[186,104],[123,24489,21269],{"className":24490},[186],[123,24492],{"className":24493,"style":781},[194],[123,24495,695],{"className":24496},[785],[123,24498],{"className":24499,"style":781},[194],[123,24501,24503,24507,24570,24573,24769,24772,24775],{"className":24502},[177],[123,24504],{"className":24505,"style":24506},[181],"height:2.03em;vertical-align:-0.52em;",[123,24508,24510,24513],{"className":24509},[8118],[123,24511,7989],{"className":24512,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,24514,24516],{"className":24515},[2549],[123,24517,24519,24562],{"className":24518},[472,473],[123,24520,24522,24559],{"className":24521},[477],[123,24523,24525,24545],{"className":24524,"style":8137},[481],[123,24526,24527,24530],{"style":8140},[123,24528],{"className":24529,"style":490},[489],[123,24531,24533],{"className":24532},[494,495,496,497],[123,24534,24536,24539,24542],{"className":24535},[186,497],[123,24537,432],{"className":24538},[186,504,497],[123,24540,695],{"className":24541},[785,497],[123,24543,1349],{"className":24544},[186,497],[123,24546,24547,24550],{"style":8161},[123,24548],{"className":24549,"style":490},[489],[123,24551,24553],{"className":24552},[494,495,496,497],[123,24554,24556],{"className":24555},[186,497],[123,24557,21287],{"className":24558},[186,497],[123,24560,525],{"className":24561},[524],[123,24563,24565],{"className":24564},[477],[123,24566,24568],{"className":24567,"style":8183},[481],[123,24569],{},[123,24571],{"className":24572,"style":195},[194],[123,24574,24576,24579,24766],{"className":24575},[186],[123,24577],{"className":24578},[458,992],[123,24580,24582],{"className":24581},[426],[123,24583,24585,24758],{"className":24584},[472,473],[123,24586,24588,24755],{"className":24587},[477],[123,24589,24591,24661,24669],{"className":24590,"style":3547},[481],[123,24592,24593,24596],{"style":1008},[123,24594],{"className":24595,"style":1012},[489],[123,24597,24599],{"className":24598},[494,495,496,497],[123,24600,24602,24643,24646,24649,24652,24655,24658],{"className":24601},[186,497],[123,24603,24605,24608],{"className":24604},[186,497],[123,24606,690],{"className":24607},[186,497],[123,24609,24611],{"className":24610},[2549],[123,24612,24614],{"className":24613},[472],[123,24615,24617],{"className":24616},[477],[123,24618,24620],{"className":24619,"style":3577},[481],[123,24621,24622,24625],{"style":3580},[123,24623],{"className":24624,"style":3584},[489],[123,24626,24628],{"className":24627},[494,3588,465,497],[123,24629,24631,24634,24637,24640],{"className":24630},[186,497],[123,24632,690],{"className":24633},[186,497],[123,24635,432],{"className":24636},[186,504,497],[123,24638,274],{"className":24639},[300,497],[123,24641,80],{"className":24642},[186,497],[123,24644,424],{"className":24645},[458,497],[123,24647,690],{"className":24648},[186,497],[123,24650,432],{"className":24651},[186,504,497],[123,24653,274],{"className":24654},[300,497],[123,24656,80],{"className":24657},[186,497],[123,24659,438],{"className":24660},[538,497],[123,24662,24663,24666],{"style":1046},[123,24664],{"className":24665,"style":1012},[489],[123,24667],{"className":24668,"style":1054},[1053],[123,24670,24671,24674],{"style":3602},[123,24672],{"className":24673,"style":1012},[489],[123,24675,24677],{"className":24676},[494,495,496,497],[123,24678,24680],{"className":24679},[186,497],[123,24681,24683,24692,24746],{"className":24682},[186,497],[123,24684,24686],{"className":24685,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,24687,24689],{"className":24688},[464,465,497],[123,24690,424],{"className":24691},[497],[123,24693,24695],{"className":24694},[426],[123,24696,24698,24738],{"className":24697},[472,473],[123,24699,24701,24735],{"className":24700},[477],[123,24702,24704,24718],{"className":24703,"style":3638},[481],[123,24705,24706,24709],{"style":3641},[123,24707],{"className":24708,"style":3584},[489],[123,24710,24712],{"className":24711},[494,3588,465,497],[123,24713,24715],{"className":24714},[186,497],[123,24716,432],{"className":24717},[186,504,497],[123,24719,24720,24723],{"style":3656},[123,24721],{"className":24722,"style":3584},[489],[123,24724,24726],{"className":24725},[494,3588,465,497],[123,24727,24729,24732],{"className":24728},[186,497],[123,24730,690],{"className":24731},[186,497],[123,24733,432],{"className":24734},[186,504,497],[123,24736,525],{"className":24737},[524],[123,24739,24741],{"className":24740},[477],[123,24742,24744],{"className":24743,"style":3678},[481],[123,24745],{},[123,24747,24749],{"className":24748,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,24750,24752],{"className":24751},[464,465,497],[123,24753,438],{"className":24754},[497],[123,24756,525],{"className":24757},[524],[123,24759,24761],{"className":24760},[477],[123,24762,24764],{"className":24763,"style":1082},[481],[123,24765],{},[123,24767],{"className":24768},[538,992],[123,24770],{"className":24771,"style":781},[194],[123,24773,695],{"className":24774},[785],[123,24776],{"className":24777,"style":781},[194],[123,24779,24781,24784,24852,24855,24918,24921],{"className":24780},[177],[123,24782],{"className":24783,"style":24506},[181],[123,24785,24787,24790,24849],{"className":24786},[186],[123,24788],{"className":24789},[458,992],[123,24791,24793],{"className":24792},[426],[123,24794,24796,24841],{"className":24795},[472,473],[123,24797,24799,24838],{"className":24798},[477],[123,24800,24802,24816,24824],{"className":24801,"style":1678},[481],[123,24803,24804,24807],{"style":1008},[123,24805],{"className":24806,"style":1012},[489],[123,24808,24810],{"className":24809},[494,495,496,497],[123,24811,24813],{"className":24812},[186,497],[123,24814,690],{"className":24815},[186,497],[123,24817,24818,24821],{"style":1046},[123,24819],{"className":24820,"style":1012},[489],[123,24822],{"className":24823,"style":1054},[1053],[123,24825,24826,24829],{"style":1057},[123,24827],{"className":24828,"style":1012},[489],[123,24830,24832],{"className":24831},[494,495,496,497],[123,24833,24835],{"className":24834},[186,497],[123,24836,80],{"className":24837},[186,497],[123,24839,525],{"className":24840},[524],[123,24842,24844],{"className":24843},[477],[123,24845,24847],{"className":24846,"style":532},[481],[123,24848],{},[123,24850],{"className":24851},[538,992],[123,24853],{"className":24854,"style":195},[194],[123,24856,24858,24861],{"className":24857},[8118],[123,24859,7989],{"className":24860,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,24862,24864],{"className":24863},[2549],[123,24865,24867,24910],{"className":24866},[472,473],[123,24868,24870,24907],{"className":24869},[477],[123,24871,24873,24893],{"className":24872,"style":8137},[481],[123,24874,24875,24878],{"style":8140},[123,24876],{"className":24877,"style":490},[489],[123,24879,24881],{"className":24880},[494,495,496,497],[123,24882,24884,24887,24890],{"className":24883},[186,497],[123,24885,432],{"className":24886},[186,504,497],[123,24888,695],{"className":24889},[785,497],[123,24891,1349],{"className":24892},[186,497],[123,24894,24895,24898],{"style":8161},[123,24896],{"className":24897,"style":490},[489],[123,24899,24901],{"className":24900},[494,495,496,497],[123,24902,24904],{"className":24903},[186,497],[123,24905,21287],{"className":24906},[186,497],[123,24908,525],{"className":24909},[524],[123,24911,24913],{"className":24912},[477],[123,24914,24916],{"className":24915,"style":8183},[481],[123,24917],{},[123,24919],{"className":24920,"style":195},[194],[123,24922,24924,24927,25102],{"className":24923},[186],[123,24925],{"className":24926},[458,992],[123,24928,24930],{"className":24929},[426],[123,24931,24933,25094],{"className":24932},[472,473],[123,24934,24936,25091],{"className":24935},[477],[123,24937,24939,24997,25005],{"className":24938,"style":3547},[481],[123,24940,24941,24944],{"style":1008},[123,24942],{"className":24943,"style":1012},[489],[123,24945,24947],{"className":24946},[494,495,496,497],[123,24948,24950,24979,24982,24985,24988,24991,24994],{"className":24949},[186,497],[123,24951,24953,24956],{"className":24952},[186,497],[123,24954,151],{"className":24955},[186,497],[123,24957,24959],{"className":24958},[2549],[123,24960,24962],{"className":24961},[472],[123,24963,24965],{"className":24964},[477],[123,24966,24968],{"className":24967,"style":4909},[481],[123,24969,24970,24973],{"style":3580},[123,24971],{"className":24972,"style":3584},[489],[123,24974,24976],{"className":24975},[494,3588,465,497],[123,24977,432],{"className":24978},[186,504,497],[123,24980,424],{"className":24981},[458,497],[123,24983,690],{"className":24984},[186,497],[123,24986,432],{"className":24987},[186,504,497],[123,24989,274],{"className":24990},[300,497],[123,24992,80],{"className":24993},[186,497],[123,24995,438],{"className":24996},[538,497],[123,24998,24999,25002],{"style":1046},[123,25000],{"className":25001,"style":1012},[489],[123,25003],{"className":25004,"style":1054},[1053],[123,25006,25007,25010],{"style":3602},[123,25008],{"className":25009,"style":1012},[489],[123,25011,25013],{"className":25012},[494,495,496,497],[123,25014,25016],{"className":25015},[186,497],[123,25017,25019,25028,25082],{"className":25018},[186,497],[123,25020,25022],{"className":25021,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,25023,25025],{"className":25024},[464,465,497],[123,25026,424],{"className":25027},[497],[123,25029,25031],{"className":25030},[426],[123,25032,25034,25074],{"className":25033},[472,473],[123,25035,25037,25071],{"className":25036},[477],[123,25038,25040,25054],{"className":25039,"style":3638},[481],[123,25041,25042,25045],{"style":3641},[123,25043],{"className":25044,"style":3584},[489],[123,25046,25048],{"className":25047},[494,3588,465,497],[123,25049,25051],{"className":25050},[186,497],[123,25052,432],{"className":25053},[186,504,497],[123,25055,25056,25059],{"style":3656},[123,25057],{"className":25058,"style":3584},[489],[123,25060,25062],{"className":25061},[494,3588,465,497],[123,25063,25065,25068],{"className":25064},[186,497],[123,25066,690],{"className":25067},[186,497],[123,25069,432],{"className":25070},[186,504,497],[123,25072,525],{"className":25073},[524],[123,25075,25077],{"className":25076},[477],[123,25078,25080],{"className":25079,"style":3678},[481],[123,25081],{},[123,25083,25085],{"className":25084,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,25086,25088],{"className":25087},[464,465,497],[123,25089,438],{"className":25090},[497],[123,25092,525],{"className":25093},[524],[123,25095,25097],{"className":25096},[477],[123,25098,25100],{"className":25099,"style":1082},[481],[123,25101],{},[123,25103],{"className":25104},[538,992],[30,25106,25107,25108,25110],{},"Ahora viene el momento que a Matt Parker le hace «enfadar de pura incredulidad». Resulta que existe una función clásica del análisis matemático llamada ",[42,25109,13629],{}," — la función inversa del seno — cuya expansión en serie de potencias es:",[30,25112,25114],{"className":25113},[409],[123,25115,25117,25207],{"className":25116},[126],[123,25118,25120],{"className":25119},[130],[132,25121,25122],{"xmlns":134},[136,25123,25124,25204],{},[139,25125,25126,25128,25130,25132,25134,25136,25138,25152,25176,25178],{},[430,25127,13696],{},[145,25129,13699],{},[145,25131,424],{"stretchy":868},[430,25133,6444],{},[145,25135,438],{"stretchy":868},[145,25137,695],{},[7985,25139,25140,25142,25150],{},[145,25141,7989],{},[139,25143,25144,25146,25148],{},[430,25145,432],{},[145,25147,695],{},[142,25149,1349],{},[430,25151,21287],{"mathvariant":21286},[426,25153,25154,25170],{},[139,25155,25156,25158,25168],{},[145,25157,424],{"fence":147},[426,25159,25160,25166],{"linethickness":428},[139,25161,25162,25164],{},[142,25163,690],{},[430,25165,432],{},[430,25167,432],{},[145,25169,438],{"fence":147},[2521,25171,25172,25174],{},[142,25173,151],{},[430,25175,432],{},[145,25177,878],{},[426,25179,25180,25194],{},[2521,25181,25182,25184],{},[430,25183,6444],{},[139,25185,25186,25188,25190,25192],{},[142,25187,690],{},[430,25189,432],{},[145,25191,274],{},[142,25193,80],{},[139,25195,25196,25198,25200,25202],{},[142,25197,690],{},[430,25199,432],{},[145,25201,274],{},[142,25203,80],{},[166,25205,25206],{"encoding":168},"\\arcsin(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\binom{2n}{n}}{4^n} \\cdot \\frac{x^{2n+1}}{2n+1}",[123,25208,25210,25237,25484],{"className":25209,"ariaHidden":147},[173],[123,25211,25213,25216,25219,25222,25225,25228,25231,25234],{"className":25212},[177],[123,25214],{"className":25215,"style":3494},[181],[123,25217,13696],{"className":25218},[8118],[123,25220,424],{"className":25221},[458],[123,25223,6444],{"className":25224},[186,504],[123,25226,438],{"className":25227},[538],[123,25229],{"className":25230,"style":781},[194],[123,25232,695],{"className":25233},[785],[123,25235],{"className":25236,"style":781},[194],[123,25238,25240,25243,25306,25309,25475,25478,25481],{"className":25239},[177],[123,25241],{"className":25242,"style":3528},[181],[123,25244,25246,25249],{"className":25245},[8118],[123,25247,7989],{"className":25248,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,25250,25252],{"className":25251},[2549],[123,25253,25255,25298],{"className":25254},[472,473],[123,25256,25258,25295],{"className":25257},[477],[123,25259,25261,25281],{"className":25260,"style":8137},[481],[123,25262,25263,25266],{"style":8140},[123,25264],{"className":25265,"style":490},[489],[123,25267,25269],{"className":25268},[494,495,496,497],[123,25270,25272,25275,25278],{"className":25271},[186,497],[123,25273,432],{"className":25274},[186,504,497],[123,25276,695],{"className":25277},[785,497],[123,25279,1349],{"className":25280},[186,497],[123,25282,25283,25286],{"style":8161},[123,25284],{"className":25285,"style":490},[489],[123,25287,25289],{"className":25288},[494,495,496,497],[123,25290,25292],{"className":25291},[186,497],[123,25293,21287],{"className":25294},[186,497],[123,25296,525],{"className":25297},[524],[123,25299,25301],{"className":25300},[477],[123,25302,25304],{"className":25303,"style":8183},[481],[123,25305],{},[123,25307],{"className":25308,"style":195},[194],[123,25310,25312,25315,25472],{"className":25311},[186],[123,25313],{"className":25314},[458,992],[123,25316,25318],{"className":25317},[426],[123,25319,25321,25464],{"className":25320},[472,473],[123,25322,25324,25461],{"className":25323},[477],[123,25325,25327,25367,25375],{"className":25326,"style":3547},[481],[123,25328,25329,25332],{"style":1008},[123,25330],{"className":25331,"style":1012},[489],[123,25333,25335],{"className":25334},[494,495,496,497],[123,25336,25338],{"className":25337},[186,497],[123,25339,25341,25344],{"className":25340},[186,497],[123,25342,151],{"className":25343},[186,497],[123,25345,25347],{"className":25346},[2549],[123,25348,25350],{"className":25349},[472],[123,25351,25353],{"className":25352},[477],[123,25354,25356],{"className":25355,"style":4909},[481],[123,25357,25358,25361],{"style":3580},[123,25359],{"className":25360,"style":3584},[489],[123,25362,25364],{"className":25363},[494,3588,465,497],[123,25365,432],{"className":25366},[186,504,497],[123,25368,25369,25372],{"style":1046},[123,25370],{"className":25371,"style":1012},[489],[123,25373],{"className":25374,"style":1054},[1053],[123,25376,25377,25380],{"style":3602},[123,25378],{"className":25379,"style":1012},[489],[123,25381,25383],{"className":25382},[494,495,496,497],[123,25384,25386],{"className":25385},[186,497],[123,25387,25389,25398,25452],{"className":25388},[186,497],[123,25390,25392],{"className":25391,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,25393,25395],{"className":25394},[464,465,497],[123,25396,424],{"className":25397},[497],[123,25399,25401],{"className":25400},[426],[123,25402,25404,25444],{"className":25403},[472,473],[123,25405,25407,25441],{"className":25406},[477],[123,25408,25410,25424],{"className":25409,"style":3638},[481],[123,25411,25412,25415],{"style":3641},[123,25413],{"className":25414,"style":3584},[489],[123,25416,25418],{"className":25417},[494,3588,465,497],[123,25419,25421],{"className":25420},[186,497],[123,25422,432],{"className":25423},[186,504,497],[123,25425,25426,25429],{"style":3656},[123,25427],{"className":25428,"style":3584},[489],[123,25430,25432],{"className":25431},[494,3588,465,497],[123,25433,25435,25438],{"className":25434},[186,497],[123,25436,690],{"className":25437},[186,497],[123,25439,432],{"className":25440},[186,504,497],[123,25442,525],{"className":25443},[524],[123,25445,25447],{"className":25446},[477],[123,25448,25450],{"className":25449,"style":3678},[481],[123,25451],{},[123,25453,25455],{"className":25454,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,25456,25458],{"className":25457},[464,465,497],[123,25459,438],{"className":25460},[497],[123,25462,525],{"className":25463},[524],[123,25465,25467],{"className":25466},[477],[123,25468,25470],{"className":25469,"style":532},[481],[123,25471],{},[123,25473],{"className":25474},[538,992],[123,25476],{"className":25477,"style":296},[194],[123,25479,878],{"className":25480},[300],[123,25482],{"className":25483,"style":296},[194],[123,25485,25487,25491],{"className":25486},[177],[123,25488],{"className":25489,"style":25490},[181],"height:1.4213em;vertical-align:-0.4033em;",[123,25492,25494,25497,25606],{"className":25493},[186],[123,25495],{"className":25496},[458,992],[123,25498,25500],{"className":25499},[426],[123,25501,25503,25598],{"className":25502},[472,473],[123,25504,25506,25595],{"className":25505},[477],[123,25507,25510,25533,25541],{"className":25508,"style":25509},[481],"height:1.0179em;",[123,25511,25512,25515],{"style":1008},[123,25513],{"className":25514,"style":1012},[489],[123,25516,25518],{"className":25517},[494,495,496,497],[123,25519,25521,25524,25527,25530],{"className":25520},[186,497],[123,25522,690],{"className":25523},[186,497],[123,25525,432],{"className":25526},[186,504,497],[123,25528,274],{"className":25529},[300,497],[123,25531,80],{"className":25532},[186,497],[123,25534,25535,25538],{"style":1046},[123,25536],{"className":25537,"style":1012},[489],[123,25539],{"className":25540,"style":1054},[1053],[123,25542,25543,25546],{"style":1057},[123,25544],{"className":25545,"style":1012},[489],[123,25547,25549],{"className":25548},[494,495,496,497],[123,25550,25552],{"className":25551},[186,497],[123,25553,25555,25558],{"className":25554},[186,497],[123,25556,6444],{"className":25557},[186,504,497],[123,25559,25561],{"className":25560},[2549],[123,25562,25564],{"className":25563},[472],[123,25565,25567],{"className":25566},[477],[123,25568,25571],{"className":25569,"style":25570},[481],"height:0.8913em;",[123,25572,25574,25577],{"style":25573},"top:-2.931em;margin-right:0.0714em;",[123,25575],{"className":25576,"style":3584},[489],[123,25578,25580],{"className":25579},[494,3588,465,497],[123,25581,25583,25586,25589,25592],{"className":25582},[186,497],[123,25584,690],{"className":25585},[186,497],[123,25587,432],{"className":25588},[186,504,497],[123,25590,274],{"className":25591},[300,497],[123,25593,80],{"className":25594},[186,497],[123,25596,525],{"className":25597},[524],[123,25599,25601],{"className":25600},[477],[123,25602,25604],{"className":25603,"style":1730},[481],[123,25605],{},[123,25607],{"className":25608},[538,992],[30,25610,25611,25612,25640,25641,25669,25670,827],{},"¿Te parece familiar? Es exactamente nuestra serie, multiplicada por ",[123,25613,25615,25628],{"className":25614},[126],[123,25616,25618],{"className":25617},[130],[132,25619,25620],{"xmlns":134},[136,25621,25622,25626],{},[139,25623,25624],{},[142,25625,690],{},[166,25627,690],{"encoding":168},[123,25629,25631],{"className":25630,"ariaHidden":147},[173],[123,25632,25634,25637],{"className":25633},[177],[123,25635],{"className":25636,"style":252},[181],[123,25638,690],{"className":25639},[186]," y con ",[123,25642,25644,25657],{"className":25643},[126],[123,25645,25647],{"className":25646},[130],[132,25648,25649],{"xmlns":134},[136,25650,25651,25655],{},[139,25652,25653],{},[430,25654,6444],{},[166,25656,6444],{"encoding":168},[123,25658,25660],{"className":25659,"ariaHidden":147},[173],[123,25661,25663,25666],{"className":25662},[177],[123,25664],{"className":25665,"style":572},[181],[123,25667,6444],{"className":25668},[186,504]," en lugar de ",[123,25671,25673,25686],{"className":25672},[126],[123,25674,25676],{"className":25675},[130],[132,25677,25678],{"xmlns":134},[136,25679,25680,25684],{},[139,25681,25682],{},[142,25683,80],{},[166,25685,80],{"encoding":168},[123,25687,25689],{"className":25688,"ariaHidden":147},[173],[123,25690,25692,25695],{"className":25691},[177],[123,25693],{"className":25694,"style":252},[181],[123,25696,80],{"className":25697},[186],[30,25699,25700,25701,2504],{},"Si evaluamos en ",[123,25702,25704,25722],{"className":25703},[126],[123,25705,25707],{"className":25706},[130],[132,25708,25709],{"xmlns":134},[136,25710,25711,25719],{},[139,25712,25713,25715,25717],{},[430,25714,6444],{},[145,25716,695],{},[142,25718,80],{},[166,25720,25721],{"encoding":168},"x = 1",[123,25723,25725,25743],{"className":25724,"ariaHidden":147},[173],[123,25726,25728,25731,25734,25737,25740],{"className":25727},[177],[123,25729],{"className":25730,"style":572},[181],[123,25732,6444],{"className":25733},[186,504],[123,25735],{"className":25736,"style":781},[194],[123,25738,695],{"className":25739},[785],[123,25741],{"className":25742,"style":781},[194],[123,25744,25746,25749],{"className":25745},[177],[123,25747],{"className":25748,"style":252},[181],[123,25750,80],{"className":25751},[186],[30,25753,25755],{"className":25754},[409],[123,25756,25758,25834],{"className":25757},[126],[123,25759,25761],{"className":25760},[130],[132,25762,25763],{"xmlns":134},[136,25764,25765,25831],{},[139,25766,25767,25769,25771,25773,25775,25777,25779,25793],{},[430,25768,13696],{},[145,25770,13699],{},[145,25772,424],{"stretchy":868},[142,25774,80],{},[145,25776,438],{"stretchy":868},[145,25778,695],{},[7985,25780,25781,25783,25791],{},[145,25782,7989],{},[139,25784,25785,25787,25789],{},[430,25786,432],{},[145,25788,695],{},[142,25790,1349],{},[430,25792,21287],{"mathvariant":21286},[426,25794,25795,25811],{},[139,25796,25797,25799,25809],{},[145,25798,424],{"fence":147},[426,25800,25801,25807],{"linethickness":428},[139,25802,25803,25805],{},[142,25804,690],{},[430,25806,432],{},[430,25808,432],{},[145,25810,438],{"fence":147},[139,25812,25813,25819,25821,25823,25825,25827,25829],{},[2521,25814,25815,25817],{},[142,25816,151],{},[430,25818,432],{},[145,25820,424],{"stretchy":868},[142,25822,690],{},[430,25824,432],{},[145,25826,274],{},[142,25828,80],{},[145,25830,438],{"stretchy":868},[166,25832,25833],{"encoding":168},"\\arcsin(1) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}",[123,25835,25837,25864],{"className":25836,"ariaHidden":147},[173],[123,25838,25840,25843,25846,25849,25852,25855,25858,25861],{"className":25839},[177],[123,25841],{"className":25842,"style":3494},[181],[123,25844,13696],{"className":25845},[8118],[123,25847,424],{"className":25848},[458],[123,25850,80],{"className":25851},[186],[123,25853,438],{"className":25854},[538],[123,25856],{"className":25857,"style":781},[194],[123,25859,695],{"className":25860},[785],[123,25862],{"className":25863,"style":781},[194],[123,25865,25867,25870,25933,25936],{"className":25866},[177],[123,25868],{"className":25869,"style":24506},[181],[123,25871,25873,25876],{"className":25872},[8118],[123,25874,7989],{"className":25875,"style":8124},[8118,8122,8123],[123,25877,25879],{"className":25878},[2549],[123,25880,25882,25925],{"className":25881},[472,473],[123,25883,25885,25922],{"className":25884},[477],[123,25886,25888,25908],{"className":25887,"style":8137},[481],[123,25889,25890,25893],{"style":8140},[123,25891],{"className":25892,"style":490},[489],[123,25894,25896],{"className":25895},[494,495,496,497],[123,25897,25899,25902,25905],{"className":25898},[186,497],[123,25900,432],{"className":25901},[186,504,497],[123,25903,695],{"className":25904},[785,497],[123,25906,1349],{"className":25907},[186,497],[123,25909,25910,25913],{"style":8161},[123,25911],{"className":25912,"style":490},[489],[123,25914,25916],{"className":25915},[494,495,496,497],[123,25917,25919],{"className":25918},[186,497],[123,25920,21287],{"className":25921},[186,497],[123,25923,525],{"className":25924},[524],[123,25926,25928],{"className":25927},[477],[123,25929,25931],{"className":25930,"style":8183},[481],[123,25932],{},[123,25934],{"className":25935,"style":195},[194],[123,25937,25939,25942,26117],{"className":25938},[186],[123,25940],{"className":25941},[458,992],[123,25943,25945],{"className":25944},[426],[123,25946,25948,26109],{"className":25947},[472,473],[123,25949,25951,26106],{"className":25950},[477],[123,25952,25954,26012,26020],{"className":25953,"style":3547},[481],[123,25955,25956,25959],{"style":1008},[123,25957],{"className":25958,"style":1012},[489],[123,25960,25962],{"className":25961},[494,495,496,497],[123,25963,25965,25994,25997,26000,26003,26006,26009],{"className":25964},[186,497],[123,25966,25968,25971],{"className":25967},[186,497],[123,25969,151],{"className":25970},[186,497],[123,25972,25974],{"className":25973},[2549],[123,25975,25977],{"className":25976},[472],[123,25978,25980],{"className":25979},[477],[123,25981,25983],{"className":25982,"style":4909},[481],[123,25984,25985,25988],{"style":3580},[123,25986],{"className":25987,"style":3584},[489],[123,25989,25991],{"className":25990},[494,3588,465,497],[123,25992,432],{"className":25993},[186,504,497],[123,25995,424],{"className":25996},[458,497],[123,25998,690],{"className":25999},[186,497],[123,26001,432],{"className":26002},[186,504,497],[123,26004,274],{"className":26005},[300,497],[123,26007,80],{"className":26008},[186,497],[123,26010,438],{"className":26011},[538,497],[123,26013,26014,26017],{"style":1046},[123,26015],{"className":26016,"style":1012},[489],[123,26018],{"className":26019,"style":1054},[1053],[123,26021,26022,26025],{"style":3602},[123,26023],{"className":26024,"style":1012},[489],[123,26026,26028],{"className":26027},[494,495,496,497],[123,26029,26031],{"className":26030},[186,497],[123,26032,26034,26043,26097],{"className":26033},[186,497],[123,26035,26037],{"className":26036,"style":3619},[458,494,3588,3618,497,459],[123,26038,26040],{"className":26039},[464,465,497],[123,26041,424],{"className":26042},[497],[123,26044,26046],{"className":26045},[426],[123,26047,26049,26089],{"className":26048},[472,473],[123,26050,26052,26086],{"className":26051},[477],[123,26053,26055,26069],{"className":26054,"style":3638},[481],[123,26056,26057,26060],{"style":3641},[123,26058],{"className":26059,"style":3584},[489],[123,26061,26063],{"className":26062},[494,3588,465,497],[123,26064,26066],{"className":26065},[186,497],[123,26067,432],{"className":26068},[186,504,497],[123,26070,26071,26074],{"style":3656},[123,26072],{"className":26073,"style":3584},[489],[123,26075,26077],{"className":26076},[494,3588,465,497],[123,26078,26080,26083],{"className":26079},[186,497],[123,26081,690],{"className":26082},[186,497],[123,26084,432],{"className":26085},[186,504,497],[123,26087,525],{"className":26088},[524],[123,26090,26092],{"className":26091},[477],[123,26093,26095],{"className":26094,"style":3678},[481],[123,26096],{},[123,26098,26100],{"className":26099,"style":3619},[538,494,3588,3618,497,459],[123,26101,26103],{"className":26102},[464,465,497],[123,26104,438],{"className":26105},[497],[123,26107,525],{"className":26108},[524],[123,26110,26112],{"className":26111},[477],[123,26113,26115],{"className":26114,"style":1082},[481],[123,26116],{},[123,26118],{"className":26119},[538,992],[30,26121,26122,26123,26169,26170,26198,26199,2504],{},"¿Y cuánto vale ",[123,26124,26126,26148],{"className":26125},[126],[123,26127,26129],{"className":26128},[130],[132,26130,26131],{"xmlns":134},[136,26132,26133,26145],{},[139,26134,26135,26137,26139,26141,26143],{},[430,26136,13696],{},[145,26138,13699],{},[145,26140,424],{"stretchy":868},[142,26142,80],{},[145,26144,438],{"stretchy":868},[166,26146,26147],{"encoding":168},"\\arcsin(1)",[123,26149,26151],{"className":26150,"ariaHidden":147},[173],[123,26152,26154,26157,26160,26163,26166],{"className":26153},[177],[123,26155],{"className":26156,"style":3494},[181],[123,26158,13696],{"className":26159},[8118],[123,26161,424],{"className":26162},[458],[123,26164,80],{"className":26165},[186],[123,26167,438],{"className":26168},[538],"? Es el ángulo cuyo seno es ",[123,26171,26173,26186],{"className":26172},[126],[123,26174,26176],{"className":26175},[130],[132,26177,26178],{"xmlns":134},[136,26179,26180,26184],{},[139,26181,26182],{},[142,26183,80],{},[166,26185,80],{"encoding":168},[123,26187,26189],{"className":26188,"ariaHidden":147},[173],[123,26190,26192,26195],{"className":26191},[177],[123,26193],{"className":26194,"style":252},[181],[123,26196,80],{"className":26197},[186],", es decir, ",[123,26200,26202,26220],{"className":26201},[126],[123,26203,26205],{"className":26204},[130],[132,26206,26207],{"xmlns":134},[136,26208,26209,26217],{},[139,26210,26211,26214],{},[142,26212,26213],{},"90",[430,26215,26216],{"mathvariant":21286},"°",[166,26218,26219],{"encoding":168},"90°",[123,26221,26223],{"className":26222,"ariaHidden":147},[173],[123,26224,26226,26229],{"className":26225},[177],[123,26227],{"className":26228,"style":602},[181],[123,26230,26219],{"className":26231},[186],[30,26233,26235],{"className":26234},[409],[123,26236,26238,26268],{"className":26237},[126],[123,26239,26241],{"className":26240},[130],[132,26242,26243],{"xmlns":134},[136,26244,26245,26265],{},[139,26246,26247,26249,26251,26253,26255,26257,26259],{},[430,26248,13696],{},[145,26250,13699],{},[145,26252,424],{"stretchy":868},[142,26254,80],{},[145,26256,438],{"stretchy":868},[145,26258,695],{},[426,26260,26261,26263],{},[430,26262,11552],{},[142,26264,690],{},[166,26266,26267],{"encoding":168},"\\arcsin(1) = \\frac{\\pi}{2}",[123,26269,26271,26298],{"className":26270,"ariaHidden":147},[173],[123,26272,26274,26277,26280,26283,26286,26289,26292,26295],{"className":26273},[177],[123,26275],{"className":26276,"style":3494},[181],[123,26278,13696],{"className":26279},[8118],[123,26281,424],{"className":26282},[458],[123,26284,80],{"className":26285},[186],[123,26287,438],{"className":26288},[538],[123,26290],{"className":26291,"style":781},[194],[123,26293,695],{"className":26294},[785],[123,26296],{"className":26297,"style":781},[194],[123,26299,26301,26304],{"className":26300},[177],[123,26302],{"className":26303,"style":14172},[181],[123,26305,26307,26310,26369],{"className":26306},[186],[123,26308],{"className":26309},[458,992],[123,26311,26313],{"className":26312},[426],[123,26314,26316,26361],{"className":26315},[472,473],[123,26317,26319,26358],{"className":26318},[477],[123,26320,26322,26336,26344],{"className":26321,"style":14191},[481],[123,26323,26324,26327],{"style":1008},[123,26325],{"className":26326,"style":1012},[489],[123,26328,26330],{"className":26329},[494,495,496,497],[123,26331,26333],{"className":26332},[186,497],[123,26334,690],{"className":26335},[186,497],[123,26337,26338,26341],{"style":1046},[123,26339],{"className":26340,"style":1012},[489],[123,26342],{"className":26343,"style":1054},[1053],[123,26345,26346,26349],{"style":1057},[123,26347],{"className":26348,"style":1012},[489],[123,26350,26352],{"className":26351},[494,495,496,497],[123,26353,26355],{"className":26354},[186,497],[123,26356,11552],{"className":26357,"style":11644},[186,504,497],[123,26359,525],{"className":26360},[524],[123,26362,26364],{"className":26363},[477],[123,26365,26367],{"className":26366,"style":532},[481],[123,26368],{},[123,26370],{"className":26371},[538,992],[30,26373,26374],{},"Por lo tanto:",[30,26376,26378],{"className":26377},[409],[123,26379,26381,26419],{"className":26380},[126],[123,26382,26384],{"className":26383},[130],[132,26385,26386],{"xmlns":134},[136,26387,26388,26416],{},[139,26389,26390,26392,26394,26400,26402,26408,26410],{},[1901,26391,21269],{},[145,26393,695],{},[426,26395,26396,26398],{},[142,26397,80],{},[142,26399,690],{},[145,26401,878],{},[426,26403,26404,26406],{},[430,26405,11552],{},[142,26407,690],{},[145,26409,695],{},[426,26411,26412,26414],{},[430,26413,11552],{},[142,26415,151],{},[166,26417,26418],{"encoding":168},"\\text{Media} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\pi}{2} = \\frac{\\pi}{4}",[123,26420,26422,26443,26526,26609],{"className":26421,"ariaHidden":147},[173],[123,26423,26425,26428,26434,26437,26440],{"className":26424},[177],[123,26426],{"className":26427,"style":602},[181],[123,26429,26431],{"className":26430},[186,104],[123,26432,21269],{"className":26433},[186],[123,26435],{"className":26436,"style":781},[194],[123,26438,695],{"className":26439},[785],[123,26441],{"className":26442,"style":781},[194],[123,26444,26446,26449,26517,26520,26523],{"className":26445},[177],[123,26447],{"className":26448,"style":1751},[181],[123,26450,26452,26455,26514],{"className":26451},[186],[123,26453],{"className":26454},[458,992],[123,26456,26458],{"className":26457},[426],[123,26459,26461,26506],{"className":26460},[472,473],[123,26462,26464,26503],{"className":26463},[477],[123,26465,26467,26481,26489],{"className":26466,"style":1678},[481],[123,26468,26469,26472],{"style":1008},[123,26470],{"className":26471,"style":1012},[489],[123,26473,26475],{"className":26474},[494,495,496,497],[123,26476,26478],{"className":26477},[186,497],[123,26479,690],{"className":26480},[186,497],[123,26482,26483,26486],{"style":1046},[123,26484],{"className":26485,"style":1012},[489],[123,26487],{"className":26488,"style":1054},[1053],[123,26490,26491,26494],{"style":1057},[123,26492],{"className":26493,"style":1012},[489],[123,26495,26497],{"className":26496},[494,495,496,497],[123,26498,26500],{"className":26499},[186,497],[123,26501,80],{"className":26502},[186,497],[123,26504,525],{"className":26505},[524],[123,26507,26509],{"className":26508},[477],[123,26510,26512],{"className":26511,"style":532},[481],[123,26513],{},[123,26515],{"className":26516},[538,992],[123,26518],{"className":26519,"style":296},[194],[123,26521,878],{"className":26522},[300],[123,26524],{"className":26525,"style":296},[194],[123,26527,26529,26532,26600,26603,26606],{"className":26528},[177],[123,26530],{"className":26531,"style":14172},[181],[123,26533,26535,26538,26597],{"className":26534},[186],[123,26536],{"className":26537},[458,992],[123,26539,26541],{"className":26540},[426],[123,26542,26544,26589],{"className":26543},[472,473],[123,26545,26547,26586],{"className":26546},[477],[123,26548,26550,26564,26572],{"className":26549,"style":14191},[481],[123,26551,26552,26555],{"style":1008},[123,26553],{"className":26554,"style":1012},[489],[123,26556,26558],{"className":26557},[494,495,496,497],[123,26559,26561],{"className":26560},[186,497],[123,26562,690],{"className":26563},[186,497],[123,26565,26566,26569],{"style":1046},[123,26567],{"className":26568,"style":1012},[489],[123,26570],{"className":26571,"style":1054},[1053],[123,26573,26574,26577],{"style":1057},[123,26575],{"className":26576,"style":1012},[489],[123,26578,26580],{"className":26579},[494,495,496,497],[123,26581,26583],{"className":26582},[186,497],[123,26584,11552],{"className":26585,"style":11644},[186,504,497],[123,26587,525],{"className":26588},[524],[123,26590,26592],{"className":26591},[477],[123,26593,26595],{"className":26594,"style":532},[481],[123,26596],{},[123,26598],{"className":26599},[538,992],[123,26601],{"className":26602,"style":781},[194],[123,26604,695],{"className":26605},[785],[123,26607],{"className":26608,"style":781},[194],[123,26610,26612,26615],{"className":26611},[177],[123,26613],{"className":26614,"style":14172},[181],[123,26616,26618,26621,26680],{"className":26617},[186],[123,26619],{"className":26620},[458,992],[123,26622,26624],{"className":26623},[426],[123,26625,26627,26672],{"className":26626},[472,473],[123,26628,26630,26669],{"className":26629},[477],[123,26631,26633,26647,26655],{"className":26632,"style":14191},[481],[123,26634,26635,26638],{"style":1008},[123,26636],{"className":26637,"style":1012},[489],[123,26639,26641],{"className":26640},[494,495,496,497],[123,26642,26644],{"className":26643},[186,497],[123,26645,151],{"className":26646},[186,497],[123,26648,26649,26652],{"style":1046},[123,26650],{"className":26651,"style":1012},[489],[123,26653],{"className":26654,"style":1054},[1053],[123,26656,26657,26660],{"style":1057},[123,26658],{"className":26659,"style":1012},[489],[123,26661,26663],{"className":26662},[494,495,496,497],[123,26664,26666],{"className":26665},[186,497],[123,26667,11552],{"className":26668,"style":11644},[186,504,497],[123,26670,525],{"className":26671},[524],[123,26673,26675],{"className":26674},[477],[123,26676,26678],{"className":26677,"style":532},[481],[123,26679],{},[123,26681],{"className":26682},[538,992],[30,26684,26685,26686,26694,26695,26723,26724,26727],{},"Esta conexión fue ",[2780,26687,26690,26691],{"href":26688,"rel":26689},"https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fabs\u002F2602.14487",[2784],"descubierta en 2025 por el matemático ",[42,26692,26693],{},"Jim Propp",". Y lo que la hace extraordinaria no es que ",[123,26696,26698,26711],{"className":26697},[126],[123,26699,26701],{"className":26700},[130],[132,26702,26703],{"xmlns":134},[136,26704,26705,26709],{},[139,26706,26707],{},[430,26708,11552],{},[166,26710,14261],{"encoding":168},[123,26712,26714],{"className":26713,"ariaHidden":147},[173],[123,26715,26717,26720],{"className":26716},[177],[123,26718],{"className":26719,"style":572},[181],[123,26721,11552],{"className":26722,"style":11644},[186,504]," aparezca en una serie infinita — eso es habitual. Lo extraordinario es que una serie nacida de un proceso tan elemental como lanzar monedas resulte ser ",[51,26725,26726],{},"exactamente"," la misma serie que define una función trigonométrica.",[30,26729,26730],{},"No es una aproximación ni una coincidencia numérica — es una identidad matemática exacta.",[30,26732,26733,26734,26762,26763,2504],{},"Eso sí, no intentes calcular ",[123,26735,26737,26750],{"className":26736},[126],[123,26738,26740],{"className":26739},[130],[132,26741,26742],{"xmlns":134},[136,26743,26744,26748],{},[139,26745,26746],{},[430,26747,11552],{},[166,26749,14261],{"encoding":168},[123,26751,26753],{"className":26752,"ariaHidden":147},[173],[123,26754,26756,26759],{"className":26755},[177],[123,26757],{"className":26758,"style":572},[181],[123,26760,11552],{"className":26761,"style":11644},[186,504]," de esta forma. Como el propio Propp ",[2780,26764,26766],{"href":26688,"rel":26765},[2784],"explicó en el propio documento de Arxiv",[10892,26768,26769],{},[30,26770,26771],{},"Para obtener pi con la precisión de 3,14, podrían hacer falta hasta un billón de lanzamientos de moneda. En parte porque las secuencias pueden alargarse mucho antes de que las caras superen a las cruces — tanto que el valor esperado de la longitud de una secuencia es ¡infinito! Además, no se pueden lanzar todas las monedas a la vez como se pueden soltar agujas: el orden de caras y cruces importa.",[34,26773,10659],{"id":10658},[30,26775,26776],{},"En el artículo anterior, descubrimos que el triángulo de Tartaglia conectaba la combinatoria, el álgebra y la probabilidad. Tres lenguajes que contaban la misma historia.",[30,26778,26779,26780,827],{},"Hoy hemos añadido un cuarto personaje a la trama: el número ",[123,26781,26783,26796],{"className":26782},[126],[123,26784,26786],{"className":26785},[130],[132,26787,26788],{"xmlns":134},[136,26789,26790,26794],{},[139,26791,26792],{},[430,26793,11552],{},[166,26795,14261],{"encoding":168},[123,26797,26799],{"className":26798,"ariaHidden":147},[173],[123,26800,26802,26805],{"className":26801},[177],[123,26803],{"className":26804,"style":572},[181],[123,26806,11552],{"className":26807,"style":11644},[186,504],[30,26809,26810,26811,26839],{},"Lanzar una moneda parece un proceso puramente aleatorio. El triángulo de Tartaglia parece pura aritmética. Los números de Catalan parecen un capricho de la combinatoria. Y ",[123,26812,26814,26827],{"className":26813},[126],[123,26815,26817],{"className":26816},[130],[132,26818,26819],{"xmlns":134},[136,26820,26821,26825],{},[139,26822,26823],{},[430,26824,11552],{},[166,26826,14261],{"encoding":168},[123,26828,26830],{"className":26829,"ariaHidden":147},[173],[123,26831,26833,26836],{"className":26832},[177],[123,26834],{"className":26835,"style":572},[181],[123,26837,11552],{"className":26838,"style":11644},[186,504]," parece pertenecer exclusivamente a la geometría — a los círculos, a las curvas, al mundo continuo.",[30,26841,26842],{},"Y sin embargo, todos terminan conectados en una sola ecuación.",[30,26844,26845,26846,26874],{},"Hay algo profundamente satisfactorio en descubrir que un hecho nuevo sobre ",[123,26847,26849,26862],{"className":26848},[126],[123,26850,26852],{"className":26851},[130],[132,26853,26854],{"xmlns":134},[136,26855,26856,26860],{},[139,26857,26858],{},[430,26859,11552],{},[166,26861,14261],{"encoding":168},[123,26863,26865],{"className":26864,"ariaHidden":147},[173],[123,26866,26868,26871],{"className":26867},[177],[123,26869],{"className":26870,"style":572},[181],[123,26872,11552],{"className":26873,"style":11644},[186,504]," se escondía, desde siempre, detrás de algo tan mundano como lanzar una moneda. Y que nadie lo notó hasta 2025.",[30,26876,26877],{},"Las matemáticas siguen teniendo secretos. Y a veces, están más cerca de lo que pensamos.",[30,26879,10698,26880,26883],{},[2780,26881,10703],{"href":10701,"rel":26882},[2784]," y observa los patrones en acción.",{"title":105,"searchDepth":10706,"depth":10706,"links":26885},[26886,26893,26894,26895,26896,26897],{"id":14605,"depth":10706,"text":14606,"children":26887},[26888,26889,26890,26891,26892],{"id":14624,"depth":10712,"text":14625},{"id":14889,"depth":10712,"text":14890},{"id":15290,"depth":10712,"text":15291},{"id":16166,"depth":10712,"text":16167},{"id":16177,"depth":10712,"text":16178},{"id":18071,"depth":10706,"text":18072},{"id":20135,"depth":10706,"text":20136},{"id":20340,"depth":10706,"text":20341},{"id":23290,"depth":10706,"text":23291},{"id":10658,"depth":10706,"text":10659},"2026-05-27T10:00:00Z","Descubre cómo lanzar una moneda hasta que haya más caras que cruces conduce, inesperadamente, al número π — a través de los números de Catalan y la serie del arcoseno.",{"type":23,"value":26901},[26902,26904,27009,27041],[26,26903,14121],{"id":14126},[30,26905,14129,26906,14135,26909,14141,26912,827],{},[2780,26907,14134],{"href":14132,"rel":26908},[2784],[2780,26910,14140],{"href":14138,"rel":26911},[2784],[123,26913,26915,26932],{"className":26914},[126],[123,26916,26918],{"className":26917},[130],[132,26919,26920],{"xmlns":134},[136,26921,26922,26930],{},[139,26923,26924],{},[426,26925,26926,26928],{},[430,26927,11552],{},[142,26929,151],{},[166,26931,14162],{"encoding":168},[123,26933,26935],{"className":26934,"ariaHidden":147},[173],[123,26936,26938,26941],{"className":26937},[177],[123,26939],{"className":26940,"style":14172},[181],[123,26942,26944,26947,27006],{"className":26943},[186],[123,26945],{"className":26946},[458,992],[123,26948,26950],{"className":26949},[426],[123,26951,26953,26998],{"className":26952},[472,473],[123,26954,26956,26995],{"className":26955},[477],[123,26957,26959,26973,26981],{"className":26958,"style":14191},[481],[123,26960,26961,26964],{"style":1008},[123,26962],{"className":26963,"style":1012},[489],[123,26965,26967],{"className":26966},[494,495,496,497],[123,26968,26970],{"className":26969},[186,497],[123,26971,151],{"className":26972},[186,497],[123,26974,26975,26978],{"style":1046},[123,26976],{"className":26977,"style":1012},[489],[123,26979],{"className":26980,"style":1054},[1053],[123,26982,26983,26986],{"style":1057},[123,26984],{"className":26985,"style":1012},[489],[123,26987,26989],{"className":26988},[494,495,496,497],[123,26990,26992],{"className":26991},[186,497],[123,26993,11552],{"className":26994,"style":11644},[186,504,497],[123,26996,525],{"className":26997},[524],[123,26999,27001],{"className":27000},[477],[123,27002,27004],{"className":27003,"style":532},[481],[123,27005],{},[123,27007],{"className":27008},[538,992],[30,27010,14244,27011,10904,27039,14277],{},[123,27012,27014,27027],{"className":27013},[126],[123,27015,27017],{"className":27016},[130],[132,27018,27019],{"xmlns":134},[136,27020,27021,27025],{},[139,27022,27023],{},[430,27024,11552],{},[166,27026,14261],{"encoding":168},[123,27028,27030],{"className":27029,"ariaHidden":147},[173],[123,27031,27033,27036],{"className":27032},[177],[123,27034],{"className":27035,"style":572},[181],[123,27037,11552],{"className":27038,"style":11644},[186,504],[51,27040,14276],{},[30,27042,14280,27043,14286],{},[2780,27044,14285],{"href":14283,"rel":27045},[2784],{},"\u002Fblog\u002Fpi-coin-flips-catalan-numbers.es",{"title":14121,"description":26899},"lanzando-una-moneda-hasta-obtener-pi","blog\u002Fpi-coin-flips-catalan-numbers.es",[27052,14116,18205,44],"pi","tPbGk5Tt_bG2SigZd2-HuHPzf2-s7ltoFXrKQ5SIQnk",[27055],{"id":27056,"avatar":27057,"extension":11,"meta":27058,"name":27061,"slug":27062,"stem":27064,"url":27063,"__hash__":27065},"authors\u002Fauthors\u002Fpaul-melero.yml","\u002Fimg\u002Fuploads\u002Fauthors\u002Fpaul-melero.webp",{"path":27059,"body":27060,"title":27061},"\u002Fauthors\u002Fpaul-melero",{"name":27061,"slug":27062,"url":27063,"avatar":27057},"Paul Melero","paul-melero","https:\u002F\u002Fgraficos.net","authors\u002Fpaul-melero","LTEA07PCVRlrCg3-G1fVOu2kWXF5EjQ1BxEF3zgZT6k",1781475125284]